线性代数基本运算

1、第5章线性代数的基本运算本章学习的主要目的：1复习线性代数中有关行列式、矩阵、矩阵初等变换、向量 的线性相关性、线性方程组的求解、相似矩阵及二次型的相 关知识.2学会用MatLab软件进行行列式的计算、矩阵的基本运算、 矩阵初等变换、向量的线性相关性的判别、线性方程组的求 解、二次型化标准形的运算.5.1行列式5.1.1 n阶行列式定义由n2个元素aj (i, j =1,2,n)组成的记号a11a12a1nD=a21aa22a2nan1an2ann称为n阶行列式其值是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积aipia2p/-anp n的代数和，各项的符号由 n级排列P1P2Pn决 定，即D=

2、9; (_1)(P1P2"Pn)p1p2"pnalP1a2P2anPn其中 a 表示对所有 n级排列求和，.(Pi，P2,Pn)是排列PlP2PnP1 P2Pn的逆序数.5.1.2行列式的性质(1) 行列式与它的转置行列式相等(2) 互换行列式的两行(列),行列式变号.(3) 若行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零. 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.(5) 若行列式有两行(列)元素成比例，则此行列式为零.(6) 若行列式的某一列(行)的元素是两数的和，则此行列式等于对应两个行列式之和即a11a12a1i+a1i'a1na1

3、1a12a 1na11a12a1i'a1na21-¥a22-a2i+a2i'a2n=a21a¥a22a2i-a2na21:a22a2i'-a2nan1a n2aniani'annan1a n2anianna n1an2an i'a nn(7) 若行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变.(8) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即(i =1,2;,n),D, j =k0, j =k(j =1,2,n)nD = 7 aj Aik =i T(9) 设 A,B 是 n 阶

4、方阵，则 |A =AT , kA=kn A , AB = AB,(10) 若A是n阶可逆矩阵,则IA芒0,A仁占IAn(11) 设1, 2n是n阶方阵A的特征值，则A 'i,(12) 设A*是n阶方阵A的伴随矩阵，则A* =An n_2(13)几种特殊行列式的计算a110 00a220aas= ana22ann,00 anna1100a21a22-0iaa=a11 a22 anna n1an2a nna1100a12a220a1n a2nann= a“a22anna11a12-a1nn(n=l)a21aa22a0a= (T)2a1na2n八 an1an1005.1.3 MatLab 计

5、算行列式的命令det(var)%计算方阵var的行列式1-3 2 2例1计算行列式一3 4 ° 9的值2-2623383在MatLab命令窗口输入A=1,-3,2,2;-3,4,0,9;2,-2,6,2;3,-3,8,3 det(A)执行结果A =1-322-34°2-263-38ans = -50a100-1b10的值，其中a,b,c,d是参数.0-1c100-1d例2计算行列式在MatLab命令窗口输入:syms a b c dA=a,1,0,0;-1,b,1,0;0,-1,c,1;0,0,-1,ddet(A)执行结果:A = a, 1,0,0-1, b, 1,00,

6、-1, c, 10,0, -1, dans =a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+11111例3求方程-2 24 x2=0的根.1-8 8x3(1)先求行列式的值在MatLab命令窗口输入syms xA=1,1,1,1;1, -2,2,x;1,4,4,x*x;1,-8,8,x八3y=det(A)执行结果:A =1,1,1, 11,-2,2,x1,4,4, xA21,-8,8, xA3y =-12*xA3+48*x+12*xA2-48求3次方程的根.首先通过函数的图形确定根的大致范围在MatLab命令窗口输入:grid onezplot(y)-12 x3+48 x+12 x 2-48图1观察

7、图1,可知3个根大致在-2,0,4附近，下面求精确值 在MatLab命令窗口输入:yf=char(y);g仁 fzero(yf,-2)g2=fzero(yf,0)g3=fzero(yf,4)执行结果:gi = -2g2 =1.0000g3 =2.0000可知方程的3个根分别为-2,1,2.5.1.4用MatLab实现克拉默法则 (1)克拉默法则非齐次线性方程组方程组a“xi +a12X2+a1nXn =6a2lXi +a22X2 十八 +a2nXn =b2Ian1Xi an2X2 annXn - bna11a12 a1n当其系数行列式D=a? a；2a?机时，此方程组有唯一解ania n2 a

