2020届西南名校联盟“3+3+3”高三备考诊断性联考(一)数学(文)试题(解析版)

1、2020届西南名校联盟“ 3+3+3”高三备考诊断性联考（一）数学（文）试题一、单选题1. 2019年国庆黄金周影市火爆依旧，我和我的祖国、中国机长、攀登者票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过我和我的祖国或中国机长的学生共有80位，看过中国机长的学生共有60位，看过中国机长且看过我和我的祖国的学生共有 50位，则该校高三年级看过我和我的祖国的学生人数的估计值为（）A. 1150B. 1380C. 1610D. 1860【答案】C【解析】根据样本中看过我和我的祖国的学生人数所占的比例等于总体看过我和我的祖国的学生人数所占的比例，即可计算出全校

2、中看过该影片的人数【详解】依题有接受调查的100名学生中有70位看过我和我的祖国，故全校学生中约有23000.7 1610人看过我和我的祖国这部影片，故选 C.【点睛】本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致 .2.若复数z满足21 =i,则|z|二（）zA. 5B. gC. 55D.娓【答案】D【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解，也可以运用复数模的运算性质，等式两侧直接求模.【详解】方法1:由2i ,得| |i|, |z|金, z|z|2 i2 i万法2：由i ,可得z1-2i , z 71 22 45

3、 ,故选D. zi【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.3 .某单位共有老年人 120人，中年人360人，青年人n人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为 m的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n和m的值不可以是下列四个选项中的哪组（）A. n=360, m=14 B. n=420, m=15 C. n=540, m=18 D. n=660, m=19【答案】C【解析】个体有明显差异的几个部分组成时往往采用分层抽样，分层抽样中每个个体被抽到的可能性和个体在每个部分中被抽到的可能性相等，总人数等于各层抽取人数的和，列出等式即可进行求解

4、.某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，样本中的中年人为 6人，则老66年人为120 2 ,青年人为 n360360n60,2 6 一 m 8 m,代入选项计 6060第18页共18页算，C不符合，故选C.本题考查分层抽样方法， 是一个基础题,解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中，属于基础题.4 . sin2 x cos2 x 0 的解集为（）B. k ,ky, k Z ,3D. k -,k -, k Z44A. 2k ,2k,k Z2C. k -,k-, k Z44【答案】D【解析】利用三角函数线解不等式得解原不等式等价于|sinx

5、| |cosx|,即正弦线长度大于或等于余弦线长度，故选 D.【点睛】本题主要考查三角函数线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.a2 a4 a8 14S145.已知Sn是等差数列an的前n项和，若 "7，则二 二（）a3 a69S9A. 14B. 7C. 3D. 2932【答案】B【解析】 先通过a2 a4 ,a3a614-,设首项和公差分力1J为 a1和d，代入即可找出二者之间的关系，再由Snna1【详解】设an的公差为d ,由a2a3故选B.S914(ai ai4)a4 a8a6146，a1SI4 d 0 ,S929(&a)214 15d7 ,9

6、10d3本题考查等差数列的基本量以及前n项和公式,关键是求出a1和d的值,考查了计算能力，是中档题6.已知函数asin xxy -x 在点M(0 0)处的切线万程为一b=1B. a= 1, b= 1 C. a=1, b=1D. a=1, b= 1a【解析】先对函数求导，求得f( ) 一 , f(0) 0 ,再由点斜式求得切线方程由题意可知axcosx asinx,故在点M( tt, 0)处的切线方程为a /y (x兀1, 故选C.1,本题考查导数的几何意义,求切线的方程即函数f x在Xo,f Xo 处的切线方程为f Xof Xo xx0 .7.xcos2x函数f(x) O的图象大致为(x 1A

7、 .-yTT4C, D,再根据函数值的正负即可判断【答案】B【解析】根据函数的奇偶性排除【详解】由f (x)为奇函数，得f(x)的图象关于原点对称，排除C,D;又当0 x时，f(x) 0, 4故选B.【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复.(2)由实际情景探究函数图象.关键是将问题转化为熟 悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题.8.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底

