2020衡水名师原创理科数学专题卷：专题五《导数及其应用》

1、2020衡水名师原创理科数学专题卷专题五导数及其应用考点13:导数的概念及运算（1,2题）考点14:导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题）考点15:定积分的计算（12题，16题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是最符合题目要求的。）1、考点13易函数f X =1-3x 2x1的导数是（A.1(x3 +2x +1 )2B._2_3x2 232x 2x 1C.-3x2 2(x3 +2x +1 )2D.-3x2(x3 +2x

2、+ 1 j2、考点13易定义在R上的函数f（x）满足：f （x）+f（x）1, f（0）=4，则不等式exf （x）ex + 3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A. 0,二B.（-二,0） - （3，二）C. -二,0 . 0,二D. 3,二3、考点14 易已知函数f （x） =x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,贝U f（2）等于（）A. 11 或 18 B . 18 C . 11 D . 17 或 18 4、考点14 中难1直线y =x +b是曲线y =ln x(x 0)的一条切线，则实数b的值为()2A. 2 B. ln2 1 C. ln2 -1 D. In 25、考点1

3、4难若函数y = f (x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y = f (x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A. y=sinxB. y=In xC. y=exD. y=x36、考点14 易已知定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f(x)，且f(x) f(x)，则以下不等式成立的是()A. f 0 f(x), f (0) =1，则不等式ln f （x） +2 x+ln3 的解集为（）A. （0,二）B.（-二,0）C.（-二，1）D. （1,二）9、考点14难3函数f (x )=x -27x +2a +4有三个零点，则实数 a的取值范围是()A. -29,

4、26B.-28,25C.-28,26D.-29,2510、考点14难定义在R上的可导函数f (x)满足f (1) = 1 ,且2f(x)1,当xw - 3F时，不等式2 22 x 3 ,f (2cos x) +2sin -a的解集为()2 2A，冗4冗、，冗4冗、，八冗一 ，冗冗、A(一,一)B(一，一)C. (0*D ()3 33 333 311、考点14 中难32若函数f (x)= x -3x在(a,6 -a2 )上有最大值，则实数a的取值范围是()A. - 7, r1B. - 7, 1:C. - 、, 7, -2D. -7, 2 j12、考点15中难,二：7 一已知 |2 sin (x

5、-中)cX =，则 sin d=()A. 3B. C. -3 D41644第n卷(非选择题)二.填空题(每题5分，共20分)13、考点14易曲线y =x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.14、考点14中难若函数f (x )=(2a _1 x3 +2x+5在R上是增函数，则 a的取值范围是15、考点14 中难已知函数f (x) =aex1x2b,(a,b w R),若函数f(x)有两个极值点x1,x2,且x之3,则 2x1实数a的取值范围为.16、考点15易已知函数f (x)=x3+ax2+bx(a,bw R)的图象如图所示，它与直线 y = 0在原点处相切此切线与函数图象所围区域

6、(图中阴影部分)的面积为27 ,则a的值为.4三.解答题(共70分)17.(本题满分10分)考点14易已知函数f (x) =x ln x .1 .求f (x)的最小值；2 .若对所有的x之1都有f (x) ax -1 ,求实数a的取值范围.18.(本题满分12分)考点14中难2x x已知函数 f(x)=e -2e -4x .1 .求f (x)的单调区间;2 .当x0时，af(x)0,函数 f (x )=ln x +4a7 -2 x a1 .记g(a )= f (a2 )求g (a )的最小值2 .若y = f( x )有三个不同的零点,求a的取值范围20、(本题满分12分)考点14中难已知函数

7、f (x)=ax2axxln x,且当x 0时，f(x)之0恒成立.1 .求实数a的值.2 .证明：f (x)存在唯一的极大值点 x0,且e f (x0 )0时，若f (x) aln 对任意的x= (0,+8 )恒成立，求实数a的取值范围. a22、(本题满分12分)考点14中难已知函数f (x) =ln x -2x .1.求函数f(x)的极值；122.右 g(x)= mx +(m 3)x1(m= R),是否存在整数 m使 f (x) E g(x)对任意 2xW(0,+8)成立？若存在，求出 m的最小值；若不存在，请说明理由.答案以及解析1答案及解析:答案：C解析：f x 工32i x 2x

8、1 i - 3x 2x3 2x 1 2x3 2x 1 22答案及解析:答案：A 解析:3答案及解析:答案：B解析：4答案及解析：答案：C111斛析：: y =ln x的导数为 y，= 一，一=，解得x = 2,xx21切点为(2,ln 2)将其代入直线y = x+b得b = ln 2 125答案及解析：答案：A解析：根据导数的几何意义，若y = f (x)具有T性质，则存在不？2使f (x1 )f (& )= -1或f x1 )=0且*2处切线与x轴垂直.A项，y =sin x, y=cosx ,有 cosOcosn = -1,具有 T 性质，故 A项正确；1B项，y=lnx, y=0,切线斜

9、率存在，不满足f(x1 )f(x2 )= 1,不具有T性质，故B x项错误；C项，y=ex, y=ex0不具有T性质，故C项错误；D项，y =x3, y=3x2之0,不具有T性质，故D项错误6答案及解析：答案：D解析：7答案及解析：答案：D解析：原函数先减再增，再减再增，因此选D.8答案及解析：答案：B解析：9答案及解析：答案：D解析：10答案及解析：答案：D解析：11答案及解析：答案：D解析：由题意 f (x )=x3 -3x ,所以 r(x) = 3x2 -3=3(x+1 Xx-1 ),当 x1 时，f(x)A0；当-1 x1 时，f(x )0,故 x = 1 是函数 f (x)的极大值点