8、 nn且可表示为D1DX1 = D，X2 = DDn123其中Dj(j=12,n)是把系数行列式 D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即aiiai,j jbiai,j iainan 1 an, jbnan,jG1ann对于齐次线性方程组a11xia12X2 a1nXn =0a21x1 a22x2 亠亠a2nxn =0aniXian2X2 annXn =0a11ai2 a1n当其系数行列式D=a2a22a2n-0an1 a n2 ann时,此方程组有唯一零解；当D=0时，方程组有非零解编写函数klm.m实现用克拉默法则求解非齐次线性方程组.，列function x=kl

9、m(a,b) %参数a代表方程组的系数矩阵矩阵b代表方程组的常数列，%返回方程组的解m, n=size(a);if (m二n)disp('克拉默法则不适用此方程组的求解!')elsed=det(a);if (d=0)disp('该方程组没有唯一解!')elsedisp('该方程组有唯一解!')for i=1:me=a;e(:,i)=b;f=det(e);x(i)=f/d;endendend例4用克拉默法则解下列方程组 :为 +X2 +X3 +X4 =5Xr +2x2 _X3 +4x4 = -22x<i 3x2 x3 5沧=-2Qxj +x2

10、 +2x3 +11x4 =0操作步骤在MatLab命令窗口输入D=1,1,1,1;1,2,-1,4;2,-3,-1,-5;3,1,2,11;A=5;-2;-2;0;klm(D,A)执行结果:该方程组有唯一解！ans =123-1方程组的解为x 1 二 1, X? 二2,X3 二3,X4 二1图2例5问a取何值时，齐次方程组(5-a)x +2x2 +2x3 =02x1 +(6 a)X2 =0有非零解2x +(4 -a)x3 =0根据齐次方程组有非零解，系数行列式为零，用MatLab操作 步骤如下:grid on执行结果:行列式的值为:yy = 80-66*x+15*xA2-xA3作函数yy的图形

11、，如图2观察图2,可知根大致在 2,5,8 附近,再输入命令:yf=char(yy);x1=fzero(yf,2)x2=fzero(yf,5)x3=fzero(yf,8)执行结果:x1 =2x2 =5x3 =8即a取2，5，或8时,齐次方程组有非零解。5.2矩阵及其运算5.2.1矩阵的定义由m n个数aij (i =1,2,，m; j =1,2,，n)排成的m行n列的数表aiiai2 aina2ia22 a2nami ami amn称为m行n列矩阵，简称m n矩阵.记作*aiiai2a2ia22aina2n逗mi amiamn1655.2.2矩阵的运算设有两个m n矩阵A=(aij)和B =(

12、bij),则(i)加法 A B =(aij 'bi j )m nMatLab对应求矩阵加法的操作符为”+”数乘 kA=(kaij)m nMatLab对应求矩阵数乘的操作符为”* ”(3)矩阵与矩阵相乘设矩阵A=(aij)是m s矩阵，B=(bj)是s n矩阵,则矩阵 A与矩阵B的乘积是一个m n矩阵C=(Cj),其中scijaik bkj ,k m(i =1,2, ,m;j =1,2, n)把此乘积记作 C=ABMatLab对应求矩阵乘积的操作符为” ”(4)矩阵的转置设矩阵A=(a,)是m n矩阵，把矩阵 A的行换成同序数的列得到一个n m矩阵，叫A的转置矩阵，记作at.在MatLa

13、b对应求矩阵转置的操作符为“(5)方阵的行列式设矩阵A=(aj)是n n矩阵,由A的元素构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式，记作A或detA.MatLab对应求方阵行列式的命令为det(var)%var代表待求行列式的方阵 (6)方阵的逆矩阵设矩阵A =向)是n n矩阵,若有一个n阶矩阵B,使AB=BA=E,则说矩阵 A可逆,矩阵B称为A的逆矩阵记为B =逆矩阵的判别定理若|A式0,则矩阵A可逆,且A，节A*,其中A*是矩阵A的伴随矩阵，由行列式|A的各个元素的代数余子式 Aj所构成的，'Aii A21 Ani 'A = A12 A22 A . A A A A