8、面 ABCD是平行四边形，且 AB = 1 , BC = 2, /ABC =60°, PAL平面 ABCD , AE，PC于E,下列四个结论： ABXAC;ABL平面 PAC;PC,平面 ABE;BE，PC .正确 的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】在 ABC中，由余弦定理可求出BAC 90°,再由PAL平面ABCD,可证出ABL平面PAC,再由AELPC于E,线面垂直的判定定理，可证明 PC,平面ABE,根 据线面垂直的判定，可证出BEXPC,因此可知正确命题的个数 .【详解】已知AB 1, BC 2, ABC 60 ,由余弦定理可得AC2 A

9、B2 BC2 2AB BC cos60 3,所以 AC2 AB2 BC2 ,即 AB AC,正确;由PA 平面ABCD,得AB PA,所以AB 平面PAC ,正确；AB 平面PAC，得AB PC ,又AE PC ,所以PC 平面ABE,正确；由PC 平面ABE,得PC BE ,正确，故选：D.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理，考查了逻辑推理能力，属于中档题.2为()D. 1 + i【解析】由程序框图，先确定 n的值，再判定其和20之间的关系，逐次运行，即可求9.已知i为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的出结果.由程序框图得z 0,第一次运行a 0 1 1, z 1

10、 0 1, n 0 1 1 ；第二次运行b 0 i i, z 1 i, n 1 1 2 ;第三次运行，故 z (1 1 1 L 1) (i i L i) 0,故选 C.【点睛】本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查 先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环 起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题, 分清是求和还是求项.22一一 x y10.双曲线E: 31（a>0, b>0）的一条渐近线万程为y=2x,过右焦点F作x轴a b的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A,若4OAF

11、的面积是2j5（O为原点），则双曲线E的实轴长是（）A . 4B. 272C. 1D. 2【答案】D【解析】 先由近线方程为y 2x,可求出a,b,c之间的关系，再结合 OAF的面积是2、,5,找到等量关系，进而求出双曲线的实轴长.【详解】因为双曲线e的一条渐近线方程为y 2x,所以b2,e c1bLJ5,由aa.a21b22 OAF的面积是2J5,得c 2而，所以b2 4, b 2,所以a 1,双曲线的实2 a轴长为2,故选D.【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题.22x y 2.2 八11.对于不等式x y m的解（x,y）, x, yC R,都能

12、使得不等式组成x 2y 4立，则m的取值范围是（）4.5A. (0,-r-5B.0,16 5C. 0,6D. (0,29【解析】首先由0,0在区域内，可求得此时 m=0,即可排除AD,当m 0时，表示圆在不等式表示的可行域内，进而利用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出m的取值范围.【详解】当x 0, y 0时，即x2 y2 0符合题意，此时 m 0,排除A, D,由题意可知，,x y 2'2以（0,0）为圆心的圆在不等式,所表木的区域内，半径最大的圆x 2y 4x2 y2 m应与直线相切，圆心到x 2y 4 0的距离为d1444_51 455圆心到x y 2J2的距离为d2|2、,

13、2|.1 12,由于d1d2,符合题意的最大的圆为 x2 * 4 y22416 ,4L16,故选 B.、55线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、 还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定参数的范围22112.已知圆O： x y 一4为始边，逆时针旋转到 OE,OF为终边的最小正角分别为给出如下3个命题:当k为常数，b为变数时,sin(“+ 3是定值;当k为变数，b为变数时,sin(3是定值;当k和b都是变数时,sin(9是定值.,直线l: y=kx+b(kwQ) l和圆。交于E

14、, F两点，以 Ox其中正确命题的个数是()A. 0B. 1C.D. 3【解析】首先设出E(x, yi) , F(x2, V2),进而可得11X) 一 cos ， x2-cos221 .yi -sin ， y sin22再将直线和圆联立方程组，运用韦达定理即可进行判断设点 E(x, %) , F(x2, y2),由三角函数的定义得iiX1-cos ，X2cos221 .1 .yi-sin ,y2 sin22将直y kx b,线EF的方程与的方程联立221x y ,4由韦达定理得2kbX1 x22 ，k 1X1X2b2P所以sin()sin cos cos sin4x24xy24x2(kx1 b

