第4章结构位移计算及虚功-能量法简述

1、第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述6-1 变形体虚功原理6-2 变形体虚功原理的应用6-3 刚体虚功原理的应用6-1 虚功原理虚功原理6-1-1 虚位移 虚力 虚功虚位移虚位移：与对应的力无关的位移，：与对应的力无关的位移， FP虚虚 力力：与对应的位移无关的力，：与对应的位移无关的力， FP 虚虚 功：彼此无关的位移与力的乘积，功：彼此无关的位移与力的乘积， FP FP状态状态1 状态状态26-1 虚功原理6-1-2虚功原理适用条件1 力系平衡条件分布荷载与截面内力之间的关系分布荷载与截面内力之间的关系NQQ0dd00dd0(1)0dd0 xyFFpxFFqxMMFx 6-1 虚功原理2

2、变形协调条件wAuAAuBBwBuw变形与位移协调变形与位移协调: :位移连续、杆件变形后不断开、不重叠。位移连续、杆件变形后不断开、不重叠。位移与约束协调位移与约束协调: :位移函数在约束处的数值等于约束位移。位移函数在约束处的数值等于约束位移。6-1 虚功原理wM+dwMwMdwqwq+dwq0dxuu+duddux10ddwxw1：由剪切变形引起由剪切变形引起 的竖向位移的竖向位移2ddwxw2：由弯曲变形引起由弯曲变形引起 的竖向位移的竖向位移6-1 虚功原理6-1-2 变形体虚功原理的证明NQQdd0dd0(a)dd0FpxFqxMFx BNAFFMpqFxuwwuwwQ122Q1

3、ddd ()d0(c)() 将含有将含有“dx”的项合并，得的项合并，得由力的平衡方程：由力的平衡方程：2Q1NQ(dd )(dd )() (dd ) 0(b)BAFp xFq xM Fwxuw 得得6-1 虚功原理根据公式根据公式1212Q12QQd dd()()(d d)ddNNNFFMFFMuwwuwwuwFMwF （c）式积分号中第一项）式积分号中第一项代入式（代入式（c），得），得121QQ212Qdd()()(dd dd0(d)BBNNAABBAAFFMFFMuwwuwwuwwpqxFx d(uw)=udw+wdu得得6-1 虚功原理将式（将式（d）第一项积分号去掉，得）第一项积分

4、号去掉，得1212QQ12Q()()ddd dd0()e)BBNNAABBAAFFMFFMpqxFxuwwuwwuww ( d )( d )BAxxpquw NQNQ BBBAABBBAAAAFFMFuwuwFM NQ1(ddd )(f)BAuwFFM 12www ，将式（将式（e）第一项上下限代入，并考虑）第一项上下限代入，并考虑2ddwx ，得，得6-1 虚功原理( d )( d )BAxxpquw NQNQ BBBAABBBAAAAFFMFuwuwFM 1NQ(ddd )BAuwFFM 杆端力做的虚功杆端力做的虚功分布力做的虚功分布力做的虚功截面内力截面内力做的虚功做的虚功虚功原理 变形

5、体的一组平衡外力在其协调的微小虚位移上做的虚功等于这组外力产生的内力在虚变形上做的虚功。6-1 虚功原理FR1FP1FP2FP3FP4FP5FR2FR3FP6FP1FP2FP3FP4FP5FP6FR1FR2FR3推广支座反力做支座反力做的虚功的虚功各 杆 端 力 做各 杆 端 力 做的 虚 功 之 和的 虚 功 之 和结点集中力结点集中力做 的 虚 功做 的 虚 功6-1 虚功原理( d )( d )BAxxpquw NQNQ BBBAABBBAAAAFFMFuwuwFM 1NQ(ddd )BAuwFFM 杆系结构的虚功方程杆系结构的虚功方程 将式（将式（f）中的杆端力用结点集中力和支座反力代