14、 Ji A炉in A2n Aw丿MatLab对应求方阵逆的命令为:inv(var) %var代表待求逆矩阵的方阵下面按公式a=£a*,用MatLab编写程序求矩阵的逆:Afunction y=aij(A,i,j)%求方阵A元素a的代数余子式Aij,C=A;C(i,：)=；C(:,j)=;y=(-1)八(i+j)*det(C);function y=axing(A)% 求方阵 A 伴随矩阵 a*m n=size(A);for i=1: nfor j=1: ny(i,j)=aij(A,j,i);endend则方阵A的逆等于axing(A)/det(A)111一1 2 3例6设A=1 1

15、_1 ,B = |_1 _2 4，问3AB-2A tB是否可逆？若该1 -1 1' 0 5 1矩阵可逆求它的逆在MatLab创建m文件knf.m完成该问题的操作:A=1,1,1;1,1,-1;1,-1,1;B=1,2,3;-1,-2,4;0,5,1;C=3*A*B-2*A'*B;dc=det(C);if dc=0disp('此矩阵不可逆!')elsedisp('此矩阵可逆！其逆矩阵为:')in v(C)end在MatLab命令窗口输入knf执行结果此矩阵可逆！其逆矩阵为ans =-0.38570.51430.50000.0857-0.114300

16、.07140.071405.3矩阵的初等变换5.3.1下面三种变换称为矩阵A的初等行(列)变换：(1) 对调i,j两行(列);(2) 以数k“乘矩阵A的第i行(列)中所有元素；(3) 把第i行(列)所有元素的k倍加到第j行(列)的元素上 去；用MatLab实现以上初等行变换:(1) A(i,j,:)=A(j,i,:)(2) A(i,:)=k*A(i,:)(3) A(j,:)=k*A(i,:)+ A(j,:)5.3.2用矩阵初等变换化矩阵为行最简形.行最简形的特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全为0,每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的行数 后面的第一个元素为非零元，非零行的第一个非这些非零元所

17、在的列的其他元素都为0.MatLab对应化矩阵为行最简形的命令为:rref (var) %var代表待化为行最简形的矩阵"1 2 2 1 例7把矩阵A=2 1 -2 -2化为行最简形矩阵。1_1 二 _3在MatLab命令窗口输入:A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3;format rat%以分数的形式显示结果rref(A)执行结果:ans =1 0 -2012000,阶梯线的竖线零元为 1,且-5/34/305.3.3初等变换的应用 (1 )求矩阵A的逆矩阵：把分块矩阵（A,E）经过初等行变换化成（E,B）,矩阵B就是所求 矩阵A的逆矩阵"1-3

18、2 2'例8用初等变换求矩阵< 4 ° 9的逆矩阵2262.33 8 3_在MatLab创建ni.m函数文件，完成用初等变换求矩阵的逆。fun cti on y=ni (a)da=det(a);if da=0disp('此矩阵不可逆!')elsedisp('此矩阵可逆！其逆矩阵为:')m n=size(a);e=eye( n);d=rref(a e);y=d(:,( n+1):2* n);end在MatLab命令窗口输入:A=1,-3,2,2;-3,4,0,9;2,-2,6,2;3,-3,8,3;ni(A)执行结果:此矩阵可逆！其逆矩阵为

19、ans =-0.5200-0.0400-4.04003.1600-0.48000.0400-0.96000.8400001.5000-1.00000.04000.0800-0.92000.6800(2 )求矩阵的秩：在m n矩阵A中，任取k行k列，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式。设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有的r+1阶子式全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵的秩，记作R(A).有关矩阵A的秩的性质：(a)矩阵A有一个r阶子式不为零，则 r(A)r ；矩阵A所有r阶子式都等于零，则R (A)

20、 r。(b )0 _R(Am n) _ minm , n(C) R(AT)二 R(A)(d) 若 A B,贝U R(A) =R(B)(e) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ)二R(A)(f) maxR(A), R(B) <R(A,B：R(A) R(B)(g) R(A B) _R(A) R(B)(h) R(AB) min R(A), R(B)(i) 若 Am 迩 Bn甸=0，贝卩 R(A) +R(B)兰n求矩阵A秩的方法：方法1 :把矩阵A经过初等行变换化成行阶梯形,非零的 行数就是矩阵的秩.方法2: MatLab对应求矩阵秩的命令为:rank (var)% var为待求秩的矩阵变量。32