15、) 4x1 (kx2 b) 8kxix22128k b28 kb244b(x1 x2)2k 1a, P1因此，当k是常数时，sin()是常数，故选B(特值法可秒杀)本题考查了三角函数的定义和韦达定理，运算求解是关键，考查了转化和化归思想，属 于中档题.二、填空题r r r r rr , r13.已知|a|=1, |b 1=8, a (b a) 3,则向重a与b向重的夹角是 .,Tt【答案】3rrrr r【解析】由a (b a) 3,运算可求得a b 4,再由平面向量的数量积即可求出向量r , r ,1, 一 a与b向量的夹角r r4 ,故 cos a, b与r a量向贝【详解】rrrrrrrr

16、r由 a (b a) 3 ,得 a b a a 3 ,即 a br , _ 冗b的夹角为 3【点睛】r rr r a b本题考查平面向量的数量积，由公式 cos a, b 七十即可求出夹角，属于基础题. |a| |b|d 2,进而求得a3.【详解】由Sn的表达式知，an为等差数列，设公差为 d,则1, 1 d, 1 4d成等比数列，故(1 d)2 1 4d ,即 d2 2d 0 ,解得 d 0 或d 2,若 d 0,，1, Sn n,与A 0 矛盾，故 d 2, a3 1 2d 5.本题主要考查了等比数列和等差数列的前n项和公式的应用，其中根据等差数列的前n项和公式求出通项，再由等比数列列出方

17、程，求解公差是解题的关键，着重考查了推理与运算能力.【答案】8J3【解析】上下是两个相同的正四棱锥，由棱长由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公 式即可求解.【详解】由边长为2,可得正八面体上半部分的斜高为222 1 J3,高为行7 衣，则其体积为2座.33【点睛】 本题考查了棱锥的体积公式，考察了运算求解能力，属于基础题2 x16.已知点F1, F2,是椭圆C: a2yy 1(a>b>0)的左、右焦点，以 F1为圆心，F1F2 b2为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为_ _，一2-P.右椭圆C的离心率为一，SPFF312则椭圆C的方程为2295【解析】首先由椭圆的定义可得IPF2I

18、2a 2c,再求得sin PF2F1,结合三角形PF1F2 的面积，即可求得椭圆的方程 .【详解】依题意，| PFi | | F1F2 | 2c,由椭圆的定义可得| PF2 12a 2c,所以 严2| cos PF2 F1 =2IF1F2Ia c1115c21=1 1 17,从而 sin PF2F1 ,因为离心率-,所以 S*A PF1F2 - g2c2e 44a32IPF2 IIF1F2I sinPF2F155c(ac)55c2 ,又 S.PFFJ15,解得c24 ,所以241 222a2 9, b2 5故椭圆C的方程为人上 1 . 95【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，合理转化和求解是解

19、题的关键，属于中档题 三、解答题17 .根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1.5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次.其中，徒步方队15个.为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行.徒步方队队员，男性身高普遍在175cm至185cm之间；女性身高普遍在163cm至175cm之间，这是常规标准.要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身 高一般都在184cm至190cm之间.经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C为事件：某一阅兵女子身高不低于 169cm”，根

20、据直方图得到P(C)的估计值为0. 5.频率 w -»- -百 | MHar-ijf - » .hr , hl i【解析】(1)先根据正弦定理可求得cosB -,再由特殊角的三角函数求得B; 0 065-0X)5-3_S_79U 13-5TS女子玷鹤直方用注：耳商代码1-13分别对应身高M3775 (单位：em)求直方图中a, b的值；(2)估计这个阵营女子身高的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)【答案】(1)a= 0.125 b 0.075 (2)169.12cm【解析】(1)根据频率分布直方图可得频率，结合P(C)的估计值为0.5从而可计算a,b.(2)利

