9.4直线和平面垂直(一)

1、课题：9. 4直线和平面垂直（一）教学目的：1理解直线与平面垂直的定义；2-掌握直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程；3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题+教学重点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程 教学难点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程 授课类型：新授课. 课时安排：1课时.教 具：多媒体、实物投影仪 .内容分析：本节包括两个知识点：直线和平面垂直及正射影和三垂线定理+空间除平移和平行射影的性质外，第二个重要性质就是空间的镜面对称直线与平面的垂直的特征性质是研究空间对称性的基础细心分析直线和平面判定定理的证明过程就可以看到，证明的过程就是由平面的轴对称转换为空间的镜面对

2、称的过程.这一小节要特别重视判定定理的教学，要向学生指出定理证明过程的本质.三垂线定理是由直线和平面垂直判定定理得出的一个最重要的空间图形的性质，在 传统几可学教育中这个定理占有极重要的地位，在这里，我们只重视概念的教 学，减弱围绕三垂线定理的解题训练+这是因为我们有更有效的向量工具处理空间的垂直问题.这一小节的教学要求是，掌握直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂 直的判定定理，掌握三垂线定理及逆定理+主要是理解定理的本质和直接应用.不 要进行大量的解题训练的教学.这样就可减少课时，以加强空间向量的教学直线与平面垂直的定义是一个严格但不实用的定义，因而必须给出一个判 定“直线与平面垂直”的判

3、定定理.而直线与平面是否垂直根据判定定理的要求， 必须具备条件"a丄b, a丄c, b A c= B , b_ a , c_ a”才能得到结论“ a丄a”， 至于为什么在上述条件下一定能得到“a丄a ”这一结论便是本节课的一个主要内容 教学过程：一、复习引入：1直线和平面的位置关系观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2 ）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3 ）直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类 它们的图形分别可表示为如下， 符号分别可表示为 a二出，a"= A, a/ 一2，线面平行的判定定理：如果不在一个平面

4、内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：丨二，m二：£ ,丨/ m =丨/ ：.3+线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平 行*推理模式：丨/ ：,丨一 V；, ：门：=m= l / m .二、讲解新课：1 .定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直 线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直"其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的 垂面.交点叫做 垂足，直线与平面垂直简称 线面垂直，记作：a丄a .画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平

5、行四边形的 一边垂直.说明：“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？） 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与 平面的交点叫做垂足+ a丄等价于对任意的直线 m二:；，都有a丄m.利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂 直的最基本的性质”2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面*即 若丨丄m ,丨丄n , mn n= B, m二x, n二圧，贝U丨丄已知：m、n是平面j内的两条相交直线，直线 丨与一：匚的交点为B,且

6、丨丄 m ,丨丄n求证：丨丄+分析：在-内平移m , n ,使它们都通过点 B,这时m , n仍保持和丨垂 直过点B作任一条不与 m , n重合的直线g,如果我们能根据丨丄m且丨丄n推 出丨丄g，那么就证明了直线 丨和过点B的所有直线都垂直，即 丨垂直.为此，我们在丨上自点B起于平面a的两侧分别截取 ba=bA，于是m , n都是线段AA'的垂直平分线，它们上面的点到A A'的距离相等“如果我们能证明g上的点到 A A'的距离也相等， 那么g也是AA'的垂直 平分线，于是g就垂直于丨.在g上任取一点E,过点E在内作不通过点B的直线，分别与 m , n相 交于点C

7、、D,容易证明厶 AC医A CD进而又可证明 ACEA A CE于是EA=EA , g丄l t一般地：证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于 这个平面+ 已知：m,n 是平面:-内的两条相交 直线，直 线丨与的交点为 B ,且 丨_ m,丨_ n, 求证：丨丨= 证明：过点B作mm, nn，丨 _ m ,丨 _ n 丨 _ m_ n ,过B任作直线a，在丨上于平面两侧分别截取 BBA ,a/h m,n都是AA的垂直平分线， AD =A D, AC =AC ,在a上任取点E，过E在平面内作不通过B的直线分别 与m,n相交于点C,D , ACD 二 A CD , . A

8、CD士/ACD，又 AC =A C , ACE 二 ACE , AE = AE a _ 丨，丨 _ ：.三、讲解范例：例1 .求证如果两条平行直线中的一条垂直于-这个平面+已知：a / b,a丄 a求证：b丄a *证明：设m是皿内的任意一条直线戸a丄ma/b本题的作用：要证 b丄二，没有办法？而已知 a/ b,只需证a丄二即可, 在证题时起转移作用，但具体要证a丄还需其他方法例2过一点和已知平面垂直的直线只有一条已知：平面:-和一点P求证：过点P与垂直的直线只有一条+证明：不论 P在平面:-内或外，设直线 PAl。，垂足为A （或P）所以过点P与垂直的直线只有一条+例3有一根旗杆 AB高8m，

9、它的顶端 A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）C, D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么?解：在 ABC和.：ABD中，AB =8m, BC =BD =6m,AC =AD = 10m2 2 2 2 2 2A4二 AB BC =68 =10 二 AC2 2 2 2 2 2AB BD =68 =10 = AD . ABC 二.ABD =90；即 AB _ BC, AB _ BD又 B,C,D不共线 AB _平面BCD，即旗杆和地面垂直；例4 已知直线l丄平面a，垂足为A,直线AP丄l * 求证：AP在a内+证明：设A

10、P与l确定的平面为3，如果AP不在a内， 则可设a与3相交于直线 AMT 丄 a,. I _ AM又API l，于是在平面3内过点A有两条直线垂直于丨，这是不可能的 所以AP一定在a内+例5求证：经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行 已知：P ? a求证:过点P有且只有一个平面 3a证明：过平面a外一点P作直线丨_ a ,再过点P作平面3 ,使丨3 ,则 a / 3 .因为过点P且与a平行的平面必与 a的垂线I也垂直，而过点P与丨垂直的平面是唯一的，所以过点P且与a平行的平面只有一个 指出：由例2可得a / 3 , a / y ? 3 / Y 例6已知：空间四边形 ABCD , AB二

11、AC求证：BC _ AD证明：取BC中点E，连结AE,DE ,/ AB 二 AC,DB 二 DC , AE _ BC,DE _ BC , BC _ 平面 AED ,又 AD 二平面 AED , BC _ AD .四、课堂练习：1选择题（1） “直线丨垂直于平面：内的无数条直线”是“丨丄：”的 （）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（2）如果一条直线丨与平面：的一条垂线垂直，那么直线丨与平面：的位置关系 是（ ）（A）丨二:；（B）丨丄用（C）丨/ j. （D）丨二:丄或丨/ :- 答案：（1） B （2）D 2填空题（1 ）过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面

12、有个；平行线有 条;平行平面有个（2）过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；平行线有条；平行平面有个答案：（1）无数，一，一，无数；（2 ）一，无数，无数，一3.能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么? 答案：（能，而且有无数条）（不能） 4拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂 直”答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线5+条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗?为什么？答案：不一定因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内6过一点和一条直线垂直的平面是否只有一个？为什么？答案：是假若有两个平面:过点A都于丨垂直，过这条公共垂线 丨作一个不经过两平面_：, ：的交线的平面，与二，：分别相交于直线a,b, aplbDl = A且丨_ a,l _ b,丨，a,b二：:i ,从而有aJ b，此与a门b二A矛盾7如果三条直线共点，且两两垂直，问其中一条直线是否垂直于另两条直线所 确定的平面.答案：是&求证：一条线段的垂直平分面内任一点到