21、050 _例9设a= 3；236:，求矩阵A的秩，并求A的一个2015-316414最高阶非零子式。在MatLab命令窗口输入:A=3,2,0,5,0;3,-2,3,6,-1;2,0,1,5,-3;1,6,-4,-1,4;rank(A)rref(A)执行结果:观察A的最简形，且最高阶子式可选第zishi=A(1:3,1 2 4) zishi =332det(zishi)ans = -16有3行非零，也可知矩阵1,2,3行第1,2,4列构成的子式。2-20%验证该子式不为零A的秩为3， 命令为：565ans =3ans =101/207/201-3/40-1/40001-2(3 )求线性方程组A

22、X二b的解定理1: n元非齐次线性方程组 AX = b(i )无解的充分必要条件是R(A) ： R(Ab)；(ii )有唯一解的充分必要条件是R(A) =R(A,b) =n ；(iii )有无限多解的充分必要条件是R(A)= R(代b) ：. n ;定理2: n元齐次线性方程组AX = 0(i )有唯一解的充分必要条件是R(A) =n ；(ii)有无限多解的充分必要条件是R(A) :：:n ；求解线性方程组的步骤是：(i )对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵B = (A,b)化成行阶梯形，从 B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B)，若R(A) =R(B),则方程组无解。(ii )若R(A)

23、= R(B)，则说明方程组有解，进一步把B化成行最简形，而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵 A化成行 最简形。(iii )设R(A)= R(B)= r，把行最简形中r个非零行的非零首元所对应的未知数取作非自由未知数，其余n-r个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于6，C2,Cg，由B的行最简形，即可写出含nr个参数的通解。MatLab对应求解方程组的方法为：(i) 当系数矩阵 A为方阵，且方程组有唯一解时，AX = b对 应的解为X .AJb，对应的MatLab命令为：X=inv(A)*b或 X=Ab 或 Y =rref(A,b),X=Y(:,n+1)(ii) 对于方程Am nX =b

24、，在MatLab创建函数jfch.m完成上 面求解步骤。fun cti on y=jfch(a,b) m n=size(a);c=a b;d=rref(c);ra=ra nk(a);rc=ra nk(c);if (ra=rc)if (ra=n)y=d(:, n+1);elsed(m+1,:)=1: n+1;for i=1,raif (d(i,i)=0)j=i+1；while(d(i,j)=O)j=j+1;endd(:,i,j)=d(:,j, i);endendx=-d(1:ra,ra+1: n),d(1:ra, n+1);x=x;eye( n-ra,n-ra+1);y=x;for i=1: n

25、y(d(m+1,i),:)=x(i,:);enddisp('the special soluti on is :')ss=y(:, n-ra+1)'disp('the basic soluti on is :')bs=y(:,1: n-ra)'end elsedisp('there is no soluti on')endx2 3x3 -x4 二 _2X2 _X3 X4 =1x1 x2 2x3 2x4 二 4J 片 _ x2 x3 _ x4 = 0X1例10分别用三种方法:逆，除法，初等变换(增广矩阵) 求齐次和非齐次线性方程组的

26、解。(1)Xi _4x2 2x3 = 0*2x2 - x3 = 0厂 +2x2 X3 = 0(1)对于方程组(1)，先判别系数行列式的值，输入命令:A=1,-4,2;0,2,-1;-1,2,-1;det(A)执行结果:ans = 0说明方程组的系数矩阵不可逆,该方程组有无穷多解,调用函数jfch求解，输入命令:B=zeros(3,1);jfch(A,B)执行结果:ra = 2the special soluti on is :ss =000the basic soluti on is :bs = 00.50001.0000ans =000.500001.00000从结果可知系数矩阵的秩为2,方

27、程组的通解为xd-'0 1X2=c0.5"一1（C为任意常数） 对于方程组（2），先判别系数行列式的值，输入命令A=1,1,3,-1;0,1,-1,1;1,1,2,2,;1,-1,1,-1;det（A）执行结果:ans = 10说明方程组的系数矩阵可逆，则输入命令B=-2;1;4;0;方法 1:X=i nv(A)*B执行结果X = 1.0000-1.00000.00002.0000方法 2: X=AB执行结果:X =1-102方法 3: Y=rref(A ,B);X=Y (:,5)执行结果:X =1-102例11求下列非齐次方程组的通解。Xi X? X3 + X 4 = 0X