6、替，将其）中的杆端力用结点集中力和支座反力代替，将其它项对各杆件求和，得它项对各杆件求和，得PiiRk kNQ1(d )(d )(ddd )llFF cpx uqx wFu FwM 6-1 虚功原理PiiRk kNQ0(d )(d )()dllFF cpx uqx wFFMx 则则若考虑若考虑uxwxx10dddddkd 6-2-1 荷载作用时的位移计算PiiRk kNQ0(d )(d )()dllFF cpx uqx wFFMx 虚功原理的一般公式虚功原理的一般公式6-2 变形体虚功原理的应用变形体虚功原理的应用 1 位移计算公式的推导内力虚功内力虚功1NPQPPddduwFFM 外力虚功外

7、力虚功1W 位移状态位移状态虚设单位力状态虚设单位力状态NQFFM1Ni1QdddluwWFFM 得得单位荷载法求位移单位荷载法求位移N1QdddluwFFM 6-2 变形体虚功原理的应用对于线弹性材料对于线弹性材料QPNPP1ddddddFFMuxwxxEAGAEI QPQPNN()dPlFkxEAGAFFMFMEI 位移公式变成：位移公式变成：的物理意义：的物理意义： 单位力在位移单位力在位移上所做的虚功，上所做的虚功， 在数值上等于位移在数值上等于位移。6-2 变形体虚功原理的应用刚架、梁：只考虑弯曲变形引起的位移刚架、梁：只考虑弯曲变形引起的位移dPlMMxEI 对于桁架：只有轴力对于

8、桁架：只有轴力NNPNNPdlF FF F lxEAEA 对于拱：通常只有弯曲一项。当拱轴与压力曲线相近对于拱：通常只有弯曲一项。当拱轴与压力曲线相近 时，需考虑弯曲和轴向变形两项。时，需考虑弯曲和轴向变形两项。NNPPddlF FMMxxEAEI 各类结构的计算公式简化各类结构的计算公式简化6-2 变形体虚功原理的应用PCHF aEA P12 2CVF aEA已知：各杆已知：各杆EA相同，求：相同，求：CVCH、FPaaABCDNPFP2FPFPFN1F1ABCD1N2F21【例】【解】ABCD16-2 变形体虚功原理的应用2P12112Mq lxMlxM 例例 杆件杆件EI=常数。试求常数

9、。试求AVA、解 P02041d11d28lAVlMMxEIq lxlxxEIqlEIqlAx11204111d26lAq lxxEIqlEI 6-2 变形体虚功原理的应用22P12:012qxBCMMM 2P112:12qaABMMxM 例例 各杆各杆EI为常数。求为常数。求CHC 、解解aaABCqqa2/2MP图图x1x21a1M图图12M 图图6-2 变形体虚功原理的应用P11P222232120011dd1121 d1 d223CABBCllM MxM MxEIEIqxqaqaxxEIEIEI P11P122411011dd1d24CHABBClM MxM MxEIEIqaqaxxE

10、IEI 22P12:012qxBCMMM 2P112:12qaABMMxM 6-2 变形体虚功原理的应用2 2 图乘法图乘法（1 1） 图乘法基本公式图乘法基本公式PdBAM MxEI PP1ddBBAAM MxM MxEIEI tgMx PPdtgdBBAAM MxMxx PtgdBAx Mx 00tgdtgBAxAxAyA Myy0MP图图图图dxABxx0dAMP6-2 变形体虚功原理的应用条件：条件：1各杆各杆EI为常数；为常数； 2杆轴为直线；杆轴为直线； 3 MP、 中至少有一个为直线图形。中至少有一个为直线图形。MP0dBAM MxyA 积分等于曲线图形的面积乘以其积分等于曲线图

11、形的面积乘以其形心对应的直线图形的纵坐标。形心对应的直线图形的纵坐标。Myy0MP图图图图dxABxx0dAMP6-2 变形体虚功原理的应用已知：已知：EI为常数。求：为常数。求：B 2PP11() 122BF lF l lEIEI 解解MP、M图均为直线，纵坐标可从任意图形中选。图均为直线，纵坐标可从任意图形中选。MP图图FPlFPlBAM图图112PP11(1)22BF llF lEIEI 6-2 变形体虚功原理的应用2PPP111151()4228BFa aFa aFaEIEIEI解解“-”“-”说明实际的转角方向与所设的单位力方向相反说明实际的转角方向与所设的单位力方向相反已知：已知：

