2019-2020学年江苏省南通市通州区高二下学期期中数学试题(解析版)

1、2019-2020学年江苏省南通市通州区高二下学期期中数学试题一、单选题1 .在复平面内，复数Z = -l+2i G为虚数单位）对应的点所在象限是（）A. -B.二C.三D.四【答案】B【解析】根据更数几何意义，即可求得答案.【详解】 Z = -l+2i复数z对应的点（一L2）故：更数z = l+万对应的点在二象限故选：B.【点睛】本题主要考查了求复数点所在象限，解题关键是掌握更数的几何意义，考查了分析能力, 属于基础题.2.已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23,样本点的中心（4,5）,则回归直线方程 为（）A. y = 1.23x+0.08B. y = 0.08x4-1.23C. y =

2、 1.23x+4d. y = 1.23x+5【答案】A【解析】由题意得在线性回归方程，=菽+中务=1.23,然后根据回归方程过样本点的中心得到4的值，进而可得所求方程.【详解】设线性回归方程9 =加+4中，由题意得6 = 1.23，7 = 1.23x+a.又回归直线过样本点的中心（4,5）, 工 5 = 1.23x4 + 4，a = 0.08 .回归直线方程为y = 1.23x+0.08 .故选A.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这 一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题.3.已知随机变量乂的分布列为。(乂=女)=2

3、(& = 1,2,3,4),则尸(1<XK3)=()3311A. B. -C. -D.10525【答案】C【解析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出等3和2时的概率，本题所求 的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可;【详解】kV随机变量X的分布列为3(X =/:) = (* = 1,2,3,4)23P(X = 2) = -, P(X = 3) = -231 P(l<XW3) = + = 10 10 2故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握互斥事件的概率公式，考杳了分析能力和计算能力，属于基础题.4 .由1, 2, 3, 4, 5, 6组成没有重

4、复数字且1, 3不相邻的六位数的个数是()D. 480A. 36B. 72C. 600【答案】D【解析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】 根据题意将2,45,6进行全排列，再将1,3插空得到A：x8=480个.故选：D.【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力.5 .甲、乙两人投篮，投中的概率分别为06, 0.7,若两人各投篮2次，则两人各投中 一次的概率为()A. 0.42B. 0.2016C. 0.1008D. 0.0504【答案】B【解析】本题是一个相互独立事件同时发生的概率，两人各投两次，两人都投中1次的 概率为C0.6x 0.4 x 0.7 x 0.

5、3 ,从而得到答案.【详解】.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6, 0.7二两人都投中1次的概率为C；0.6x0.4xC；0.7x0.3 = 0.2016故选：B.【点睛】本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生女次的概率，解题关键是掌握相互独立事 件概率的求法，考杳了分析能力和计算能力，属于基础题.6.设。eZ,且若4M° + 能被17整除，则的值为()A. 1B. 4C. 13D. 16【答案】D【丽】由4"" +。= 16皿°+。= (17 1)° +。，按照二项式定理展开，根据它能被17整除， 结合所给的选项可得。的值.【详解】V&#

6、171;eZ,且由 4”“ +。= 16血°+。= (17 1)° + =17° (-1)° + C；。/产(-1)1 + 十嘀” (一1)3 + C。+ a=%。17。+-1)° + 4户(-1)3 +C：霏 17(-1度 + 1+4又: 428。+ 能被17整除. 1+。能被17整除，结合0工。工16 4 = 16故选：D.【点睛】 本题考查了根据表达式整除来求参数问题，解题关键是掌握二项式定理，考查了分析能 力和计算能力，属于基础题.7.在某区2020年5月份的高二期中质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布XN(98,100).已知参

7、加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是()附：若X 则尸(-cr<X v+cr) = 0.6826,尸( - 2b<X <+2oj = 0.9544.A. 1500B. 1700C. 4500D. 8000【答案】A【解析】利用正态总体密度曲线的性质求出概率，即可得到结论.【详解】.考试的成绩X服从正态分布N(98/00)-,-/ = 98, <7 = 10 , .T08 = 98 + 10 = +b,/. P& >108)= 1一°"826 = 01587即数学成

