函数的单调性及函数解析式的求法

1、知识点五：函数解析式的求法(1) 配凑法：由已知条件f(g(x) =F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(如例(1)；(2) 待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3)；(3) 换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2)；方程思想：已知关于f(x)与fix或f( x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)(如 A 级 T6).(2)已知f(x)是二次函数，且f(0) = 0,f(x+ 1) =f(x) +x+ 1

2、,求f(x).变式.(1)已知f(x+ 1) =x+ 2x,求f(x)的解析式；(2)设y=f(x)是二次函数，方程f(x) = 0 有两个相等实根，且f (x) = 2x+ 2,求f(x) 的解析式.例 7 已知 2f(1/x)+f(x)=x(x工0)。求f (x)变式已知f (1/x)+af(x)=ax(x工0,a1)。求f (x)1.3.1 函数单调性与最大(小)值例 6(1)已知fx+ 一x2+x1F，求f(x)的解析知识点一增函数、减函数、单调性、单调区间的概念：一般地，设函数 f(x)的定义域为 A,区间-，：如果对于一内的任意两个自变量的值 XI、X2，当 X1VX2时，都有 f

3、(xi)f(x2)， 那么就说 f(x)在区间二上是增函数；如果对于丄内的任意两个自变量的值 XI、X2，当 xif(x2)， 那么就说 f(x)在区间；上是减函数.函数的性质定义图像描述函数的单调性一般地，设函数f(X)的定义域 为1:如果对于 疋义域1内某 个区间D上的任意两个自变 量的值X1，X2当X1X2时，都有f(X1)f(X2)，那么就说函数f(X)在区间D上是 增函数尸/W 1丿购%)自左向右看图象是上升的当X1f(X2)，那么就说函数f(X)在区间D上是 减函数阿临自左向右看图象是下降的如果函数 f(x)在区间 D 上是增函数或者减函数，那么函数f(x)在这一区间上具有严格的单

4、调性，区间 D 叫做函数的单调区间知识点二：常见函数的单调性(1) 一次函数的单调性：对函数y = ax b (a = 0)当a 0时，函数f(x)单调增加;当a 0时，函数f(x)单调减小.k(2) 反比例函数单调性：对函数y (k =0)x当k 0时，函数f(x)单调减小；当k 0时，函数f(x)单调增加.2(3)二次函数的单调性：对函数f(x)二ax bx c(a 0),K当a 0时函数f (x)在对称轴x的左侧单调减小，右侧单调增加；a当a :：: 0时函数f (x)在对称轴x的左侧单调增加，右侧单调减小a知识点三：单调性的证明1)定义法(1) 取值.设丁匕是；二定义域内一个区间上的任

5、意两个量，且m(2) 存在X。I，使得f(X。)=m结论M为最大值m为最小值【例 3】下列函数中，在区间(0,2)上递增的是()【典型例题】考点 1.根据图像判定函数单调性【例 1】右图是定义在闭区间 5, 5 上的函数 y 二 f(x)的图象，根据图象说出 y 二 f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y 二 f(x)是增函数还是减函数.【变式 1】如图是定义在闭区间-5 ,6上的函数 y = f(x)的图象，根据图象说出 函数y = f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数 y = f(x)是增函数还是 减函数.(1) y=kx b, (2) y=2x -4x -3 ；f (x)

6、 =| x2_ 2x |2(3)f (x x - 2| x|;(4)考点二判断函数的单调性【例 2】写出下列函数的单调区间12x_ 2、,【变式 1】 函数y=x-6x+ 10 在区间（2,4）上是 （）A 递减函数B.递增函数C先递减再递增D.2a【变式 2】讨论函数f（x）=1_x2与f（x）=x+ -（a0）的单调性x考点 3 用定义法证明函数的单调性2【例 4】（1 ）证明函数f（X）= X +1在（-：，0）上是减函数;1（2）求证：函数f（x）1在区间（-：,0）上是单调增函数。x【变式 1】证明函数 y=2x+5 的单调性y =-xB .y = xC .y=x12x1先递增再递减

7、12x1【变式 2】判断函数f（x） =x在（1,2 ）上的增减情况.9【例 5】已知函数f(x(XE(2,6),求函数的最大值和最小值x2【变式 1】求函数 f(X)=X在区间1,2内的最大值和最小值X 十 1考点四单调性的运用2【例 6】函数f(x)二x - (1)X在上是减函数,则求 m 的取值范围_ 【例 7】函数f(x)是 R 上的减函数,求f(a2a+1)与f(4)的大小关系 _【变式 1】已知函数f(xx22ax 2, 1-5,51上是单调函数，a的取值范围是_ 【变式 2】已知 y=f(x)是定义在(-2 , 2)上的增函数，若f(m-1)vf(1-2m)，贝 U m 的取值范

8、围是_1 已知映射 f:ATB,在 f 的作用下，下列说法中不正确的是A. A 中每个元素必有象，但 B 中元素不一定有原象 象C. A 中的任何元素有且只能有唯一的象4.函数.=的图象与直线/丨的公共点数目是（）A.】B .一C .一或】D .或_5 .已知集合 卫二；“宀二二，-u -V |，且八，使中元素:-和中的元素：对应 U的值分别为（）A.B . TC.D.+2（x-l）/（x） = * J（-lx-11 11 1 -15 总 A.3B 応-1 C 3D 312. 若函数f(x)在区间(a, b)上为增函数，在区间(b, c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a, c)()A.必是增函数B. 必是减函数 C.是增函数或是减函数D.无法确定增减性13. 函数f (x)在区间0：)单调递增、在区间-：,0 1上单调递减，则满足f(2x 1) v1f ()的 x 取值范围是()3A./ 12、r/ 2、z1 2、D2 、(,-)B ( 00, )C(,)-，母i33323上递减，则a的取值范围是-0),j a.(X 0)m盂则实数B的取值范围是24.若二次函数 -的图象与x轴交于 丄一二山， 且函数的最大值为 9，则这个二次函数的表达式是 _.1 根据下列条件，求函数的解析式：(1) 已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x)=4x-1 ，求 f(x);(2) 已知