导数压轴题题型学生版

1、实用文档导数压轴题题型引例【2016高考山东理数】(本小题满分13分)已知 f (x)二 a x 一1 n x 2x2 1 ,a R .x(I )讨论f (x)的单调性；(II )当a=1时，证明f(x)> f' x |对于任意的x 11,21成立.1.高考命题回顾例1.已知函数2x（X）=ae +（a- 2） ex-x.(1)讨论f (x)的单调性;(2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围2a x -1 有两个零点例2. (21)(本小题满分12分)已知函数f xi=x-2 ex(I)求a的取值范围；(II)设xi, X2是f x的两个零点,证明：x1x： 2.例3.(本小

2、题满分12分)3 1已知函数 f (x) =x3 - ax "，g(x)二-In x4(I )当a为何值时，x轴为曲线y = f (x)的切线；(n)用min ：m, nf表示m,n中的最小值，设函数h(x) = mi n f (x),g(x) f(x 0),讨论h (x)零点的个数例4.(本小题满分13分)已知常数，函数 )1：.-' + 2 (I )讨论门“在区间(C. / I上的单调性；(n )若八I门存在两个极值点且求 的取值范围例 5 已知函数 f(x) = ex ln(x + m). 设x = 0是f(x)的极值点，求 m并讨论f(x)的单调性;(2)当 m<

3、; 2 时，证明 f(x)>0.1 例 6 已知函数 f(x)满足 f (x) = f'(1)ex，- f (0)xx22(1) 求f (x)的解析式及单调区间；1 2(2) 若 f (X) X ax b，求(a 1)b 的最大值。2例7已知函数f(x)二旦虫 b，曲线y = f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为 X +1 xx 2y -3 = 0。(I) 求a、b的值；In x k(n)如果当x 0，且x = 1时，f (x)，求k的取值范围。x1 x例 8 已知函数 f(x) = (x 3+3x2+ax+b)e _x.若a = b=- 3,求f(x)的单调区间；(2)若

4、f(x)在(g , a ),(2,3 )单调增加，在(a ,2),(3，+ m)单调减少，证明B a> 6.2. 在解题中常用的有关结论(1) 曲线y = f(x)在X = X°处的切线的斜率等于f"(X°)，且切线方程为yf (xo)(x-x°)+ f(X。)。(2) 若可导函数y_=_f(x)在x二xo处取得极值，则 (X。)二0。反之，不成立。对于可导函数f (x),不等式f "(X)匚0 (G0)的解集决定函数 f(x)的递增(减)区 间。(4)函数f (x)在区间I上递增(减)的充要条件是：I f "(x)兰0 (兰0

5、)恒成立(f (x)不恒为0). 函数f(x)(非常量函数)在区间_I上不单调等价于 f(x)在区间I上有极值，则可 等价转化为方程f(x)=0在区间I上有实根且为非二重根。(若f"(x)为二次函数且I=R，则有人0)。(6) f(x)在区间1上无极值等价于f (x)在区间在上是单调函数，进而得到f'(X)AO或f "(X)兰0在1上恒成立若 Xfx I ， f(x) a 0 恒成立，则 f(X)min>0；若丁 f ( X)max U 0,f(x)c0恒成立，则(8)若三 X。壬 1，使得 f(X0)a0，则 f(X)max a0 ；若三 X I，使得 f(

6、X。)<0 , 则 f (X)min <0 .(9)设f (x)与g(x)的定义域的交集为 d,若N XD f(x) = g(x)恒成立，则有 f(X)-g(X)】min >°.(10)若对 P Xi"i、X2EI2 , f(Xi)ng(X2)恒成立，则 f (X)min >g(X)max 若对于 Xi Ii , 3 x I2，使得 f(Xi)g(X2),则 f(x)ming(x)min 若对于 Xi 引1 , 3 X2 乏丨2，使得 f (Xi) v g(X2)，则 f (X)max vg(x)max(11)已知f (X)在区间I1上的值域为A,