28、<| -X2 X3 -3x4 = 12Xi _ X2 - 2X3 ' 3X4 二4Xi 2X2 X3 =23xi _x2 2x3 =1011x1 3x2 =8(5)2xi +X2 -5X3 +X4 =8,Xi 3x2 6x4 =9,I 2 X2 - X3 ' 2 X4 二5,Xi 亠4X2 -7X3 亠6X4 =0.(4)(1)对于方程组(3),输入命令A=1,-1,-1,1;1,-1,1,-3;1,-1,-2,3;B=0;1;-1/2;jfch(A,B)执行结果:ra = 2the special soluti on is : ss = 0.50000.5000the

29、basic solutio n is :bs =0 -ii 20 ians =0i.00000.5000-i.00002.00000.50001.0000 00 1.0000 0从结果可知系数矩阵的秩为2,方程组有无穷多解,通解为:(c1, c2为任意常数)(2)对于方程组(4),输入命令A=2,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6;B=8;9;-5;0;jfch(A,B)执行结果:ans =3-4-11从结果知方程组有唯一解_3 1X2-4X31宀一1 一(3)对于方程组(5),输入命令A=4,2,-1;3,-1,2;11,3,0;B=2;10;8;jfch(

30、A,B)执行结果:there is no soluti on说明该方程组无解.5.4向量组的线性相关性5.4.1定义给定向量组A:aa2,am ,如果存在不全为零的数k 1 ,k 2 , k m , 使k1a1 匕 a2k mam - 0 ,则称向量组 A是线性相关的,否则称它是线性无关设有向量组 A,如果在A中能选出r个向量玄仆吐,ar,满 足(i) 向量组Ao :a1,a2,，ar线性无关；(ii) 向量组A中任意r+1个向量(如果A中有叶1个向量的 话)都线性相关.那么称向量组 A。是向量组 A的一个最大线性无关向量组 最大无关组所含向量的个数 r称为向量组 A的秩，记作Ra.5.4.2

31、判别定理向量组A®気,am线性相关的充分必要条件是它所构成的 矩阵 A =(ai ,a2,，am)的秩小于向量个数m,向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m.5.4.3求向量组的最大线性无关向量组的方法把向量做成列构成矩阵，对该矩阵实施初等行变换变为行最简形，从而获得最大无关组，可以把不属于最大无关组的 列向量用最大无关组表示.例12判别下列向量组是线性相关还是线性无关？2 '3 ,14J丿<0>在MatLab命令窗口输入:A=-1,2,1;3,1,4;1,0,1;rank(A)执行结果:ans =结果说明矩阵A的秩比3小,所以向量组线性相关.2-1-112_

32、例13设矩阵a=11一214 ,求矩阵A的列向量组的一个4-62246979_最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量组用最大无关组线性表示.在MatLab命令窗口输入:A=2,-1,-1,1,2;1,1,-2,1,4;4,-6,2,-2,4;3,6,-9,7,9;rref(A)执行结果:ans = 10-10401-1030001-300000结果说明向量组的秩为3,列向量组的最大无关组含3个向量，取矩阵A的第1,2,4列作为列向量组的一个最大无关组，其余向量用最大无关组线性表示为:玄3 = a 一a? ,a§ =4a +3a? 3a35.5相似矩阵及二次型5.5.1方阵的特征值与

33、特征向量(1) 定义 设A是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量 x使关 系式Ax=x成立,那么,这样的数，称为方阵A的特征值,非零向 量x称为A的对应于特征值的特征向量.(2) 特征值的性质设n阶矩阵A=(aij)的特征值为s，2：n,(i) -2 亠 :n =aii a22 亠亠a nn ；(ii) 12n = A(iii) 2是a2的特征值(iv) 当A可逆时，丄是A-1的特征值.(v) 相似矩阵就有相同的特征值.(3) 定理1 :对应不同特征值的特征向量线性无关定理2 : n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量 .定理3:设A是n阶对称阵,则必有正交阵P,使卩-加寻

34、卩*,其中上是以A的n个特征值为对角元的对角阵.(4) MatLab求矩阵特征值与特征向量的命令d= eig(A)%返回由矩阵A的特征值组成的列向量V,D= eig(A)%返回特征值矩阵D和特征向量矩阵 V.特征值矩阵D是以A的特征值为对角线的元素生成的对角阵 ， 矩阵A的第k个特征值的特征向量是矩阵V的第k列向量,即满足 AV=VD.对于实对称矩阵，返回的特征向量矩阵是正 交矩阵.(5)用MatLab实现矩阵对角化的判别.根据定理2,方阵A可对角化的条件是对于方阵A的每个特征值，其几何重数等于代数重数 ,首先在 MatLab创建函数文 件kdjh.m,实现矩阵可对角化的判别 ，fun cti