8、绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%.9450xl5.87%«1500故选：A.【点睛】本题考查正态分布曲线的性质的应用，解题的关健是求出4 > 108的概率.【答案】A【解析】判断函数的奇偶性和对称性，xf-3时，函数值结/(x)值不趋近正无穷, 利用排除法，即可求得答案.【详解】xe(-3,O)U(O,3)-x由/(x) =x2- 3x可得T)=x2 + 3x故函数/(x) = V-A 3大不是奇函数，排除B, D； /(X)= J, Xf3时，函数值结/(X)值不趋近正无穷火 3x排除B综上所述，只有A符合题意故选：A.【点睛】本题考查了根据函数表达式求解函数图

9、象问题，解题是掌握奇函数图象特征和灵活使用 排除法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、多选题9.若C；S = C；：则X的值为()A. 4B. 6C. 9D. 18【答案】AC【解析】由C；8 = C；-'，可得3x8 =工或3工一8+x = 28,即可求得答案.【详解】 X 03尸8 V28 - J2s3工一8 二工或3%一8+工=28解得：x = 4或x = 9故选：AC【点睛】本题主要考查了求解组合数方程，解题关键是掌握组合数基本性质，考杳了分析能力和 计算能力，属于基础题.10.直线丫 = gx +能作为下列()函数的图像的切线.A. f(x) = - B. /(x)

10、= x4 C. f(x) = smx D. f(x) = exX【答案】BCD【解析】依次计算每个选项中的导数，计算/'(x) = ；是否有解得到答案.【详解】/(X)=-,故/，(灯=一± =，无解，故a排除； xr 211( 17/“)= /,故/*) = 4/=彳，故1=,即曲线在点的切线为产22loy2168正确；/(x) = smx,故八x) = cosx = ；,取x=g,故曲线在点：,丰的切线为), = J_x2+正，C 正确；2621(1Af(x) = ex,故尸(x) = e'=5,故x =-ln2,曲线在点一必2,5的切线为y = -x+-ln2

11、+ -,。正确； '222故选：BCD.【点睛】本题考查了曲线的切线问题，意在考查学生的计算能力.11.下列说法正确的有()A.任意两个复数都不能比大小B.若 z = a + bi (a e R,b e R),则当且仅当 q = Z? = O 时，z = 0C.若且z； + z；=O,则4 =豆=0D.若复数二满足同=1,则|z + 2i|的最大值为3【答案】BD【解析】根据更数定义，复数的几何意义，逐项判断，即可求得答案.【详解】A,亚数2 =+而(4£凡人£氏)，当/? = 0时，Z为实数，可以比较大小，. A为假命题.B,兔数z = +bi(4 wR),当 z

12、 = 0 时，。=0 且6 = 0 ,.B为真命题.c,当4 = 1,么=，时，z； + z；=o，但4WZ2. c为假命题.D,设Z = x+>i(x,y WH)更数z满足z=l,可得：x2 + y2 = 1即：x2 = l-y2, -l<y<l由|z + 2/j，可得卜 + 2/| = x+ yi + 2"=卜+（y + 2）/| = Jx? + （y + 2将犬=1 - y2代入可得：卜 + 2i = Jl-y? + （y + 2=J4y+ 5 <3.D为真命题.故选：BD【点睛】本题解题关键是掌握好数的基础知识，掌握复数几何意义，考查了分析能力和推理能

13、力, 属于基础题.12.已知+的展开式中各项系数的和为2,则下列结论正确的有（）A. a = lB.展开式中常数项为160C展开式系数的绝对值的和1458D.若，为偶数，则展开式中和X-的系数相等【答案】ACD【解析】（l + ）（2x工）6中，给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出。，利用二项 X X展开式的通项公式求出通项，进而可得结果.【详解】对于A, + X 八 X）令二项式中的X为1得到展开式的各项系数和为1 + 4 ,：.1 + 61 = 2 .a = l,故A正确；对于7咱仁kt2X-1<5（1 02x-展开式的通项为（+1=（I XJ/、6当21一上 展开式是中常数项为：