7、g(x)在区间I2上值域为B, 若对 F x I1x2 I2，使得 f(xj=g(x2)成立，则 A匸 B。(12)若二次函数f(x)有二个零点，则方程 f (x)=0有两个不等实根 X|、X2，且极大 值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式：X In x 兰 x 1(xa0) X+1 w in (x+1 兰 x(x>1)ex色1 + xe _x兰1 - xinx川-1叮j 一 Jx+12x22 2x23. 题型归纳 导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用(构造函数，最值定位)(分类讨论，区间划分)(极值比较)(零点存在性定理应用)(二阶导转换) 例1 (切线)设函数

8、f(X)以2 -a.(1 )当ah时，求函数g(x)二xf(x)在区间0,1上的最小值；(2)当a 0时，曲线y=f(x)在点P(xi,f(xi)(x a)处的切线为I , I与x轴交于 点 A(x2,0)求证：x1 x2 a .例2 (最值问题，两边分求)1 - a已知函数 f (x) = 1 nx-ax1 (a R).x1当a w 时，讨论2f(x)的单调性；1设g(x) =x2-2bx 4.当a时，若对任意x(0,2)，存在x2 1,21，使4f (xj > g(x2)，求实数b取值范围. 交点与根的分布例3 (切线交点)已知函数f x = ax3 bx3x a,b R在点1, f

9、 1处的切线方程 为 y 2 =0 .求函数f x的解析式；若对于区间-2,2】上任意两个自变量的值 xi, x2都有f(Xif(X2 j兰c ,求实数c的最小值；若过点M 2,m m严2可作曲线y = f x的三条切线，求实数3 2 f (x) = In(2 + 3x) -一x .例4 (综合应用)已知函数求f(x)在0,1上的极值；1 1x ,一,不等式 | a -1 n x| +1 n f "(x) +3x > 0若对任意6 3成立，范围；若关于x的方程f(x) =-2x F在0，1上恰有两个不同的实根，范围m的取值范围.求实数a的取值求实数b的取值 不等式证明®

10、;(x) = ?例5 (变形构造法)已知函数x 1，a为正常数.9若f(x) =1nx (x)，且a 2，求函数f(x)的单调增区间；在中当a =0时，函数y = f(x)的图象上任意不同的两点人 y*i，2 y?，线段AB的中点为C(X0，y0)，记直线AB的斜率为k，试证明：k f (冷).若g(x)=lnxp :(x)，且对任意的 求a的取值范围.X“X2 三 10,2 丨 x1g(X2) g(xi)dI“2，都有2-论,2例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数f(x)=x ln(ax)(a：>0)2(1 )若f'(x) -X对任意的X 0恒成立，求实数a的取值范

11、围；g(Xf(X)XX2 E(1,1),Xi +X2 C1(2 )当a =1时，设函数x ，若e，求证X1 X2 < ( X1 x2)4例7 (绝对值处理)已知函数f (x) =x3 - ax2 bx c的图象经过坐标原点， 且在x = 1处取得极大值.(I )求实数a的取值范围;(II )若方程f (x)=(2a 3)29恰好有两个不同的根，求f (x)的解析式;(III )对于(II )中的函数 f (x)，对任意：、I行 R，求证：| f(2si n)-f(2si n J|_81.例8 (等价变形) 已知函数f(x)二ax-1-ln x (a R).(I)讨论函数f (x)在定义域

12、内的极值点的个数；(n)若函数f (x)在x =1处取得极值，对-x ( 0 , ：), f (x) 一 bx -2恒成立, 求实数b的取值范围；(川)当0 ： x ： y : e2且x = e时，试比较 -与1旦上的大小.x 1 -ln x1 27f(x)=l nx, g(x)=_x +mx + _(mcO)例9 (前后问联系法证明不等式)已知22，直线1与函数f(x), g(x)的图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1。(I)求直线1的方程及m的值；(|)若 h(x)= f(x+1)-g'(x)(其中g'(x)是g(x)的导函数)，求函数 h(x)的最大值。b