10、，f (1 )=1 + 3=2,3 一 一 . 一,x -3x =2 ,解得 x = 2 ,c 2a 6 a，一一a -1、6 -a2 2解得-J7 a 2 .故选：D.13答案及解析：答案：B解析：由题意，根据微积分定理，得L2sin(x中)dx = sin中cos中=宁，两边平方，得1 -sin 2 = L ,1679所以sin2中=1 2 =力，故正确答案为 B.13答案及解析：答案：y =4x -3解析：14答案及解析：-1答案：二二一2,解析：15答案及解析：答案：(0,包地)6解析：16答案及解析：答案：-3解析：由图知方程 f(x)=0?f两个相等的实根x1 =x2 =0，于是b

11、 = 0,-a/ 43 X4工,、2, 上 上427一八/3上 2x , ax -a af(x) = x (x+a),有=f 0-(x +ax )ldx= +=,40 -0= a0 ,解得 x - e1令 f (x) 0,解得 0 x 1 时，g(x) 0 ,g(x)在1, +8)上是增加的,所以g(x)的最小值为g(1)=1.则aE1.故a的取值范围是(8,1.解析：18答案及解析：答案：1. f(x)=2e2x-2ex-4 = (2ex+2)(ex-2),令 f (x) =0 ,解得 x =ln 2,当x*,ln2), f(x)0 ,则函数f (x)在(ln 2, f)上单调递增.2.令

12、g(x)=af(x) -ex +(4a +1)x = ae2x (2a+1)ex+x ,根据题意，当xw (0,收)时，g(x) 0恒成立.g(x) =2ae2x -(2a 1)ex 1 =(2aex -1)(ex -1).1 -当 0a0 恒成立，2所以g(x)在(In 2a, +oc)上是增函数，且g(x)w (g(-ln 2a), f),所以不符合题意；1 .当 a 之一，xu(0,+ o)时，g(x)0恒成乂，2所以g(x)在(0,一)上是增函数，且g(x)W (g(0),)，所以不符合题意；当aE0时，因为xw(0,收)，所以恒有g(x)0,故g(x)在(0,)上是减函数,于是“ g

13、(x) 0对任意xw(0,+b)都成立”的充要条件是 g(0) -1,故1 WaW0.综上，a的取值范围是1,0.解析：19答案及解析:答案：1. g a =lna24a1-2 -2 =21 In a - -1a aaaa -2 11-2 ”1,g a 一2相 一所以0ca1 时，g(a)0, g(a )单调递增,所以g (a )的最小值为g(1 )=02242.14a x - i2a -4a x af x 二2 =2,x 022 2,x x ax x a因为y = f (x)有三个不同的零点，所以f(x)至少有三个单调区间，而方程2 一 2 一4x +(2a -4a Jx+a =0至多有两个

14、不同正根，2一2a2 -4a ：0所以，有49，解得，0 a 0,即lnx十1 0,所以lnx ，则xe22c入a/口a 2V x =,倚eQ 2 .22a222因为f e-W a242- -2a a2 a -12a ：0,f a 0 ,所以y = f x在e/a2a,(a2,1 )(1,e2 )内各有一个零点,故所求a的范围是0 ： a 1.解析:20答案及解析:答案：1.因为 f (x )=ax2-ax-xln x =x(ax-a-ln x (x0 ),所以f (x )之0等价于h(x )=ax a ln x20,则当a0时，h(x)0,即h(x)在区间(0,收潭单调递减，所以当x1时，h

15、(x)0.1 .1 .因为当0x时，h(x)一时,，1h J)。,所以八6篇=h . J， 又 h 1 =a -a -ln1 =0 ,1所以1 =1, a解得a = 1.2.由1 可知 f (x ) = x2 -x -x ln x.则 f x i-2x -2 -ln x.1记 t(x )=2x -2 -ln x ,则 t (x )=2 . x人，r1令 t(x) = 0，得 x=12所以t(x济区间，0,1 1内单调递减,在区间，1,+oc内单调递增,所以 t(x 篇=t 1)=ln21 0,从而 t(x)=0有解.即f(x)=0存在两根x0,x2.设X0 % ,则f (x )在区间(0,xo

16、 ),(x2,收)内单调递增,在区间(xo,x2 )内单调递减所以f (x )必存在唯一的极大值点xo,且2x0 2 ln xo =0所以 fx0 =x2 -x0 - x0 In x0 - -x2 x0.,1111由 一可知 f (x0 ) -2 +.222 4,12 一， 1 1由 f . = 1 0 可知 x0 - f = -2. e e综上，f(x)存在唯一的极大值点x。，且e/ fE)0时，f(x)在(0,1】上单调递减，(1,z 廿单调递增所以f(x)在x=1处取得最小值f(1)=1 -,24 2右f (x) a -ln 对任息的x匚(0,收)恒成立,a只需 1 a a in 2 ,

17、即 in a +a _1 0 2 a 2 2、几 a 人 ，、，设 t = 一，令 g(t) =ln t +t 1,2则g(t)在(0,依廿:单调递增，且g(1) = 0由g(t) 0= 0 t 0 ；当 xw (，依)时，f (x) 02 21二函数f (x)在区间(0, 1)上单调递增，在区间 x u (0,收)上单调递减1 11二函数f (x)在x =一处取得极大值 f( 一)=in 1 =in21 ,不存在极小值2 2212.一.2.据题息，得in x - 2x -mx +(m -3)x -1对任意x=(0,)成立2,12.in x 一一mx +(1 -m)x +1 0 对任意 x = (0,2)成立21 9设函数 h(x) = in x mx (1 - m)x 12、1 一 、h(x) = - -mx (1 -m) x2，、，-mx (1 m)x 1x可知h(x) 0对任意xw(0, +望)成立，此时f(x)在区间(0,+望)上单调递增1 3