2020年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(三)圆中的计算和证明综合(解析版)

1、2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编三、中的计算和证明综合题L （2020福建）如图，AB与。相切于点B, A。交O。于点C，的延长线交。0于点。，E是玩5上不与8,。重合的点，sinA=（2）若。的半径为3,点尸在AB的延长线上，且8尸=3有，求证：与00相切.【解答】解：（I）连接。丛如图1,AB与0O相切于点8,Vsin4=1,A ZA = 30 ,A ZBOD= ZABO+ZA = 120 ,;.nbed=3nbod=6oq ：DOCB图1(2)连接OF, OB,如图2,:AB是切线,/=90 ，*：BF=3 05=3,BF l/. tanBOF =两=/3A ZBOF

2、=60 ，2800=120 ,L NBOF=NDOF=60 ,在BOF和DO尸中,(OB = OD乙8。尸=乙。尸，(。尸=OF:ABOF四ADOF (SAS),；NOBF=NODF=90 ,与。相切.2. （2020贵州铜仁）如图，AB是O。的直径，。为。上一点，连接力。，CE上AB于点、E,。是直径AB 延长线上一点，且NBCE=NBCD.（1）求证：CO是的切线；BE （2）若 AO=8,=求 CD 的长.【解答】（1）证明：连接OC,是。O的直径，-3=90 ,9CEAB.AZCE5=90 ,:.NECB+/ABC= ZABC+ZCAB=90Q ,：.NA=NECB,V NBCE=/B

3、CD,：.ZA = ZBCD.90C=0A.NA = NACO,:.ZACO=ZBCD.：.ZACO+ZBCO= ZBCO+ZBCD=90 ,：.ZDCO=90a ,，CD是(DO的切线；(2)解:V ZA = ZBCE9/. taM=器=tan ZBCE=修=,，设 8C=k, AC=2k.VZD=ZD, NA = NBCD,AAACDACBD,BC CD 1=, AC AD 2AD=8,：.CD=4.3. (2020黑龙江哈尔滨)已知：。是ABC的外接圆，A。为。的直径，ADLBC,垂足为E,连接8。, 延长8。交AC于点F.(1)如图 1,求证：NBFC=3NCAD；（2）如图2,过点。

4、作OG8尸交。0于点G 点为0G的中点，连接求证：BE=0H：（3）如图3,在（2）的条件下，连接CG,若DG = DE, AOF的面积为二一，求线段CG的 3【解答】证明：(1) MO为。的直径，ADLBC.,BE=EC, AB AC又,AO1.8C,：.ZBAD=ZCAD,yOA=OB.：.ZBAD=ZAB0.：.NBAD= ZABO=ZCAD. NBFC= ZBAC+ZABO.：.NBFC=NBAD+/EAD+NABO=3/CAD；(2)如图2,连接AG,02A ZAGD=90 ,点是OG中点，：.DH=HG.又,AO=。，：.OH/AG. AG=2OH,，NAGO=NOO=9(T ,:

5、 DG/BF,：.NBOE= /ODH,又： NOEB=NOHD=90 , BO=DO,：.ABOE/ODH (A4S),:BE=OH；(3)如图3,过点尸作FN，A。，交AD于N,设 DG=DE=2x.：.DH=HG=x,: ABOE 9 AODH,：.OE=DH=x,：.OD=3x=OA = OB,:BE= y/OB 2-0E 2 = V9x 2-x 2 =2 内,9： ZBAE=ZCAE. /nBE NF JanNBAEtan CAE=.2五x _ NF = ,4x AN：.AN=近 NF,V NBOE= NNOF, RF NFAtanZBOE=tanZ7VOF=历=加， 242x _

6、NF = x ON：.ON=当NF, cjo：.AO=AN+ON=笠NF,AA OF的面积为胃2：.-xAOXNF= x 孥，尸=卒， 2245, ZE 6 以：.AO=NF=3=3x,/ Ae= 1 ,:BE=2五=OH. AE=4, DG=DE=2,：.AC= yjAE 2 +CE 2 = J16+ 8 =2 后如图3,连接AG,过点A作AMLCG,交GC的延长线于M，03由(2)可知:AG=2OH=4r2.四边形ADGC是圆内接四边形, :.ZACM=ZADG.又NAMC=NAGO=90 ,ACMs/viqg,AD AG DG：.=一，AC AM CM.64年2市一而一次，CM=孚，力”