14、令6 2 = 0,得r=3I xj可得展开式中常数项为：7； = （-l）323C>-160,当_1（2_1）展开式是中常数项为：- （-1/2Qx6-2' = （-1/26-rQx5-2r 武 X）x令52r = 0,得r = 2（舍去）2故0+3丫2x-的展开式中常数项为160.故B错误;I X 八对于C,求其展开式系数的绝对值的和与+展开式系数的绝对值的和相等'1 +J（2x +斗 令x = l,可得：（1 + 代2 + ； =2x36 = 1458（1 +，）（2工一，）展开式系数的绝对值的和为：1458.故C正确；对于D,/1 02x-展开式的通项为心=（-1）

15、/26一«产匕当，,为偶数，保证展开式中和x-的系数相等 /和犬的系数相等，'1+121一展开式系数中/系数为：（一1）2267/k X 八 X）展开式系数中f系数为：（一1）2267盘/ 此时/和犬的系数相等,/和F的系数相等，'1 + !121一1展开式系数中父系数为：（1）125。%，I x 八 X）展开式系数中.一系数为：（-iy25c>4此时/和F的系数相等， < 和d的系数相等，'1 + !121一1展开式系数中f系数为：（1）°26cb6k x 人 X）展开式系数中金系数为：（-1）°26cM6此时V和d的系数相等

16、，故D正确：综上所在，正确的是：ACD故选：ACD.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中 档题.三、填空题13.计算 c； + c； + C + c； + c： =.【答案】35【解析】根据组合数的性质C：" + C：T = C7计算可得：【详解】解:c； + c； + c： + c； + c；= c； + c； + c： + c； + c；= c；+c：+c；+c：= c" + c；=c+c© 普=35故答案为：35【点睛】 本题考查组合数的性质，属于中档题.14 .设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知

17、取到白球个数的数学期望值 为"则口袋中白球的个数为.【答案】3【解析】设II袋中有白球X个，由已知可得取得白球4的可能取值为0, 1，2,则4服从超几何分布，利用公式。(4 = *)=(k= 0,1,2),即可求得答案.第22页共21页【详解】口袋中有白球X个，由已知可得取得白球个数4的可能取值为o，1, 2则4服从超几何分布，P(4 = k)=C；(k = 0, L 2),P0 = O) =7-xc2 p(D =竟C!C1 ."=言+2C； 6CT7/. x(7-x) + x(x-l) = yx21 = 18,/.6x = 18 ：.x = 3故答案为：3.【点睛】本题解

18、题关键是掌握超几何分布期望的求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15 .已知(x+ (2x-1)，= % + qx+ a2x2 4- 43d + + 4$xs (z e/?),若 q = 27,则的值为.1=1【答案】43【解析】因为(2x-I)7的展开通项为：心=C；.(2x)7-r (-l)r = C；-(-iy 2 父一,根据q二 27,求的?，将所给等式两边求导，即可求得£«)的值. /=1【详解】(2x -I)7 的展开通项为：7；+1 = C；2x)7-' .(_), =.(_iy. 27- -又,/ (x+?)(2x-1)7 = x(2x-l)

19、7 + m(2x-I)7二. q = 1 x C；(I)7 2° + mx C(-l)6-21 =-1 + 14/n = 27 = 2(x + 2)(2x - I)，= g + qx +. + 4sxs等式两边求导可得：l(2x - I)7 + (x + 2) 7 (2x I)， 2 = q + 2a2x + 3a3x2 + + Sa3x7=(2x -1)6 (2x -1 +14x + 28)=(16x + 27)(2% - I)，= % + 2a2x +. + 8/x7令x = l,得：q + 2% + . + 8/=43.之(iy) = 43 (=1故答案为：43【点睛】本题解题

20、关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.四、双空题16.规定A：=x(x 1)(x 7 + 1),其中X£R, mwN*,且4： = 1,这是排列数A：且的一种推广.则心丑=,则函数/(月二犬的单调减区间为.【答案】2"1-?”fl【解析】利用定义即可得出弓+,函数x) = A：=x(xl)(x2) = / 3/，利用导数研究其单调性，即可求得答案.【详解】/ A： =x(x-l)(x-m + l)维+】=(6+1)(6+1 1)(6+12)=(6+1)(6)(61) = 2/ f(x) = A： = x(x -1)(% _ 2)=r

