电工与电子技术第4章暂态电路

1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1：如下图所示的电阻电路，：如下图所示的电阻电路，t=0时将开关时将开关S闭合，分闭合，分析开关闭合前后电流析开关闭合前后电流I的变化。的变化。换路：换路：开关开关S S的打开、闭合所的打开、闭合所引起的电路工作状态的变化，引起的电路工作状态的变化，+-USR1R2IS0tI2SUIR 12SUIRR 换路换路稳态稳态1 1稳态稳态2 2无过渡无过渡4.1.1 电路的暂态电路的暂态稳态：稳态：电路中电压、电流等电路中电压、电流等是不随时间变化的恒定量是不随时间变化的恒定量过渡过程：过渡过程：由前一个稳态过由前一个稳态过渡到下一个稳态所经过的物

2、渡到下一个稳态所经过的物理过程理过程上页上页下页下页返回返回0iti = 0 i= Us/R (t = 0)t1uC=USuct0?换路换路稳态稳态1 1稳态稳态2 2有过渡有过渡稳态稳态1 1稳态稳态2 2有过渡有过渡暂态：暂态：电路在过渡过程中所电路在过渡过程中所处的状态。暂态中的物理量处的状态。暂态中的物理量都是随时间变化的函数都是随时间变化的函数i = 0 例例2：如下图所示的电容电路，：如下图所示的电容电路，t=0时将开关时将开关S闭合，分闭合，分析开关闭合前后电容上电压电流的变化。析开关闭合前后电容上电压电流的变化。4.1.1 电路的暂态电路的暂态S+uCUSRCi+-uC=0动态

3、电路：动态电路：由电容和电感这由电容和电感这些动态元件构成的电路。电些动态元件构成的电路。电路发生换路时有过渡过程路发生换路时有过渡过程上页上页下页下页返回返回4.1.1 电路的暂态电路的暂态t0 0： 一般设为电路发生换路的时刻一般设为电路发生换路的时刻t0 0- -：t0 0+ +：表示换路前的瞬间表示换路前的瞬间表示换路后的瞬间表示换路后的瞬间f(t)t0f(t)在在t=0连续，连续， f(0- -)= f(0+)f(t)t0f(t)在在t=0不连续，不连续， f(0- -) f(0+)例：例：上页上页下页下页返回返回4.1.2 换路定理换路定理(0 )(0 )CCuu (0 )(0 )

4、LLii 在电容电路中，当电容上的电流为有限值时，在电容电路中，当电容上的电流为有限值时，换路瞬间电容上的电压不会突变；换路瞬间电容上的电压不会突变； 同理，在电感电路中，当电感上的电压为有限同理，在电感电路中，当电感上的电压为有限值时，换路瞬间电感上的电流不会突变；值时，换路瞬间电感上的电流不会突变；推导：推导：01(0 )( )Cui t dtC iC C为有限值为有限值001(0 )( )dCui ttC 但电路中其他元件上的电压电流在换路瞬间不但电路中其他元件上的电压电流在换路瞬间不能保证也不会突变！能保证也不会突变！上页上页下页下页返回返回l电路的初始值电路的初始值电路中各电压电流在

5、电路中各电压电流在t t0 0+ +时刻的值时刻的值4.1.3 电路初始值分析电路初始值分析l初始值分为两类初始值分为两类独立初始值独立初始值非独立初始值非独立初始值满足换路定理的初始值，也即：满足换路定理的初始值，也即：uC(0(0+),),iL(0(0+) )不满足换路定理的初始值，也即：电路中除了不满足换路定理的初始值，也即：电路中除了uC(0(0+),),iL(0(0+) )之外的其他所有初始值。之外的其他所有初始值。上页上页下页下页返回返回l独立初始值的确定独立初始值的确定4.1.3 电路初始值分析电路初始值分析借助在借助在t t0 0- - 时刻的值，应用换路定理时刻的值，应用换路

6、定理 例例11如下图所示，换路前电路处于稳态，试求图中电如下图所示，换路前电路处于稳态，试求图中电容上电压的初始值。容上电压的初始值。解：解：换路前电路处于稳态，换路前电路处于稳态，所以所以在换路前的电路中，在换路前的电路中，电容相当于开路电容相当于开路。(0 )10CuV 由换路定理得：由换路定理得：(0 )(0 )10CCuuV 上页上页下页下页返回返回l非独立初始值的确定非独立初始值的确定4.1.3 电路初始值分析电路初始值分析借助独立初始值，在借助独立初始值，在t t0 0+ + 时刻的电路中得出时刻的电路中得出 例例11如下图所示，换路如下图所示，换路前电路处于稳态，试求图前电路处于

