平面向量的概念及线性运算知识梳理

1、平面向量的概念、线性运算及坐标运算【考纲要求】1. 了解向量的实际背景；理解平面向量的概念及向量相等的含义；理解向量的几何表示2. 掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义3. 了解平面向量的根本定理及其意义,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面 向量的加法、减法与数乘运算,理解用坐标表示的平面向量共线的条件【知识网络】【考点梳理】401193知识要点】【高清课堂：平面向量的概念与线性运算 考点一、向量的概念1 .向量：既有大小又有方向的量.通常用有向线段 AB表示,其中A为起点,B为

2、终点.向量AB的长度|AB|又称为向量的模;长度为0的向量叫做零向量,长度为 1的向量叫做单位向量.2.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,规定零向量与任一向量平行平行向量可通过平移到同一条直线上,因此平行向量也叫共线向量3.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.4. 与a长度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量,规定零向量的相反向量是零向量要点诠释:有向线段的起、终点决定向量的方向,AB与BA表示不同方向的向量;有向线段的长度决定向量的大小,用|AB |表示,|AB |=|BA |. 任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起,因此可用一个有向线段表示,而与起点无关 考

3、点二、向量的加法、减法1. 向量加法的平行四边形法那么平行四边形ABC% (如图),T T T T 向量AD与AB的和为AC ,记作：AD +AB = AC .(起点相同)2. 向量加法的三角形法那么t TT T T根据向量相等的定义有：AB =DC,即在 ADC中,AD +DC =AC .首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.T T规定：零向量与向量 AB的和等于AB .3. 向量的减法T rT T向量AB与向量BA叫做相反向量.记作：AB = -BA .T T T T 贝U AB -CD =AB DC .要点诠释： 关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量

4、；使用三角形法那么时要注意“首尾相连；当两个向量共线时,三角形法那么适用,而平行四边形法那么不适用 向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算,差仍为一个向量；用三角形法那么作向量减法时,记住"连结两个向量的终点,箭头指向被减向量"要点三、实数与向量的积1. 定义：一4一般地,实数A与向量a的积是一个向量,记作,a ,它的长与方向规定如下：4,(1) |2 闩 A|,| a |；、 、珅、 一、珅 4(2) 当>0时,7a的方向与a的方向相同；当兀<0时,"a的方向与a的方向相反；当乳=0时,Aa = 0；2. 运算律设九,P为实数,那么44(1

5、) 杪a)=(汐)a；4 *(2) (赤 + H)a = %a + Ma ；(3) 7"a+b) =君a / Ab3. 向量共线的充要条件一 一 , * 一 一 向量a、b是两个非零共线向量,即 a / b,那么a与b的方向相同或相反.向量a(t 0)与b共线,当且仅当有唯个实数舄,使b=?°a.要点诠释： 向量数乘的特殊情况：当离=0时,乳：=0；当*= 0时,也有$；实数和向量可以求积,但是不能求和、求差. 平面向量根本定理是建立向量坐标的根底,它保证了向量与坐标是一一对应的,在应用时,构成两个基地的向量是不共线的向量 考点四、平面向量的坐标运算1. 平面向量的坐标表示

6、一、4 4、r选取直角坐标系的x轴、y轴上的单位向量i , j为基底,由平面向量根本定理, 该平面内任一向量a 一 -表示成a = x i + y j的形式,由于a与数对(x,y )是一一对应的,因此把(x,y )叫做向量a的坐标表示.2. 平面向量的坐标运算 a = (x,yi), b= gy),那么一、 7 ,、(1) a±b = (x土x2,y1 ±y2)T(2) Ka= *1,瑚)3. 平行向量的坐标表示4T4 4* t a= (x1,y1), b = (x2, y2),那么 a / bu x1y2 x2y1 =0 ( b# 0)要点诠释： 假设a= (x,yi),

7、 b= (x2,y2),那么a/b的充要条件不能表示成 五=火,由于x2,y2有可能等x2 y一、, 于O ,所以应表示为x1 y x2y 0同时a / / b的充要条件也不能错记为x1yx2y 0 , 乂叫-yg =.等.4T4 44 假设a=(x1,y1), b = (x2,y2),那么a/b的充要条件是b = 7a,这与xiy2x2y=0在本质上是没有差异的,只是形式上不同.【典型例题】类型一、平面向量的相关概念例1. 以下说法中正确的选项是 非零向量a与非零向量b共线,向量b与非零向量c共线,那么向量a与向量c共线； 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； 向量a

8、与b不共线,那么a与b所在直线的夹角为锐角； 零向量模为0,没有方向； 始点相同的两个非零向量不平行； 两个向量相等,它们的长度就相等； 假设非零向量AB与CD是共线向量,那么 A B、G D四点共线.【答案】【解析】 向量共线即方向相同或相反,故非零向量间的共线关系是可以传递的； 相等向量是共线的,故四点可能在同一直线上； 向量不共线,仅指其所在直线不平行或不重合,夹角可能是直角或锐角； 零向量不是没有方向,它的方向是任意的； 向量是否共线与始点位置无关； 两个向量相等,它们的长度相等,方向相同； 共线向量即平行向量,非零向量 AB与CD是共线向量,可能 A、B、G D四点共线,也可能 AB

