第三章一元函数积分学课题十六定积分的概念与性质

1、第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质【授课时数授课时数】【学习目标】【学习目标】 1、知道定积分和微元法的定义； 2、熟悉定积分的性质； 3、会用定积分的几何意义求定积分。【重、难点】【重、难点】 重点重点：定积分的定义、几何意义和性质，由求曲边梯形的面积引出定积分的定义。 难点难点：定积分的微元法，由实例讲解方法。 总时数：4 学时.第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质abxyo? A 实例实例11 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积.)(xfy ) 0)( xf、x轴轴与与

2、两两条条直直线线ax 、)(xfy 这个曲边梯形的面积是多少呢这个曲边梯形的面积是多少呢?第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积. 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质播放播放 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时

3、，矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分

4、的概念和性质 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积

5、的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 观察下列演示过程，注意当分割加细时，

6、矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课

7、题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积

8、和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性

9、质曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个个分分点点，内内插插入入若若干干在在区区间间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx ,1 .)(iixf为高的小矩形面积为为高的小矩形面积为为底，为底，以以)(,1iiifxx 有限分割有限分割., 2 , 1,)(nixfAiii小曲边梯形的面积第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质iniiniixfAA)(11曲边梯形面

10、积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时时，趋趋近近于于零零即即小小区区间间的的最最大大长长度度当当分分割割无无限限加加细细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为近似代替近似代替无限逼近无限逼近和式极限和式极限第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 实例实例2 2 求变速直线运动的位移求变速直线运动的位移. 思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的位移再相加，便得到位移度看作不变，求出各小段的位移再相加，便得到位移的近似值

11、，最后通过对时间的无限细分过程求得位移的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得位移的精确值的精确值第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质(1)有限分割有限分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分位移值部分位移值某时刻的速度某时刻的速度(2)近似代替近似代替iinitvs )(1 (3)无限逼近无限逼近,max21nttt iniitvs )(lim10 位移的精确值位移的精确值和式极限和式极限第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质第三章第三章

12、 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质称为积分区间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质注注 意意： badxxf)( badttf)( baduuf)(0)(aadxxfabbadxxfdxxf)()(第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质且上连续在设函数,)(baxf baAdxxf)(定积分是曲边梯形的面积定积分是曲边梯形的面积abxyoA

13、)(xfy 0)(. 1xfbaAdxxf)(定积分是曲边梯形面积的相反数定积分是曲边梯形面积的相反数0)(. 2xfabA)(xfy xyo第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质正负交替)(. 3xf定积分是各部分小曲边梯形面积的代数和定积分是各部分小曲边梯形面积的代数和.4321)(AAAAdxxfba 1A2A3A4Aabxyo)(xfy 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 例例11 用定积分表示下图中阴影部分的面积用定积分表示下图中阴影部分的面积.解解4A2xyoxx

14、y22-11A2A21AAA阴影022xxy令20 xx或解得,01时当，x, 022xxy.)2(0121dxxxA,20时当，x, 022xxy.)2(2022dxxxAdxxxdxxxA)2()2(202012阴影1x第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 例例22 判断下列定积分的正负判断下列定积分的正负.2cos) 1 (0dxx(1) 解解.) 1()2(112dxx , 02cos, 02cos)(xxxf且上连续在. 02cos0dxx由定积分的几何意义知(2) 解解, 01, 1 , 11)(22xxxf且上连续在.

15、0) 1(112dxx由定积分的几何意义知第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 例例33 由定积分的几何意义求下列积分由定积分的几何意义求下列积分.)1(21dxx解解如图所示,由定积分的几何意义知1A-1xyo22A2121)(AAdxxxy 22211121232-1第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 例例33 由定积分的几何意义求下列积分由定积分的几何意义求下列积分.1)2(112dxx解解，xy的半圆半径为是圆心在原点112,由定积分的几何意义知xyo半圆Adxx1

16、12121xy21212-11,如图所示第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 例例44 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解小小区区间间,1iixx 的的长长度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210li

17、m nnn121161lim.31 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质定积分的实质定积分的实质：和式极限：和式极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质练练 习习 题题niiixf10)(lim被积函数积分区间积分变量的代数和各部分小曲边梯形面积badx第三章第三章 一元函数积分学一元函

18、数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题( )baAf x dx曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（2）计计算算iA 的的近近似似值值iiixfA )( ,1iiixx（3）求和，得）求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA 第三章第三章 一元函数

19、积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质ab xyo)(xfy （4）求极限，得）求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(方法方法 dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积元素面积元素第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质当当所所求求量量U符符合合下下列列条条件件：第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质元素法的元素法的一般步骤一般步骤：第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六

20、 定积分的概念和性质定积分的概念和性质这种方法通常叫做元素法元素法（或微元法或微元法）应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等水压力；引力和平均值等第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 例例11作直线运动的物体设以速度)(tvv 解解,21tt，t积分区间是为积分变量取作为这小区的速度以时刻)(tvttvo21)(ttdttvs)(tvv dttvds)(于是所求位移为,求这物体的连续函数上是在时间区间，ttt,21.移在这段时间内发生的位1t2tt

21、dtt，dttttt,21上任取一小区间在得位移元素间上的运动速度,第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质思考题思考题微元法的实质是什么？微元法的实质是什么？思考题解答思考题解答微元法的实质仍是微元法的实质仍是和式极限和式极限.第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质前面我们对定积分有两条前面我们对定积分有两条补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，在下面

22、的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.注意注意：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,xyoab)(xfy cA1A2A证证 ,)(

23、) 1 (时是内分点当bcac,由定积分的几何意义得badxxf)(21AAAbccadxxfdxxf)()(第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf: 定积分对于定积分对于具有具有.则则,)()2(时不妨设外是分点当cbacxyoac)(xfy bA1A2A第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质证证),()(,xgxfba上恒有在, 0)()

24、(xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.，由定积分的几何意义xyoab)(xfy )(xgy 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质解解, 3,时当ex, 1lnxx，x2lnln故故dxxdxxee323lnln第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质解解令令,)(xexfx 2, 0 x, 01)()2 , 0(xexf，x时当，xexfx上单调递增在2 , 0)(),0()(fxfx，exx时即当2 , 0故故dxxdxex2020第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质xyoab)(xfy mM证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十六课题十六 定积分的概念和性质定积分的概念和性质解解,sin31)(3xxf ,