7、=竽.9.GM= i AG 2 AM 2 =132=飞）:CG=GMCM=.4. （2020湖北恩施州）如图1, AB是O。的直径，直线AM与。相切于点A,直线8N与。相切于点8,点C （异于点A）在AM上，点。在。上，且CO=CA,延长CO与8N相交于点E,连接A。并延长交BN于点、F.图1图2(1)求证：CE是。0的切线；(2)求证：BE=EF：(3)如图2,连接E0并延长与O。分别相交于点G、H,连接8H.若A8=6, AC=4,求tanN3【解答】解：(1)如图1中，连接OQ,VCD=CA,：.ZCAD=ZCDA,9OA=OD:NOAD=NODA,V直线AM与OO相切于点A,A ZCA

8、O= ZCAD+ZOAD=9Q0 ,，NODC=NCDA+NOQA=90 ,，CE是0。的切线.(2)如图2中，连接班),：OD=OB.；NODB=NOBD,TCE是。的切线，8尸是00的切线,，NOBD=NODE=90Q ,，/EDB=/EBD,:ED=EB,9：AMLAB. BN LAB,:.AM BN,:NCAD=NBFD, N CW = N CDA = Z EDF,:NBFD=/EDF,:.EF=ED,：.BE=EF.(3)如图2中，过七点作ELL4M于乙 则四边形ABEL是矩形,2设 则 CL=4-x, C=4+x,，(4+x) 2= (4 -x) 2+62,解得：79 ：.tanZ

9、BOE = = = , : /B0E=2NBHE,/. tanBOE =2tanz.BHE _ 3l-tan2z,BHE 季 解得：lan/BE= J或-3（-3不合题意舍去）, ：.tanZBHE= i补充方法：如图2中，作，人LEB交EB的延长线于J.9tabZBOE= = l，可以假设3E=3k, 0B=4匕则。七=5八 9：0B/HJ,OB OE EB _ _ 询一丽一歹4k 5k3kJ=一，HJ 9k EJ./=*，EJ=*:.BJ=EJ- BE= , - 3代曾.,.tanNB，J=% =/ZBHE= NOBE= /BHJ,N图15. (2020武汉)如图，在RtZA8C中，NA8

10、C=90 ,以A8为直径的。0交AC于点。，AE与过点。的切线互相垂直，垂足为(1)求证：AO平分N8AE；(2)若 CD=DE,求 sin/84c 的值.【解答】(1)证明：连接OD,如图,VDE为切线，：.ODLDE,VDEXAE,：.OD/AE.，N1 = NOZM,：OA=OD,：.Z2=ZODA,AZ1 = Z2,平分NME；(2)解：连接8D,如图，VAB为直径,，NAO8=90 ,VZ2+ZABD=90 , Z3+ZABD=90 ,，N2=N3, .八 DEDCsm/l=而，smN3=,而 DE=DC, 9AD=BC设 CD=x, BC=AD=y,： NDCB=NBCA, N3=

11、N2,：.CDBACBA,：.CD： CB=CB： CA9 即上 y=y： (x+y),整理得，+,，2=0,解得广二牛笆y或4匚恭芍（舍去）,AsinZ3=DC =店一 1BC 26 * * 9即sin/BAC的值为21.-3V32当的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为 h-”DF 2(2)如图2,若a60 ,且左 =-,DE=4,求BE的长.DC 3图1 AF是。的切线，NOAF=90 , ；AB=Aa NBAC=600 , ABC是等边三角形，A ZABC= ZACB= ZBAC=60 , 3。平分 NA8C,A ZABD= ZCBD=30Q , ZADB=ZACB=60 ，AZB