12、EI=常数。求常数。求B点的转角。点的转角。aaFPAB4EIEIEIMP图图FPaM图图116-2 变形体虚功原理的应用（2） 图形的面积和形心图形的面积和形心ql2/8ab3a/823Aabbaa/413Aab图形的形心与面积一定要与图形的形心与面积一定要与荷载荷载对应对应6-2 变形体虚功原理的应用（3） 图形的分解图形的分解按图形分解按图形分解y1y21 122A yA y1 122A yA y1 122A yA y A1 A2+A2 A1+A2A1 y1y2y1y26-2 变形体虚功原理的应用按荷载分解按荷载分解y1y3y2112233A yA yA yM1M2M1M2M2M1A1A

13、2 A3 6-2 变形体虚功原理的应用折线要分段折线要分段1122A yA yy1y2A1 A2 6-2 变形体虚功原理的应用解 P3P5112 2 26548CVF lllEIF lEI P3P11123 212CVlF l lEIF lEI 取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。已知：已知：EI=常数。求常数。求CVFPABl/2l/2CFPlMP图图l/21M图图6-2 变形体虚功原理的应用22411213223324724BVqlqlllllEIqlEI解解已知：已知：EI=常数。求常数。求:BVql/2qlABl1M图图MP图图ql2MP图按

14、荷载分解图按荷载分解+ql2/2ql2/26-2 变形体虚功原理的应用2241122123382724BVqlqlllllEIqlEIMP图按图按叠加法叠加法分解分解l1M图图MP图图ql2ql2/8+ql26-2 变形体虚功原理的应用已知：已知：EI=常数。求常数。求:CVlqlBAC解解MP图按整个杆件的叠加法分解图按整个杆件的叠加法分解MP图按半个杆件的叠加法分解图按半个杆件的叠加法分解2ql22ql2ql2ql2/2+=2ql22ql2ql2/8ql2/2+=1M图图l/2MP图图2ql26-2 变形体虚功原理的应用42417qlEICVMP图按半个杆件的荷载分解图按半个杆件的荷载分解

15、1M图图l/2MP图图2ql2qlql2/2ql2/2ql2/2+ql2+6-2 变形体虚功原理的应用3 3 相对位移计算相对位移计算解解内力功内力功 iPWMM3PP111248CDF llF llEIEI 求两点的相对位移：求两点的相对位移：在两点的连线上加一对在两点的连线上加一对儿等值反向的单位力儿等值反向的单位力已知：已知：EI=常数。求：常数。求：CD外力功外力功 11CDW CDCD lM图图11ll/2l/2FPlCDFPl/4FPMP图图6-2 变形体虚功原理的应用解已知：各杆已知：各杆EIEI= =常数。求：常数。求：A A、B B两点之间的相对转角。两点之间的相对转角。11

16、1216432 88 81rad()2332A BEIEI 1kNm8m8mABCDMP图图(kNm)328M图图11116-2 变形体虚功原理的应用2p56C CF aEI 已知：已知：EI=常数。求：常数。求：C CM图图1aaFPaFPa/2MP图图FPFPa/2解6-1 虚功原理 6-4 互等定理互等定理1 功的互等定理Q1N11N1Q111q11ddddddkFFMFFMuxwxxEIGAEI Q2N22N2Q222q22ddddddkFFMFFMuxwxxEIGAEI FP111211222FP2P1N1Q11N122q22Q2N1Q1212ddddddxuwkFFMFFFMFFxxEAMGAEI 状态状态1状态状态26-4 互等定理P2N2Q22N21q11Q1N21Q2211dddddduwFFFFMFMFFkxxxAGEIMEA 12P121P2FF 第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功 =第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功P1N1Q11N122q22Q2N1Q1212ddddddxuwkFFMFFFMFFxxEAMGAEI 6-4 互等定理令令FP1=1 ，FP2=112= 21位移互等定理 1位置上单位力引起2位置上的位移 =2位置上单位力引起1位置上的位移12P121P2FF