7、稳态，试求图中电容上电流的初始值。中电容上电流的初始值。解：解：由换路前的电路可得：由换路前的电路可得：(0 )(0 )10CCuuV 在在t t0 0+ + 时刻电容可以看做是时刻电容可以看做是一个一个10V10V的电压源的电压源，则可得，则可得：105(0 )10CiA 上页上页下页下页返回返回 例例22如下图所如下图所示，换路前电路示，换路前电路处于稳态，试求处于稳态，试求图中电容与电感图中电容与电感上电压、电流的上电压、电流的初始值。初始值。解解: (1): (1)通过通过0 0- -的电路，并应用换路定理，得出独的电路，并应用换路定理，得出独立初始值：立初始值：+-8VuCS24UR

8、t0R1i14R2iCC+-uL4R3iLL+-4.1.3 电路初始值分析电路初始值分析11313(0 )/ /LURiRRRRR 1313/ /(0 )/ /CRRuURRR (0 )4CuV (0 )1LiA uC(0- -)iL(0- -)t0- -上页上页下页下页返回返回+-8VuCS24URt0R1i14R2iCC+-uL4R3iLL+- 例例22如下图所如下图所示，换路前电路示，换路前电路处于稳态，处于稳态，试求试求图中电容与电感图中电容与电感上电压、电流的上电压、电流的初始值。初始值。4.1.3 电路初始值分析电路初始值分析解解: (2): (2)在在0 0+ +的电路中，分析非

9、独立初始值：的电路中，分析非独立初始值：t0+iL(0+)uC(0+)2(0 )(0 )(0 )(0 )CLCCUR iiR iu列列KVL得：得：23(0 )(0 )(0 )(0 )0CCLLR iuR iu1(0 )=3CiA解得：4(0 )=3LuV上页上页下页下页返回返回4.2.1 4.2.1 RC电路的零输入响应电路的零输入响应 换路后电路中换路后电路中无外加激励无外加激励，仅由储能元件仅由储能元件的初始储能的初始储能所引起的电压电流。所引起的电压电流。 右图右图RC电路中，换路前电电路中，换路前电路已达稳态，电容两端的电路已达稳态，电容两端的电压为压为U0。 当当t=0t=0时开关

10、从时开关从2 2合到合到1 1，于是电容通过电阻，于是电容通过电阻R开始开始放放电电。这时该电路中的所有电流电压均是电容的初始储。这时该电路中的所有电流电压均是电容的初始储能产生的。能产生的。U0Ci21t=0R+uC+uR+4.2 4.2 RC电路的暂态分析电路的暂态分析零输入响应零输入响应上页上页下页下页返回返回分析换路后（分析换路后（t 0+）电路中的各）电路中的各电流电压电流电压(即零输入响应即零输入响应)。对换路后的电路列方程得：对换路后的电路列方程得：0CCduRCudt(一阶线性齐次常微分方程一阶线性齐次常微分方程)则方程的通解为：则方程的通解为：ptCuAe 将该解代入列出的微

11、分方程可得：将该解代入列出的微分方程可得：1pRC 又知：又知： t=0+时时， uC(0+)=uC(0-)= U0 10 (0 )tRCCuU et 4.2.1 4.2.1 RC电路的零输入响应电路的零输入响应U0Ci21t=0R+uC+uR+可得：可得： A= U0 上页上页下页下页返回返回4.2.1 4.2.1 RC电路的零输入响应电路的零输入响应U0Ci21t=0R+uC+uR+通过对换路后的电路列方程，求解微积分方程可得：通过对换路后的电路列方程，求解微积分方程可得：10tRCRCuuU e 电路中其他零输入响应分别为：电路中其他零输入响应分别为：10tCRRCCduuUiCedtR

12、R 分析换路后（分析换路后（t 0+）电路中的各）电路中的各电流电压电流电压(即零输入响应即零输入响应)。10 (0 )tRCCuU et 上页上页下页下页返回返回U0tuC0-U0/R=I0t0 (1) (1)同一同一RC电路中的电压、电流是按同一指数规律衰电路中的电压、电流是按同一指数规律衰减的函数；减的函数；冲冲击电流击电流!-U0=UR0连续连续( )(0 ) (0 )tRCf tfet iuR由这三个零输入响应可得出：由这三个零输入响应可得出：4.2.1 4.2.1 RC电路的零输入响应电路的零输入响应10 (0 )tRCCuU et 上页上页下页下页返回返回 （2 2）衰减快慢取决