35、 on y=kdjh(A)y=1; c =size(A);%获得方阵 A的阶数if c=c(2)%判断是否为方阵y=0;returnende=eig(A);%求矩阵的特征值向量n=len gth(A);while 1if isempty(e)return;endd=e(1);f=sum(abs(e-d)<10*eps);%求特征值d的代数重数.g=n-rank(A-d*eye(n);%求 A-dE 的零空间的秩,即对应特征值的几何重数.if f=gy=0;return;ende(fi nd(abs(e-d)<10*eps)=;%删除已判断过的特征值end- -_12 21例14判别

36、矩阵A= ° 1 |,B=2 1 2是否可对角化？0 02 2 1一在MatLab命令窗口输入:a=0 1 ;0 0kdjh(a)b=1 2 2 ;2 1 2;2 2 1;kdjh(b)执行结果ans =0ans =1结果说明矩阵A不可对角化，矩阵B可对角化.(6)用MatLab实现实对称矩阵的对角化.根据定理3,实对称矩阵都是可以对角化的，且存在正交 矩阵Q,使得inv(Q)AQ为对角阵，对角阵的对角线元素为矩阵 A的特征值，对于实对称矩阵，特征值分解函数eig(A)返回的特征向量矩阵就是正交矩阵."0 1 1 -1 '例15求一个正交的相似变换矩阵，把矩阵A=

37、10-11化为1-10 1j1110一对角阵.在MatLab命令窗口输入:a=0,1,1,-1;1,0,-1,1;1,-1,0,1;-1,1,1,0;d,v=eig(a)d'*d%验证d为正交矩阵d'*a*d%验证矩阵可对角化执行结果d =-0.50000.28870.78870.21130.5000-0.28870.21130.78870.5000-0.28870.5774-0.5774-0.5000-0.866000v =-3.000000001.000000001.000000001.0000ans=1.00000.0000000.00001.0000-0.00000.0

38、0000-0.00001.0000000.000001.0000ans =-3.0000000-0.00001.0000000-0.00001.00000.000000.00000.00001.0000要求的正交相似变换矩阵为d,对角阵为v.5.5.2二次型(1)二次型定义含有n个变量X!,X2,Xn的二次齐次函数f(Xi，X2，222，xn)=a11xi +a22x2 半+annxn +2a12xix2 +2ai3XiX3 半2an-1,nxn_1xn称为二次型只含平方项的二次型f =aix1 a2x2 - -anxn称为二次型的标准形.如果对任何x“,都有f(X)>0,则称f为正定二

39、次型，并称对 称阵A是正定的，如果对任何x=0,都有f(X)<0,则称f为负定 二次型,并称对称阵 A是负定的.aiiai2a1nXIa21a22a2nX2aa:X =an1an2ann _ Xn记 A =则二次型可记作f -xT Ax,其中A为对称阵，称为二次型f的矩(2)二次型化标准形定理1任给二次型f =xtax,总有正交变换 x=Py,使f化为标准 形f二aixf乜2乂2 anX?,其中ai，a2,an是f的矩阵A的特征值.定理2二次型f=xTAx为正定的充分必要条件是它的标准形的n个系数全为正.推论 对称阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为 定理3对称阵A为正定的充分必要条

40、件是 A的各阶主子式 全为正，对称阵A为负定的充分必要条件是 A的奇数阶主子 式为负,偶数阶主子式为正.用MatLab实现二次型化标准形例16求一正交变换化二次型f= X：x；x； 4%x24x1x34x2x3为标准形在MatLab命令窗口输入:A=1,2,2;2,1,2;221;V,D=eig(A)执行结果:V = 0.60150.55220.57740.1775-0.79700.5774-0.77890.24480.5774D =-1.0000000-1.00000005.0000V就是所求的正交矩阵，使得V' AV=D所以令X=VY,化简后的二次型为g = -y2 -y2 5y2(4)用MatLab实现二次型正定性的判别function y=zhd(a