12、AD=90 ,：.BD是。的直径，：OA=OB=OD,：.ZABO=ZOAB=3 , NOAO=/AOO=6(T , ； NBDC=NBAC=60 , NAO尸=180 -60 -600 =60“ =ZOAD.J.OA/DF,AZF=1800 - ZOAF=90Q ,VZDAF= 30 ,：.AD=2DF. NABD=/CBD,：.AD = CD,：.AD=CD.：.CD=2DF, DF 1 *DC = 2故答案为:7：.。的半径为2,：.AD=OA=2, DF=l, ZAOD=60 ,2，阴影部分的而枳为：S柄形AODF - 5品形OAI尸，力尸(DF +。4) 一 6。篇2=1 x 73(

13、1 + 2) 嘤萨3Vl 2故答案为：(2)如图2,连接AD,连接AO并延长交OO于点,连接则NAO=90 ,，NZM+NOA=9(r ,Y万与。O相切,A ZDAH+ZDAF= ZMO=90 ，：.ZDAF=ZDHA.8。平分 NA8C,:.NABD=/CBD,AD= CD.：.ZCAD= ZDHA = ZDAF.9：AB=AC,：.NABC=NACB,.四边形A3CO内接于0O,A Z/WC+ZADC=180 ,V ZADF+Z/4DC= 180 ,ZADF= ZABC.丁 ZADB= ZACB= /ABC,在AOF和AADE中ZDAF = CAEAD = AD ，Z.ADF =L ADE

14、J.AADFAADE （ASA）.：.DF=DE=4,DF 2:一=一.DC 3:DC=6,： NDCE= NABD= /DBC, ZCDE=ZCDE9:CDEsABDC, CD DE64 =,即=一,DB CDBD 6；BD=9,:BE=DB DE=95 = 5.7. （2020湖南怀化）如图，在中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点。，使CQ=CA,且N 。=30。.（1）求证：CO是。的切线.（2）分别过A、5两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G.求 证：CG?=AEBF.【解答】(1)证明：连接OC,如图所示，；CA = CD,且NO=30

15、,.-.ZCAD=ZD=30 ,9OA=OC.，NCAO=NACO=30 ,A ZCOD= ZCAD+ZACO=300 +30 =60 ,，NOCD=18(T - NO-NCOO=18(T -30 -60 =90 , ：.OCLCD.CO是00的切线；(2) V ZCOB=60 ,且 OC=O&.,.OCB为等边三角形，：.ZCBG=60 ,又CGU。，；NCGB=90 ,工 NGCB= NCGB NCBG=30 ,又NGCD=6(r ,是NGCO的角平分线,；BFCD, BGLCG.，BF=BG,又,： BC=BC,.-.RtA5CGRtACF (HL),：.CF=CG.VZD=30 , A

16、E1ED. Z=90c ,，NE4O=60 ,又NCAO= 30 ,AC是NE4G的角平分线，VCEA, CGLAB.：.CE=CG,；NE=NBFC=90 , ZEAC=30c =/BCF,:AAECsACFB.HE CE：.-=,即 AE*BF=CFCE,又 CE=CG, CF=CG,1.AEBF=CG58.（2020湖南娄底）如图，点C在以A8为直径的O。上，3。平分NA8C交。于点。，过。作8c的垂线，垂足为E.（1）求证：。七与O。相切：（2）若 A8=5, BE=4,求 8。的长：（3）请用线段A3、BE表示CE的长，并说明理Ftl.【解答】（1）证明：连接02：OD=OB, NO

17、DB=NOBD,BO平分乙48C,:N0BD=NCBD,；N0DB=NCBD,J.0D/BE,BE 工 DE,：0D工DE,.OE与O。相切：（2）解：是。的直径,，NAO8=90 ,9 BE IDE.：.ZADB=ZBED=9 ,TB。平分 NABC,；.NOBD=NCBD,:AABDsADBE,9AB_BDBD BES BD. , BD 4:BD=25(3)解：CE=AB - BE,过。作。于从 ；BD 平分NABC, DE人BE,:DH=DE,在 RtZXBED 与 RtZBHO 中，2:2个， BD = BD；R3EDgR3HD (HL),:BH=BE, ： NDCE=NA, ZDGA