13、于特征根）衰减快慢取决于特征根p的大小，即与的大小，即与RC有关。有关。说明衰减快慢仅取决于电路的结构和元件的参数；说明衰减快慢仅取决于电路的结构和元件的参数；令令 =RC , 称为电路的时间常数称为电路的时间常数 p= -1/ 单位：单位：秒（秒（s） 的大小反映了电路过渡过程的长短的大小反映了电路过渡过程的长短 越大越大 衰减越慢，过渡过程时间越长衰减越慢，过渡过程时间越长 越小越小 衰减越快，过渡过程时间越短衰减越快，过渡过程时间越短U0tuc0 小小 大大故，通过故，通过改变改变R、C的大小的大小可以改变电路可以改变电路过渡过程的进过渡过程的进展速度展速度 的的物理含义物理含义10tR

14、CCuU e 4.2.1 4.2.1 RC电路的零输入响应电路的零输入响应上页上页下页下页返回返回所以：工程上一般认为所以：工程上一般认为经过经过3 5 , , 暂态过程就结束了。暂态过程就结束了。而理论上，只有经过而理论上，只有经过t =长的时间才能达到稳定。长的时间才能达到稳定。 故：故： 可理解为是可理解为是电容电压衰减电容电压衰减到初始值的到初始值的36.8%所需的时间所需的时间可解出当可解出当t 时时，uC=U0e -10.368U0U0tuC00.368U0 0(0 )tCuU et 4.2.1 4.2.1 RC电路的零输入响应电路的零输入响应 （2 2）衰减快慢仅取决于电路的时间

15、常数）衰减快慢仅取决于电路的时间常数 的大小的大小可解出当可解出当t3 5 时时，uC 0上页上页下页下页返回返回如图电路开关如图电路开关S原在位置原在位置1，且电路已达稳态。，且电路已达稳态。V16484624)0(4214 ScURRRRu在在t=0-时时 , S=1V16)0()0( CCuut = 0 时开关由时开关由1转转2，已知，已知US=48V，R1=2，R2=6，R3=1.6，R4=4，C= 25F试试求求 t 0时的电压时的电压uc和电流和电流 ic，i1和和i2 。 解解例例上页上页下页下页返回返回t = 0 时开关由时开关由1转转2，已知，已知US=48V，R1=2，R2

16、=6，R3=1.6，R4=4，C= 25F。 46 . 14646 34242RRRRRRsCR461010254 (a)t=0(a)t=0- -4104AtccduiCedtV16)0(410 ttCCeeUU 在在t=0+时时 41041241 6 .AtcRiieRR(b)t=0(b)t=0+ +解解4102124A tci(ii ). eRC上页上页下页下页返回返回4.2.2 4.2.2 RC电路的零状态响应电路的零状态响应换路后储能元件的换路后储能元件的初始储能为零初始储能为零，由电路中，由电路中外加激外加激励所引起的电压电流励所引起的电压电流。零状态响应零状态响应 右图右图RC电路

17、中，开关闭合前电路中，开关闭合前电容未储存能量，电容未储存能量，uC(0- -)=0。 当当t=0t=0时开关闭合，电源通过电阻时开关闭合，电源通过电阻R对电容对电容充电。这充电。这时该电路中的所有电流电压均是外加激励所产生的。时该电路中的所有电流电压均是外加激励所产生的。SUSCit=0R+uC+uR+上页上页下页下页返回返回分析换路后（分析换路后（t 0+）电路中的各）电路中的各电流电压电流电压(即零状态响应即零状态响应)。CCSduRCuUdt (一阶线性非齐次常微分方程一阶线性非齐次常微分方程)方程的解为：方程的解为：CCCuuu 对换路后的电路以对换路后的电路以uC为变量列为变量列方