13、 af (a + b) - f (2a) v 匚一.(III )当 0 b : a 时，求证：2a例10(整体把握，贯穿全题)已知函数f(x)如 _1(1) 试判断函数f(x)的单调性；(2) 设m 0，求f (x)在m,2m上的最大值;(3)试证明:对任意n N *，不等式ln(二)e :口 都成立(其中e是自然对数的底数)nn(川)证明:例11 (数学归纳法)已知函数f (x) = In( x 1) mx，当x = 0时，函数f (x)取得极大值.(1) 求实数m的值；(2) 已知结论：若函数f (x) = I n(x，1)，mx在区间(a,b)内导数都存在，且a占-1 ,则存在x0 (a

14、,b)，使得f (心)=f(b) 一 f试用这个结论证明：若 b-a1 ：为：x2 ,函数 g(x)二丄 xj f (为),则对任意% _x2X (为必)，都有 f(x) g(x);(3) 已知正数 2丄，n，满足-< '2 'n =1 ,求证：当n 一2 , nN时，对任意大于-1 ,且互不相等的实数x,x2丄，人,都有f(1X12X2LnXn)f(X1)qf (X2)L'nf(Xn) 恒成立、存在性问题求参数范围2例12 （分离变量）已知函数f（x）二x aln x（a为实常数）. 若a - -2，求证：函数f（x）在（i,+ m）上是增函数；（2）求函数f（

15、x）在1, e上的最小值及相应的 x值；若存在x 1，e，使得f （x）岂（a - 2）x成立，求实数a的取值范围例13 （先猜后证技巧） 已知函数f（x）1n（x 1）x（I）求函数f （ x）的定义域（n）确定函数f（ x）在定义域上的单调性，并证明你的结论 k（川）若x>0时f（X）恒成立，求正整数k的最大值.x +1例 14 (创新题型)设函数 f(x)=e x+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x) g(x).(I )若x=0是F(x)的极值点，求a的值；(n )当 a=1 时,设 P(xi,f(x 1), Q(X2, g(x 2)(x i>0,X2>0),且

16、 PQx 轴,求 P、Q两点 间的最短距离；(川)若x > 0时，函数y=F(x)的图象恒在y=F( x)的图象上方，求实数a的取值范围.22 3 2,3上有最大值4，最小值(I)求a,b的值；(n)不等式 f(2xk2x例15(图像分析，综合应用)已知函数g(x) = ax - 2ax 1 b(a = 0,b ：1)，在区间 f(x)=型1，设X .-0在x -1,1上恒成立，求实数k的范围；f(| 2x -1|) k( x (川)方程12 一112- 3) = 0有三个不同的实数解，求实数k的范围. 导数与数列例16 (创新型问题) 设函数f (x) = (x - a)2(x b)

17、ex, a、b三R , x = a是f (x)的一个 极大值点.若a = 0，求b的取值范围；当a是给定的实常数，设 为，x2, x3是f (x)的3个极值点，问是否存在实数 b，可 找到 e R，使得, x2, x3, x4的某种排列 吿，亦 兀，程(其中h, i2, i3, i4 = ,2,3,4?)依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x4 ；若不存在，说明理由. 导数与曲线新题型1 2例 17 (形数转换)已知函数 f (x) = In X , g(x)ax2 bx (a = 0).(1) 若a = _2 ,函数h(x) = f (x) - g(x)在其定义域是增函数，求b的取值范

18、围；(2) 在(1)的结论下，设函数 (x)=e 2x+bex,x 0,In2,求函数 (x)的最小值；(3) 设函数f(x)的图象G与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x 轴的垂线分别交 G、C2于点M、N ,问是否存在点R,使G在M处的切线与 C在N 处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.x例18 (全综合应用)已知函数f (x) =1 ln (0 ： x ： 2).2-x(1)是否存在点M(a,b),使得函数y二f (x)的图像上任意一点 P关于点M对称的点Q 也在函数y = f (x)的图像上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；2n ° i 122n T*定义 Sn 八.f()二 f( ) f() f( )，其中 L N ,求 S2013；i#n n nn(3)在的条件下，令Sn 2an ,若不等式2an (an)m 1对_n N*且n _ 2恒成 立,求实数m的取值范围. 导数与三角函数综合2例19 （换元替代，消除三角）设函数