21、用组中值可计算这个阵营女子身高的平均值【详解】解：(1)由已知得(0.11 b 0.065) 2 0.5,故 b 0.075法一：2a 1 2 (0.11 0.075 0.075 0.065 0.05), a 0.125 .法二：1 P(C) 1 0.5 0.5, .,.2 (0.05 0.075 a) 0.5, z. a 0.125 .(2) 2 (0.05 2 0.075 4 0.125 6 0.11 8 0.075 10 0.065 12)2 (0.1 0.3 0.75 0.88 0.75 0.78)2 3.56 7.12,估计女子的平均身高为163 (7.12 1) 169.12 (c

22、m).【点睛】本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题18.在锐角 4ABC 中，a, b, c分别是内角 A, B, C 的对边，bcosC+(c-2a)cosB= 0.(1)求角B;(2)若a=1,求b+c的取值范围.【答案】(1) B (2)3-,8 232(2)根据正弦定理求 b+c的表达式，再由BA，结合A的范围即得b+ c的取值范围.【详解】 解：(1) bcosC (c 2a)cosB 0,bcosC ccosB 2acosB,由正弦定理得 sin BcosC cosBsinC 2sin AcosB,sin(B C) sin(兀 A)sin A0,1 .2cos B

23、1, cosB - 2又B是VABC的内角,(2) QVABC为锐角三角形,. AC 2 兀, 3由正弦定理得兀 “-A61sin A兀2，bsin BcsinC ',32sin Aci FsinBsinCsin 3sin Asin Asin A31cosAsin A22sin A.2 八sin 一兀 A3sin A32sin A_32cos Asin A3(1 cos A)2sin A2sin.b2c关于A为减函数兀 cos-2兀i 2兀 cos一6C - 兀2sin 612'2,即b c的取值范围是本题考查正弦定理，考查了三角函数的单调性，求出A的范围是解题的关键，考查了运

24、算求解能力，属于中档题19.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为正方形，PDL平面 ABCD , PD = AD =2.(1)求该四棱锥 P-ABCD的表面积和体积；(2)求该四棱锥P-ABCD内切球的表面积.【答案】S= 8+4&，V= 8 (2)(24-16点)兀3【解析】(1)四个侧面都是直角三角形，进而求出边长，即可求得侧面积，底面是正方形，二者相加即可求出表面积，PD，平面ABCD,故四棱锥的高为 PD ,再由棱锥的体积公式求出体积；(2)设内切球的半径为r,球心为O,根据等体积法求出内切球的半径，则由VP ABCDVOPABVOPADVOPCBVOPCDVOAB

25、CD ? 即可求得半径，进而求出内切球的表面积.【详解】(1)解：(1)由已知底面 ABCD为正方形，PD，平面ABCD,PD AD 2,得 PDAD, PDXAB, AD LAB.又 PD AD D ,，AB，平面 FAD, . PAL AB, . PA 2金,PB 2氐,Svpab2沟2, Sa pad2,同理 Svpcb2.2, Sa pcd2, Sabcd4,Sg棱锥表面积 41 2 38,1Vp ABCDSabcd PD3S=8+472 , V= 83(2)设内切球的半径为r,球心为O,则球心O到平面PAB,平面FAD,平面PCB,平面PCD,平面ABCD的距离均为r,由Vp ABC

26、DVO PABVOPADVO PCBVO PCDVoABCD，可得11q1 q-SABCDPD- SAPABr- SA PADr3331S3 SAPCB土方形ABCDPDS3棱锥表面积2 .3 £加切球表面积4<2(24 16位)兀.r=2应,S= (24-16")兀【点睛】此题考查求锥体的表面积和内切球的表面积，考查通式通法，尤其是几何体内切球的大小通常用等体积法求其半径.20.已知函数 f(x) k(x 1)ex x2,其中 kCR.当k=- 1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当kC1, 2时，求函数f(x)在0, k上的最大值.【答案】(1) f(x)的单调

27、递增区间为(，0), f(x)的单调递减区间为(0,) ,k 2(2) f (x)max k(k 1)e k'''【解析】(1)首先求出f x ,再由f x0求得单调递增区间，由 f x 0,解不等式即可求出单调减区间；2(2)首先求得f (x) 0,结合k的范围，可求得函数在0, ln- 上单倜递减；在k2ln k上单调递增，再比较 f(0), f(k)的大小，即可求得最大值 k【详解】解：(1)k 1, f (x) (x1)exx2,令 f (x)xex 2xx(ex 2) 0 x 0 ,故 x (, 0), f (x)0; x(0,),f (x) 0,f(x)的单