18、程得：方程得： +SUSCit=0R+uC+uR+4.2.2 4.2.2 RC电路的零状态响应电路的零状态响应又称为又称为稳态解，强制分量稳态解，强制分量CSuU 特解，取特解，取t=时即电路处于稳定后时即电路处于稳定后uC C的值的值 :Cu 上页上页下页下页返回返回tRCCuAe A= -US又初始条件又初始条件 uC (0+)= uC (0-)=0，代入上式得：，代入上式得：的通解：的通解：d0dCCuRCut ( ) (0 )tRCCCCSutuuUAet 对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解 :Cu (1) (0 )ttRCCsssuUU eUet 4.2.2 4.2.2 RC电路的

19、零状态响应电路的零状态响应分析换路后（分析换路后（t 0+）电路中的各）电路中的各电流电压电流电压(即零状态响应即零状态响应)。SUSCit=0R+uC+uR+上页上页下页下页返回返回t0Ust0uCCddtSRCuUiCetR tRCRsuU e i连续连续Us/R变化曲线变化曲线UsuR换路后，电容开始充电，电容电压从零随时间按指换路后，电容开始充电，电容电压从零随时间按指数规律逐渐上升趋近稳态值数规律逐渐上升趋近稳态值Us s，充电快慢取决于电路，充电快慢取决于电路的时间常数的时间常数 ，即，即RC。 越大，充电越慢。越大，充电越慢。0.632Us 4.2.2 4.2.2 RC电路的零状

20、态响应电路的零状态响应SUSCit=0R+uC+uR+ (0 )tRCCssuUU et 上页上页下页下页返回返回 全响应：换路后储能元件的初始储能不为零，全响应：换路后储能元件的初始储能不为零，同时又有外加激励时电路的响应。同时又有外加激励时电路的响应。SU0Ci21t=0R+uC+uR+Us t=0开关合到开关合到1上，电路中有电源上，电路中有电源Us，且电容元件上，且电容元件上有初始储能有初始储能U0。 此时电路中的响应为电容的初始储能和电源激励共此时电路中的响应为电容的初始储能和电源激励共同作用的结果。同作用的结果。4.2.3 4.2.3 RC电路的全响应电路的全响应1. RC电路的全

21、响应电路的全响应上页上页下页下页返回返回方程的解为：方程的解为：( )tRCCCCSutuuUAe uC (0+)=A+US= U0 A=U0-US又初始条件又初始条件uC (0-)= uC (0+)=U0，代入上式得：，代入上式得：0() (0 )tRCCSSuUUUet SU0Ci21t=0R+uC+uR+Us1. RC电路的全响应电路的全响应 对换路后（对换路后（ t 0+ ）的电）的电路以路以uC为变量列方程得：为变量列方程得： CCSduRCuUdt (一阶线性非齐次常微分方程一阶线性非齐次常微分方程)上页上页下页下页返回返回0(1) (0 )ttRCRCCSuU eUet 特解特解

22、稳态分量稳态分量强制分量强制分量 通解通解瞬态分量瞬态分量自由分量自由分量+零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应 由电容的由电容的 初始储能引起初始储能引起 由外加激励由外加激励 引起引起+1. RC电路的全响应电路的全响应0() (0 )tRCCSSuUUUet 上页上页下页下页返回返回-USU0USU0uctuc0 USU0U0ucU0和和Us的大小决定了是对电容充电还是放电的大小决定了是对电容充电还是放电1. RC电路的全响应电路的全响应0() (0 )tRCCSSuUUUet 特解、稳态解特解、稳态解uC通解、瞬态解通解、瞬态解uC上页上页下页下页返回返回 任何形式的一阶动态电路的

23、响应都可以用下式表示：任何形式的一阶动态电路的响应都可以用下式表示：( )( ) (0 )( ) (0 )tf tfffet 2. 三要素法求解动态电路三要素法求解动态电路t=0+时的解，初始值时的解，初始值f () ：f (0+) ： ：时间常数，时间常数，RC电路中电路中 =RCt=时的解，稳态解时的解，稳态解上页上页下页下页返回返回例例1:如图如图, S闭合前电路已处于稳态闭合前电路已处于稳态, t=0时合上时合上S, IS=9mA,R1=6K, R2=3K,C =2F, 试求试求 t0 时时uC和和iC。0054S1()()VCCuuIR1200018()()()ACCCSuuiImR