18、 = ZDEC=9Q , A。”也COE (AAS),：.AH=CE.；AB=AH+BH,；AB=BE+CE, * CEAB - BE.9. （2020湖南张家界）如图，在RtAABC中，NAC3=90 ,以AB为直径作过点C作直线CD交A8的延长线于点。，使NBCO=NA.（1）求证：CO为的切线；（2）若OE平分NAOC,且分别交AC, BC于点、E, F,当CE=2时，求EF的长.C【解答】（1）证明：如图，连接OC,为O。的直径， NACB=90 ,即NA+NA3c=90, ,又：OC=OB,：.NABC=NOCB, ： NBCD=NA,A ZBCD+ZOCB=90 ,即 NOCQ=9

19、0 ,TOC是圆。的半径， co是OO的切线;(2)解:TOE 平分NADC,:.zcde=zade9又丁 NBCD=NA,：.ZA+ZADE= /BCDMCDF,即 ZCF= /CFE,V ZAC5=90 , CE=2.：.CE=CF=29：.EF= y/CE2+CF2 = 2贬.C10. （2020江苏淮安）如图，A8是o。的弦，。是O。外一点，OCLOA，。交A8于点P,交O。于点。， 且CP=CB.（1）判断直线8C与的位置关系，并说明理由：（2）若NA=3（T , OP=T,求图中阴影部分的面积.【解答】解：（I） C3与O。相切,理由：连接08,9OA=OB.：.ZOAB=ZOBA

20、.：CP=CB,:NCPB=NCBP,在 RtAvAOP 中，/A+NAP0=9(T ,：.Z0BA+ZCBP=9 ,即：NO8C=90 ,：.OBCB.又,.O8是半径，C8与。O相切；(2) V ZA=30 , ZAOP=90 ,，NAPO=60 ,：.ZBPD=ZAPO=60a ,: PC=CB.,PBC是等边三角形，；.NPCB=NCBP=6,工 NOBP=NPOB=30 ,：OP=PB=PC=,:BC=1,：.0B= y/0C2 -BC2 =时,2 r，图中阴影部分的面积=6”*-S扇射昕=；X1X卷一 30麻)=苧一?IL （2020山东滨州）如图，A5是O。的直径，AM和8N是它

21、的两条切线，过。O上一点E作直线OC, 分别交AM、BN于点、D、C,且D4=QE.（1）求证：直线。是OO的切线；（2）求证：OA2=DECE.【解答】解：连接01 g如图1,在04。和OEO中，(0A = 0EaD = ED,loD = 0D, AOADgAOED (SSS),工 N0AD=N0ED, AM是O。的切线，NOAO=9(T ,A ZOED=90 ,，直线CD是。的切线;C N图1(2)过。作_L3C于点F,如图2,则/。必=/?尸。=90 , AM、8N都是O。的切线，A ZABF=BAD=90 ,，四边形A3。是矩形，：.DF=AB=20A. AD=BF, CO是00的切线

22、，:DE=DA, CE=CB,，CF=CB- BF=CE DE,9DE2=CD2 - CF2,：.4OA2= (CE+DE) 2 - (CE-DE) 2.即 40A2=4DECE,：.OA=DECE.12. （2020山东聊城）如图，在A8C中，AB=BC,以八48。的边AB为直径作。，交AC于点。，过点。作OE1,BC,垂足为点E.（1）试证明。上是。的切线；（2）若。的半径为5, AC=6V10,求此时OE的长.【解答】（1）证明：连接O。、BD,是。O直径，NAO8=90 ,：.BDAC.9AB=BC9 .Q为AC中点，9：OA=OB.：.OD/BC,9：DEBC.：.DEOD, 0。为

23、半径，：.DE是的切线：(2)由(1)知8。是AC的中线，：.AD=CD= yAC =3710, 。的半径为5,，A8=6,：.BD= AB2 - AD2 = 102-(3V10)2 = /10, NA=NC, ZAD5=ZCED=90 ,:ACDEsAABD,13. （2020山东临沂）已知的半径为4，0。2的半径为2 以01为圆心，以n+r2的长为半径画弧，再以线段。的中点P为圆心，以切2的长为半径画弧两弧交于点4连接。见。.交OOI于点B,过点8作0M的平行线BC交O1O2于点C.J3 -/.14,（2020山东枣庄）如图，在ABC中，AB=AC,以A3为直径的。分别交AC、BC于点、D