21、 _ 3炉 + 2x则/'(x)= 3."6x+2令/'(x)<0,即：3x2 -6x + 2 <0AgZR 3 >j33 + y/3解得：<x <33函数f(x)的单调减区间为：1一日,1 +亭)故答案为：2抠,1 -4 +j【点睛】本题解题关键是掌握新定义和排列数的计算方法，及其根据导数求函数单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.五、解答题17.已知4 = + 2i, Z? =3-4，(其中1为虚数单位).(1)若二为纯虚数，求实数。的值；z2(2)若,-1|<忆| (其中乙是复数4的共辗复数)，求实数。的取值范围

22、.Q3【答案】(1)4 = 2(2) a>-32a 2 j【解析】(1)由4 = 4 + 27, z2 = 3 - 4i,可得五由3为纯虚数，即可求Z2 3 4/z2得。；(2)因为4一22 =(。+2，)一(3+4，)= (。-3) 2/，4一打 <|&|,故乙一么 <匕， 即可求得。的取值范围.【详解】(1)由 4 =。+ 21, z2 = 3-4/,Zi ci + 2/ (a + 2i)(3 + 4/) 3。- 8 4a+ 6 .=11得=1付 Z2 3-4/252525e 工为纯虚数，(2 )工-q - (a + 2/)-(3+4z) = (a-3)-2i,

23、z讣团,4一司- 匕，即(-31+4/ + 4,解得。2.【点睛】本题解题关键是掌握根据更数类型求参数的方法，复数除法和复数模求法，考查了分析 能力和计算能力，属于基础题.18.在一一晨(N3,£N*)的展开式中，第2, 3, 4项的二项式系数依次成等差数列.(1)求的值;(2)求展开式中含的项.【答案】(1)7 (2) X2【解析】(1)因为展开式中第2, 3, 4项的二项式系数依次成等差数列，可得:C： + C： = 2C；,整理得，/一9 + 14 = 0,即可求得的值；(2)当 =7时,展开式的第厂+1项为7；丑=(4 ，令14-3r = 2,即可求得含/的项.4【详解】(1

24、)因为展开式中第2, 3, 4项的二项式系数依次成等差数列, ;C： + C：=2C>整理得，2 9 + 14 = 0，即(一2)(-7) = 0 , .的值为7.（2）当 =7时,展开式的第厂+1项为其中0«747且reN.14 3 ."令=2 ,得 =2，44 = （-，21，展开式中含丁的项为:4【点睛】本题解题关键是掌握二项式通项公式，掌握二项式的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19.近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80 分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组.为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现 随机抽取

25、了 60名学生的成绩进行分析，数据如下图所示的2x2列联表.甲组乙组合计男生3女生13合计4060（1）将2x2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人,求至少有1人在甲组的概率.附：K2 =n(ad -bc(a + b)(c + d)(a + c> n = a + b+c + d. )(b + d)参考数据及公式:P（K2>k）0J000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）见解析，有90%的把握认为学生按成绩分

26、组与性别有关.（2）【解析】（1）根据所给数据填写2x2列联表，计算出K?，即可求得答案：（2）甲组有40人，乙组有20人，若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，从C2这6人中随机抽取2人，至少有1人在甲组的概率为尸=1-需，即可求得答案.【详解】（1）2x2歹IJ联表补充如下:甲组乙组合计男生27330女生131730合计402060根据列联表中的数据，可以求得户 _ 60（27x17 3x13）2 ”，30x30x20x4014.7 >2.706,有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关.（2 ） .甲组有40人，乙组有20人，若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，则抽取的

27、6人中甲组有4人，乙组有2人.C2 20从这6人中随机抽取2人，至少有1人在甲组的概率为P = l7二一.Q 2120故：至少有1人在甲组的概率为一.21【点睛】 本题解题关键是掌握卡方的求法和概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中 档题.20.已知函数+。eR.(1)当。=1时，求函数/(x)在区间一2上的最大值；(2)当 2 0时，求函数/")的极值.【答案】(1)2(2)当4 = 0时，没有极值；当。>0时，极大值为"+ 1,极小值为【解析】(1)当。=1时，/(x) = x3+x2-x+l,可得：r(x) = 3f + 2xl = (x+l)(3x1)