24、R121218( )VCSRRuIRR 120122KRRRRR304 10sR C250018/( )()( ) eeAttCCCCiiiim 解解:(1) 确定初始值确定初始值(2) 确定稳态值确定稳态值0C( )i (3) 求时间常数求时间常数25001836/()()() eeVttCCCCuuuu uC-+CSt = 0 R1R2iCIS-+CR2R1ISiC(0+)uC(0+)-+CR2R1ISuC()上页上页下页下页返回返回4.3 微分电路和积分电路矩形脉冲信号矩形脉冲信号 Us s为脉冲幅度，为脉冲幅度，t tp p为脉冲宽度为脉冲宽度, ,T T为脉冲周期为脉冲周期. . 上

25、页上页下页下页返回返回SUt0uitpiu+-CR4.3.1 微分电路微分电路1.从电阻两端取输出：从电阻两端取输出：oRuu 2. tp输出电压与输入电压的积分成正输出电压与输入电压的积分成正比，故称为比，故称为积分电路积分电路。电容先充电后放电电容先充电后放电+- -uot0uC锯齿波锯齿波 dtudtiuuiuuuuicciRC1C1R oRR故故则则积分电路用途：积分电路用途：把距形脉冲变换为把距形脉冲变换为锯齿波用作为扫描电压锯齿波用作为扫描电压上页上页下页下页返回返回4.4 RL电路的过渡过程4.4.1 4.4.1 RL电路的零输入响应电路的零输入响应 换路后，电路中无外加激励，换

26、路后，电路中无外加激励，仅由电感中的初始储能产生各仅由电感中的初始储能产生各电压电流。电压电流。U0SLiL21t=0R+uL+uR+由换路前的电路可得：由换路前的电路可得： 对换路后的电路列方程得：对换路后的电路列方程得： 0LLdiRiLdt 0(0 )RRttptLLLLUiAeieeR 0(0 )LUiR 上页上页下页下页返回返回0RtLRLuiRU eu -U0=UL0t0iLt0 (1) (1)同一电路中的电压、电流是按同一指数规律衰减同一电路中的电压、电流是按同一指数规律衰减的函数；的函数；U0=UR0连续连续I0=U0/RuRuL说明：说明：U0SLiL21t=0R+uL+uR

27、+0RtLLUieR 4.4.1 4.4.1 RL电路的零输入响应电路的零输入响应上页上页下页下页返回返回（2 2）电路的时间常数电路的时间常数 = L/R (s) 越小（越小（R越大或者越大或者L越小），衰减越快，过渡越小），衰减越快，过渡过程越短。过程越短。0RtLLUieR 4.4.1 4.4.1 RL电路的零输入响应电路的零输入响应 越大（越大（R越小或者越小或者L越大），衰减越慢，过渡越大），衰减越慢，过渡过程越长。过程越长。上页上页下页下页返回返回tiL0SURRtSSLUUeRR ()RtLLLLLiiiiAe (1) tRstLSRsuRiUeuUuU e LiL+uLSUSt

28、=0R+uR+4.4.2 4.4.2 RL电路的零状态响应电路的零状态响应 已知已知iL(0)=0显然，电感的初始储能为零，显然，电感的初始储能为零，换路后电路中的电压电流由外换路后电路中的电压电流由外加激励产生。加激励产生。对换路后的电路列方程得：对换路后的电路列方程得： LLSdiRiLUdt 上页上页下页下页返回返回 例例11电路如下图，电路如下图，t=0=0时合上开关，已知时合上开关，已知U=12V=12V，R1=4=4, ,R2=6=6, ,R3=3=3, ,L=1H=1H。求。求t0 0时的时的iL和和i1 、i2iLR1i1LR2St=0U+-R3i2由换路前的电路可得：由换路前

29、的电路可得：12(0 )1.2(0 )LLUiAiRR iL()：123()2/ /LUiARRR 4.4.3 4.4.3 RL电路的全响应电路的全响应解：解：而换路后的电路又加入了外加而换路后的电路又加入了外加激励，所以该电路为全响应电路，故用三要素法求解。激励，所以该电路为全响应电路，故用三要素法求解。由由t=时的稳态时的稳态电路可得：电路可得：上页上页下页下页返回返回/6( ) (0 )( )20.8ttLCLLiiiieeA 6312324315tLRiieARR 6232348315tLRiieARR 123(/ /)6eqRRRR ： =L/Req=1/6s 例例11电路如下图，电路如下图，t=0=0时合上开关，已知时合上开关，已知U=12V=12V，R1=4=4, ,R2=6=6, ,R3=3=3, ,L=1H=1H。求。求t0 0时的时的iL和和i1 、i24.4.3 4.4.3 RL电路的全响应电路的全响应iL