24、、E,点、F 在AC的延长线上，且N5AC=2NC8F.（1）求证：BE是O。的切线；（2）若O。的直径为 4, CE=6,求 tanNCBF.【解答】 证明:连接AE,9AB是。的直径,，/AEB=9(r ,AZ1 + Z2=9O0 .9AB=AC,，2N1 = /GW.ZBAC=2ZCBF.:/ = /CBF，NC3F+N2=9(r即 NA8F=90 Y8是G)O的直径， 直线BF是O。的切线：(2)解：过C作/于从-AB=AC,。的直径为4,，AC=4,: CF=6, NA3E=90 ,：.BF= 4AF2-AB2 = V102 - 42 =2同， ： NCHF=NABF,4F=4F,:

25、CHFsABF,.CH_CF = ,AB AF CH 6 /.=,44+6:CH=笆，：.HF= yjCF2 - CH2 =心一小尸二1,J BH=BF- HF= 2721 -.tanZCBF=需=禹=亨15.（2020山东淄博）如图，/XABC内接于A。平分N3AC交8C边于点交O。于点。，过点A作A/_L8C于点R设O。的半径为R，AF=h.(1)过点。作直线A/N3C,求证：MN是OO的切线:(2)求证：A8AC=2R力:(3)【解答】解：（1）如图L连接OD,图1AB+AC设N5AC=2a,求的值（用含。的代数式表示）A。平分N5AC.：.ZBAD=ZCAD.：.BD = CD,又OD

26、是半径，OD 人 BC,: MN/BC,：ODLMN,，MN是OO的切线：(2)如图2,连接AO并延长交。于从TA”是直径，A ZABH=90 = ZAFC.又；ZAHB=ZACF,:.AACFsAHB.% AC _AF.9AH AB，ABAC=AF%4=2心力:(3)如图3,过点。作DQLAB于。，OPJ_AC,交AC延长线于P,连接CD,9ZBAC=2a, AO 平分N8AC.，ZBAD=ZCAD=a.：.BD = CD,:BD=CD,9： ZBAD=ZCAD. DQLAB, DPLAC, :DQ=DP.ARtADCfiRtADPC (HL), :BQ=CP,:DQ=DP. AD=AD.：

27、.RtADQARtADPA (HL), ：.AQ=AP,/AB+ACAQ+BQ+AC=2jQ9cos NBAD= 4S，：.AD=AQcosaAB+AC ) =AD翁=2cosa. cosa16. (2020上海)如图，ZkABC中，AB=AC, O。是ABC的外接圆，8。的延长交边AC于点(1)求证：NBAC=2NABD；(2)当BCD是等腰三角形时，求N8CD的大小:(3)当AO=2, CO=3时，求边3c的长.【解答】证明:连接OA.图1；AB=AC.：.AB = AC.：.OABC,:.ZBAO=ZCAO,04=0&，ZABD=ZBAO.：.ZBAC=2ZBAD.(2)解：如图2中，延

28、长AO交8c于.图2若 BD=CB,则NC=NBDC=/ABO+/A4C=3/A5。.，ZABC=ZC.：.ZDBC=2ZABD.V ZD5C+ZC+ZBDC=180 ,，8NABD=18O .，NC=3NABO=67.5 .若 CD=CB. Wij ZCBD = ZCDB=3 Z/ABD,：.ZC=4ZABD.V ZMC+ZC+ZCDB=180 ,10ZABD= 180 ,：.ZBCD=4ZABD=72Q .若。8=QC,则DhJA重合，这种情形不存在.综上所述，NC的值为67.5或72(3)如图3中，作AE3C交8。的延长线于ap图3AE AD 2则一=一=一，BC DC 3AO E 4*