28、., /'(x) = 0,得x = 1 或x =列出函数单调性表格，即可最大值；(2) f (x) = 3x2 + 2ax-a2 =(x+r/)(3x-«),令r(x) = 0,得工=一。或x = g,分别讨论。=0和4 > 0,即可求得了")的极值.【详解】(1)当4 = 1 时，/(x) = x3 + x2-x+l,所以 fx) = 3x2 + 2x-1 = (x+ l)(3x-1).令/'(x) = 0,得工=i或x = ；,列表如下：X-2-1131尸+0一011/W/(-2)/极大值极小值/W由于/(1) = 2, /(1) = 2,所以函数

29、在区间2上的最大值为2.(2) /z(x) = 3x2 + 2ar-r/2 =(x+a)(3x-a),令r（x）=o,得户一”或无=上.当。=0时，r（x） = 3W，0,所以函数“X）在R上单调递增，无极值.当。0时，列表如下：X(-00,-4)-aa/ a7，+0°1。/+0一0+/极大值极小值/（a5二函数/（x）的极大值为/（） = /+ 1,极小值为/ =1一万/.13/ 乙/【点睛】本题主要考查根据导数求函数单调性和极值，解题关键是掌握导数求单调性的方法和极 值定义，考查分析能力和计算能力，属于中档题.21.为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特

30、别是医护 工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉.现有7名 医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院.（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设x, y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医 院的人数，记 = |x-斗，求随机变量小的分布列和数学期望石仔）.719【答案】（1）一（2）分布列见解析，一 429【解析】（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到雷神山'医院”为事件A, 7名 医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院，求出基本事件总数和事件A情 况数，根据概率计算公式，即可求

31、得答案：（2）若要求每家医院至少1人共有2-2 = 126种等可能的基本事件，随机变量g的所有取值为1, 3, 5,求得P（g = l）, P（4 = 3）, P（J = 5）即可求得分别列，根据期望 计算公式，即可求得答案.【详解】(1)设“7名医学专家中恰有两人被分配到雷神山'医院”为事件A，7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院，共有27 = 128种等可能的基本事件，其中事件A包含C； = 21种情况,所以P(A) =211287 故：7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为一.42(2)若要求每家医院至少1人共有2:-2 = 126种等可能的基本事件

32、,随机变量4的所有取值为1, 3, 5,C； + C； _ 70 _5126 "126"9P(4 = 3)=P4 = 5) =C； + C； _ 42 _ 1126 "126-3C； + C；_ 14 _ 1126 "126"9.二随机变量4的分布列为X135P5913£ 9/.数学期望Ee)= lx2 + 3x+ 5x= 2.939 919故：数学期望E楮)的值为【点睛】本题主要考查了求事件的概率和数据的期望，解题关键是掌握概率计算公式和期望的求 法，考查了计算能力和分析能力，属于基础题.22.已知函数X)=(X1)，其中。是自然对

33、数的底数.(1)求曲线y=/(x)在x=i处的切线方程；(2)设g(x) = £+|/(x)|,求函数g(x)的单调区间；(3)设=求证：当0<相<1时，函数“X)恰有2个不同零点.e【答案】(1)y = e(xl)(2)单调增区间为(O,ln2)和L+s)；单调减区间为(一叫0)和(In2).(3)证明见解析【解析】(1)由/(x) = (xT)e 得f'(x) = e*+(x-l)e”=xe',所以f'(l) = e,即可求得答案:(2) g(x) = x2 + |/(x)| =x2 + (X-lex X>1犬-"1"二1'根据导数分别讨论m和皿函数的单调性，即可求得函数g(x)的单调区间:(3)因为(x) = W(x)-lnx,设尸(x) = 7(x-l)e、一Inx,得Ff(x) = mxex '，1A C (x > 0),令力(x) = ix" T(x>0),当 0v 7cL