9、CD平行.【总结升华】从向量的定义可以看出,向量既有代数特征又有几何特征,因此借助于向量可将代数问题与几何问题 相互转化.零向量是一特殊向量,它似乎很不起眼,但又处处存在.因此,正确理解和处理零向量与非零 向量之间的关系值得我们重视.对于平行向量或共线向量,它们可以在同一直线上,也可以所在直线互相 平行,方向可以相同也可以相反；相等向量那么必须大小相等、方向相同.举一反三：【变式1】判断以下各命题是否正确,并说明理由：假设 |a |=|b|,那么 a = b；单位向量都相等；两相等向量假设起点相问,那么终点也相问；假设 a = b, c = b,那么 a = c；假设 |a |>| b|

10、,那么 a > b；(6)由于零向重方向不确7E ,故匕不能与任息向重平仃【答案】(1) 错；模相等,方向未必相同；(2) 错；模相等,方向未必相同；(3) 正确；因两向量的模相等,方向相同,故当他们的起点相同时,那么终点必重合；(4) 正确；由定义知是对的；(5) 错；向量不能比较大小；(6) 错；规定：零向量与任意向量平行.【变式2】在复平面中,点 A (2, 1), B (0, 2), C (-2, 1), O (0, 0).给出下面的结论：TTT T T TT直线OC与直线BA平行；AB +BC =CA ；OA + OC =OB ；AC =OB 2OA.其中正确结论的个数是()A

11、 . 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】k°C =11=-,2 -11- 一一kBA = = ,二 OC / AB ,正确;-220-22.鬲.云 ,错误;. OA+OC=0,2=OB,.正确;晶-2#=顼,0,定=-4,0,.正确.应选C.类型二、平面向量的加减及其线性运算比2日如冬已梯形 ABCD中,AB/ CD ,且AB =2CD , M、 设AD = a, AB = &,试以a、b为基底表示 DC、BC、mN .N分别是CD、AB的中点,【解析】连结ND ,那么1 1DC = AB = b; 22r i i 寸DC AB b= NB 22DC/ NB , D

12、C =NB一T 一 "I i,- BC = ND =AD AN =a b；2小-4 i r i4又 DM = DC = -b2 4一T 一 ： 一 i, TMN =DN - DM =CB - DM = b-a .4【总结升华】此题实质上是平面向量根本定理的应用,由于 AD , AB是两个不共线的向量,那么 平面内的所有向量都可以用它们表示出来此题的关键是充分利用几何图形中的线段的相等、平行关系,结合平行向量、相等向量的概念,向 量的线性运算,变形求解.举一反三：工一 口 、一T iT T【变式】在八ABC中,D是AB边上一点,假设AD =2DB , CD =-CA 十九CB,那么舄=

13、32【答案】-3T【解析】由图知 CD=CA+AD CD =CB +BD , Z且 AD +2BD =0.+ x 2 得：3CD =CA+2CB, . CD =CA +2 CB , .九=3 33* 一 4【变式2】 ABC中,点D在AB上,CD平分ACB,假设CB = a , CA = b ,a. i a 2 b33【答案】BB.2日14 a b C.333 4-a b D.5543,a b55ABCD边AD上一点,且 淀=7D, 设 XB = a , EC = * ,假设4【变式3】如图,E为平行四边形ir t t ,AF=AC, BF=kBE,求 k 的值.T T 1,时又,BF =kB

14、E =k(AE-AB) =k( b-a)4I T 一 、- k"而 BF = AF -a , AF = (1 - k)a + b4,-4由解碍k = 一 .5【变式4】假设O, E, F是不共线的任意三点,那么以下各式中成立的是()T T T T T T T J T T T T【答案】B【变式5】O是 ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2OA +OB +OC = 0,那么(A. EF =OF OEB. EF =OF -OE C. EF - -OF OED. EF - -OF - OEH-H =-H KA. AO = ODB . AO = 2ODC . AO = 3ODD . 2

15、AO = OD【答案】A【解析】由于 D为BC边中点,所以由平行四边形法那么可知:又嚣+OC2OA,T T所以 OD = -OA = AO例3.设两个非零向量a,b不共线,T 4 T * 4 4 4(1)假设 AB=a+b, BC = 2a+8b,CD= 3(a-b).求证：A , B , D 三点共线.(2)试确定实数k,使ka + b和a + kb共线.【解析】(1)证实：'；AB=a+b, BC = 2a+8b,CD= 3( a-b),二 BD =BC +CD = 2a + 8b+ 3(a -b) =5(a + b) =5AB ； 二 AB, BD 共线, 又/它们有公共点B,二