28、调递增区间为(，0), f(x)的单调递减区间为(0,)(2) f (x) kxex 2x x(kex 2),八一2令 f (x) 0 x ln- 0, ln2,其中 k 1,2. k人2_令 g(k) ln- k, k 1, 2 k'1 11g (k)k2g111 0,故 g(k)在1,2上单调递减，2 k2k3 2故 g(k)wg(1) ln2 1 0 In - kk ，22 .故 x 0, ln , f (x) 0; x In , k , f (x) 0 , kk2 2从而f (x)在0, In 上单倜递减；在 ln , k上单倜递增， kk故在0, k上，函数 f(x)max

29、maxf(0), f(k)max k, k(k1)ekk2,k 1,2.由于 f(k) f(0) k(k 1)ek k2 k k(k1)ek k 1,令 h(k) (k 1)ek k 1, k 1, 2,h(k) kek 1 0 ,对于 k 1,2恒成立，从而 h(k)>h(1) 0,即f(k)>f(0)，当k 1时等号成立， k 2故 f (x)maxf(k) k(k 1)e k .【点睛】本题考查函数的单调性和函数的最值，(1) 一般来说，判断函数的单调区间，就要考察函数的导函数在此区间上的符号，若函数中含有参数，这就可能引起分类讨论；(2)求函数在某区间上的最值，一般仍是先考

30、察函数在此区间上的单调性，再求其最值，本题中的参数是引起分类讨论的原因，难度较大，分类时要层次清晰221 .已知抛物线E： y = x ,的焦点为F,过点F的直线l的斜率为k,与抛物线E交于A, B两点，抛物线在点 A, B处的切线分别为11, 12,两条切线的交点为 D.(1)证明：/ ADB =90°(2)若4ABD的外接圆r与抛物线C有四个不同的交点，求直线 l的斜率的取值范围.【答案】证明见解析(2) k 百或kV3.【解析】(1)首先设出直线l的方程，再设A(x,yjB(x2,y2),直线与抛物线联立方程组，进而求出x1xj2的值，再对抛物线求导，结合导数的几何意义，即可证

31、明；(2)外接圆的直径为 AB,进而写出圆的方程，圆和抛物线联立方程组，消去y,等价于方程有两个不同的根，即可求出k的范围.【详解】、r ,、r. ，1j ,1(1)证明：依题意有 F 0,二，直线l： y kx -,44设A(。y) B(x2, y2),直线l与抛物线E相交，2x联立方程消去y,化简得kx所以，xi又因为y同理,直线所以,ki k2所以,直线(2)X2k, x1x22x ,所以直线li的斜率ki12的斜率k24x x2i,li I2,即解：由(1)可知,2x2,ADB 90 .2xi .0,圆 是以AB为直径的圆,设P(x, y)是圆上的一点，则uua uuuPA PB0,所

32、以，圆的方程为(x xi)(xx2) (yyi)(y y2)0,kx1i一 kx24二，yi y2 xi x2,2i6所以，圆i又因为 xi x2 k, xx2，yi y24的方程可化简为kx k23i60,联立圆与抛物线y2 kxk23i60,消去yk2即x2kx若方程2x kx0与方程x2kx3_i6kx0,kxkx0,0有相同的实数根2 x0则2 x0kx00,kx。2x0i八一-0,矛盾, 42kx004第i6页共i8页22123所以万程x kx 4 0与万程x kx 4 0没有相同的头数根,所以，圆 与抛物线E有四个不同的交点等价于2k2 1 0,2k2 3 0k.3或 k3,第23页共18页综上所述，k J3或k8.【点睛】本题考查了直线、圆和抛物线的交汇，联立方程组，运用韦达定理是解题的关键，考查了运算求解能力和化归思想，属于难题.22.已知曲线C的极坐标方程是 p= 6sin。