29、.=一，设 OB OH BH 39BH2=AB2 -AH2 = OB225 -49/= 161-9#.、2S=时；BH= 4：.BC=2BH=髻.17. （2020四川乐山）如图1,=OA= 4a9 OH=3a.OH2.A8是半圆。的直径，AC是一条弦，。是元上一点，OELAB于点E,交AC于点凡 连结8。交AC于点G,且（1）求证：点。平分公：（2）如图2所示，延长BA至点H, 的切线.A E OB H1AF=FG.使A=A。，连结。从 若点E是线段AO的中点.求证：QH是。A E 0B图2【解答】证明：(1)如图1,连接A。、BC,：AB是半圆0的直径，NAO8=90 ,9： DE A.

30、AB.：.ZADE=ZABD.XVAF=FG.即点尸是RtAAGQ的斜边AG的中点,，DF=AF,：.ZDAF= ZADF= NA8O,又：NDAC=NDBC,：.NABD=NDBC,：.AD = DC, 即点。平分在；(2)如图2所示，连接OD、AD. 点E是线段QA的中点，：.OE = OA = goD,A ZAOD=60C , 04。是等边三角形，：.AD=AO=AH, OOH是直角三角形，且/“。=90 ,是。的切线.18. （2020四川凉山州）如图，。的半径为R,其内接锐角三角形A8C中，NA、NB、NC所对的边分别 是 a、b、c.stnZ-A(2)若乙4=60 ，a b c（1

31、）寸之证：=2R；sin 乙 B sin 乙 CNC=45 , BC=4 利用（1）的结论求A8的长和sinNB的值.【解答】（1）证明：作直径BE,连接CE,如图所示:则 N8CE=90 , NE=NA, a _ L BC CL siil4 - siiE= ee = 2 ,a=2R, sinAbc同理：嬴F =尔菽E =2R=2R sinA sinZ.B sin.C(2)解:由(1)得:AB BCsinC sinAABsin450 sin600=2R,：.AB=472, 2R=埠=8,、3、3TT过8作BHAC于H, ZAHB=ZBHC=90c, .AH=/Wcos60 =4夜 x,=27L

32、 CH=*BC=2属：.AC=AH+CH=2（V2 +V6）, .sin= =空警=罕. ZKo，19. (2020四川泸州)如图，A3是O。的直径，点。在O。上，AD的延长线与过点5的切线交于点C, E 为线段A。上的点，过点E的弦FG上AB于点H.(1)求证：NC=NAGO；(2)已知 8c=6. CD=4.且 CE=24E,求 EE 的长.【解答】(1)证明：连接8。，TAB是。的直径,NZM8+NO8A=90 ,TBC是。的切线，A ZASC=90 ,AZC+ZCAB=90o ,:NC=NABD, ZAGD=ZABD.：.NAGD=NC：(2)解：VZBDC=ZABC=90 , ZC=

33、ZC,:ABCsABDC,BC CD64，一=一，AC 6C=9,：.AB= 4AC2-BC2 =3 府；CE=2AE,：.AE=3, CE=6,VFHA8,:.FHBC,AH EH AE：.=一, AB BC ACAH EH 3 _ .JaC2-AG2 =12,VAACEAACE,：.AQ=AC=5,：.QG=699HQ1=HG2+QG29,股2= (12-Q ) 2+62,解得：HQ= -y,：.CH=HQ=印/.四边形CHQE的面积=CHG0=孕X6=45.21.（2020四川自贡）如图，O。是A48C的外接圆，A8为直径，点P为O。外一点，且抬=PC=V5aB, 连接尸。交AC于点。，延长P。交。于点工（1）证明：AF = CF；（2）若tan/A3C=22，证明：%是。0的切线；（3）在（2）条件下，连接P8交O。于点E，连接。七，若BC=2,求OE的长.A【解答】（1）证明：连接OC9：PC=PA, OC=OA.OP垂直平分线段AC：.AF= CF.（2）证明:设8C=a,A8是直径，-8=90 ，Ar VtanZABC=2v/2,AC=2l2ib AB= lBC2 + AC2 Ja? + （2、3）z =3”,：.OC=OA = OB= CD=AD= y/2a.9：PA =