16、A , B , D三点共线.(2) * k a + b 和 a+ kb 共线,二存在实数九,使 k a+b = 7ja + k b),即(ka=(7*1)b,'；a,b是不共线的两个非零向量,2.k " '-.k -1=0,. k -1=0.k=1.【总结升华】证实三点共线问题,可以用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向 量共线且有公共点时,才能得到三点共线向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数与方程思想的运用【变式1】平面内有一点P及一个 ABC,那么B .点P在线段D .点P在

17、线段AB上AC上A.点P在 ABC外部C.点P在线段BC上【答案】Dr?黛京PA +PB +PC =AB , PA + PB +【解析】p?x=0,即由嚣+依长=0,.靛故云+ b , CD = a-2b, A、A. k=1且c与d同向B. k=1且c与d反向C. k= 1且c与d同向D. k= 1且c与d反向=0 , 2pA=CP, 点 P 在线段 AC 上.【变式2】假设a、b是两个不共线的向量,#=2：+kb,BC 三点共线,求实数k的值.【答案】k = -7T4 T *【解析】AC=AB+BC=(2a+ kb)+(a+b)=3a+ (k+1)b , CD = a-2b,/ A,C,D三

18、点共线,二ZC,CD共线, T令AC =丸CD , A不为零,.3a + (k 1)b = M(a -2b) K.a -2 b, = 3 i 3,k = -7k 1 = 2,.【变式3】向量a、b不共线,c = ka + bkw R,d=a-b,如果c / d ,那么【答案】D【解析】 c / d且a、b不共线,.存在唯一实数 A使c =,2, I ' 土 k =, k = -1 _ka + b = A (a - b)S ,应选 D.1 = -,= -1【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193例2】【变式4】向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6：,cD =72b,那么

19、一定共线的()(A) A、B、D(B)A、B、C(C)B、C、D(D) A、C、D【答案】A类型三、平面向量的根本定理、坐标表示及综合应用例 4、(I) (2021 全国 I 高考)设向量 a=(x, x+1), M=(1 , 2),且 lb,那么 x=.( ) (2021 全国 II 高考)向量 a=(m,4), b=(3,-2),且"a / b,贝U m=.2【答案】(i) (n) -63【解析】(I)a=(x, x+i), b=(1, 2),由于 a_ib,所以 x+(x+1)2=0,出2即 3x+2=0,解得 x=3 .(n )由于 a / b,那么-2m=12,解得 m=-

20、6.,准备掌握公式,灵活【总结升华】 考查向量的坐标运算及平行垂直的坐标表示是测试命题的主要方式之 运用.举一反三：【变式1】(2021春 拉萨期末)向量a =(1,2 ), b = (-1,4)4 4 11 4 时假设(ka +2b )LI(a 3b ),求 k 的值.假设(ka +2b )_L (a 3b ),求 k 的值.【解析】(1)?a=(1,2), b=(1,4),ka+2b =(k-2,2k+8 ), a-3b=(4,-10)ka 2ba-3b-10 k -2 -4 2k 8 =0解得：k=26(2)当(ka +2b )_L(a -3b )时, c c c114(k2)10(2k

21、+8)=0解得 k =-歹【变式2设向量a= (1, 2) , b= (2, 3).假设向量a + b与向量c= ( 4, 7)共线,那么入=,【答案】2【解析】赤a+b =(九+2,2丸+3) ,(Aa+b)/c,7(九+2)=顼(2兀+3)n 九=2.故填 2.【变式 3】如图,在 ABC 中,AD ± AB , BC = JSBD , | AD | = 1 ,4那么AC AD =.炒岑c【答案】.3【解析】建系如下列图：令 B(XB, 0), C (XC, Yc), D (0, 1),- BC =(xc -XB%),BD =(-xB,1), BC=、/3bD,Ixc -XB =

22、、-3(-xb)S L , yC = . 3ac=(i-73)xb,佝,jxc = (1 - 3)xb<L,1 yC = '、3AD = (0,1),贝U AC A =V3【变式4】 右 平面向量a、b满足a十b =1,a +b平行于x轴,b= (2,1),那么a =【答案】(一1 , 1)或(一3, 1)【解析】设 a =(x, y),那么：+b =(x+2, y-1),5 H20(yT)2=1"y.或忏1x = -1x = -3- a = ( 1, 1)或(一3, 1).【高清课堂：平面向量的概念与线性运算 401193例3】【变式5】假设直线2x - y + c

23、= 0按向量a = (1,一1)平移后与圆x2 + y2 = 5相切,贝U c的值为()A . 8 或2 B . 6 或4 C . 4或6D. 2 或一8【答案】A例5. A, B, C是不共线三点,点 O是A, B, C确定平面内一点,假设|OA|2 +|OB |2 +|OC |2取最小 值时,.是 ABC)A.重心 B .垂心 C .内心 D .夕卜心【答案】A【解析】设 O (x, y) , A (xi, yD, B (x2, y2), C (x3, v3那么 S =|OA|2 |OB |2 |OC |22 2 2 2 2 2= (xxi) (y yi)(xX2)(y y2) (x X3)(y y3)= 3x222222222(为x2x3)x为x2