圆锥曲线综合试题全部大题目含答案

1、22(2021年天津卷)19.(本小题总分值14分)椭圆、+_y2=1(a>b>0)的左焦点为a bF (-c,0 )离心率为 Y3 ,点M在椭圆上且位于第一象限,直线 FM被圆x2+y2 =截得 34的线段的长为c,4 .3 |FM|二可.(I)求直线FM的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P在椭圆上,假设直线 FP的斜率大于 J2 ,求直线OP (.为原点)的斜率的取 值范围.设过抛物线1 .平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦2x 2py外一点P(x0,y0)的任一直线与抛物线的两个交点为C、D ,与抛物线切点弦 AB的交点为Q.(1)求

2、证：抛物线切点弦的方程为x0x p(y+ y0)；PC |PD | |PQ |2 .定点F (1, 0),动点P在y轴上运动,过点 P作PM交x轴于点M,并延长 MP到点 N,且 PM PF 0,| PM | | PN |.(1)动点N的轨迹方程；(2)线l与动点N的轨迹交于A, B两点,假设OA OB4,且4J6 | AB| 4J30,求直线l的斜率k的取值范围.一 ,一一 x23.如图,椭圆Ci :一421右支3221的左右顶点分别为 A、B, P为双曲线C2 :34上(X轴上方)一点,连 AP交C1于C,连PB并延长交C1于D,且 ACD与 PCD的面积 相等,求直线PD的斜率及直线 C

3、D的倾斜角.4.点M ( 2,0), N(2,0),动点P满足条件| PM |PN | 22 .记动点P的轨迹为W .ULU UUUOA OB的最小值.(I)求W的方程;(n)假设A,B是W上的不同两点, O是坐标原点,求5 .曲线 C的方程为：kx2+(4-k)y2=k+1,(kC R)(I)假设曲线C是椭圆,求k的取值范围；(n)假设曲线C是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60.,求此双曲线的方程；(出)满足(n)的双曲线上是否存在两点P, Q关于直线l: y=x-1对称,假设存在,求出过 巳Q的直线方程；假设不存在,说明理由.6 .如图(21)图,M (-2, 0)和N (2, 0)是平

4、面上的两点, 动点P满足：PM PN 6.(1)求点P的轨迹方程;(2)假设 PM PN| =1 cos MPN,求点P的坐标.22227 .F为椭圆 二与1 (a b 0)的右焦点,直线l过点F且与双曲线41a2 b2ab2的两条渐进线l1,l2分别交于点M,N,与椭圆交于点 A,B.(I)假设 MON ,双曲线的焦距为4.求椭圆方程. 3uuuu uuuuum 1 unr(II)假设OM MN 0 (O为坐标原点),FA -AN ,求椭圆的离心率e.328 .设曲线Ci : = y2 1 ( a为正常数)与C2: y2 2(x m)在x轴上方只有一个公共点 P. a(I)求实数 m的取值范

5、围(用a表示)；1(n) O为原点,右Ci与x轴的负半轴交于点 A,当0 a 1时,试求 OAP的面积的最2大值(用a表示).15年高考题答案(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、 直线与圆的位置关系、一元二次不等式等根底知识.考查用代数方法研究 曲线的性质,考查运算求解水平,以及用函数与方程思想解决问题的水平.总分值c 12(I)解：由有,又由aa 31 2222,22b +c ,可得 a 3c ,b 2c .设直线FM的斜率为k(k f 0),那么直线FM的方程为y k(x c).由,有kc k2=1(II )解:I)得椭圆方程为2 x 3c22 y 2c21

6、 ,直线FM的方程为y x3两个方程联立,消去y,整理得3x22cx5 c25 八一0 ,解得x 一 c,或x c.由于点3 2、3第一象限,可得M的坐标为 c,c3.有FM(c c)2解得c 1 ,所以椭圆的方程为(III解:设点P的坐标为 x,y,直线FP的斜率为t,与椭圆方程联立y2x3t(x2y21),消去y ,1,整理得2x2 3t2(x1)26.又由,得kJ解得3-P xP1p x p 0.设直线OP的斜率为y mx(x 0),与椭圆方程联立,整理可1. (1)略(2)为简化运算,设抛物线方程为2(x Xo)2 2p(y y0),点Q, C, D的坐标分别为的 丫3),3,yi),

7、施 y2),点 P(0,0),直线 y kx ,2(x Xo)2p(kx yo)22x 2(xo pk)x xo 2pyo 0一方面.要证 1PC化斜为直后12市 fPQI-112只须证： x X2 x3O由于1x11x2x1 x2柩22(x° pk)x2 2pk另一方面,由于 P(0,0)所以切点弦方程为：x0(x x0) p(y 2y0)所以x3x2 2pkx pk1 x pk2x3 x0 2 pk从而即1 1 2X x2 x3M( x,0), P(0,)(x 0),PM( x, 2y),PF (1, y),由PM PF20 ,因此,动点的轨迹方程为y2 4x( x 0).4分(

8、2)设l与抛物线交于点A(x1,y1) ,B(x2,y2),当 l 与 x轴垂直时,那么由 OAOB 4,得必 22,y22v'2,|AB| 4行 4v;6 ,不合题意,故与l与x轴不垂直,可设直线l的方程为y=kx+b(kw 0),那么由oA oB4,得x1x2 y1 y24 6分由点 A, B在抛物线 y2 4x(x 0)上,有y2 4xi,y2 4x2,故yiy28.又 y2=4x, y=kx+b 得 ky2 4y+4b=0, 8 分2所以土 8,b2k.16(1 2k2),|AB|2 2-(萼 32)10 分kk k由于4.6 | AB| 44f30,所以96 -(段32) 4

9、80.解得直线l的斜率的取值范围是12分1,23.由题意得 C 为 AP 中点,设 C(x0,y0),A( 2,0), P(2x 2,2y.),2,2把C点代入椭圆方程、P点代入双曲线方程可得3x0 4y0 12223(2x° 2)2 4y012解之得:%133,故C(1,), P(4,3),又 B(2,0)y.一223 ,直线PD的方程为y 2(x 2)22e, y (x 2)一一八一,人,a ,联立 2 铲和M 3 故直线CD的倾斜角为902 2 解得D(1,-)3 L 124 34.解法(I)由|PM| -|PN|= 2jS知动点P的轨迹是以 M ,N为焦点的双曲线的右支,实半

10、轴长a ,2又半焦距c=2,故虚半轴长b c2 a2 Q22_所以W的方程为上 L 1,x 石22(n)设A, B的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2)uuu uuu22当 AB±x轴时,x1x2,从而y1y2,从而 OA OBx1x2y1y2x1y12.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y kx m,与W的方程联立 消去y得22_2_(1 k )x 2kmx m 2 0.2kmm2故 x1 x2 2, x1x2 ,1 k2k2 1所以22(1 k )x1 x2 km(x1 x2) muur uuurOA OB x1x2 y1y2 x1x2 (kx1 m)(kx2 m)(

11、1 k2)(m2 2)k2 12k2m21 k22k2 2 24k2 1k2 1又由于xx20,所以k2 1uuu uuu0,从而OA OB2.综上,当AB± x轴时,uuu uuuOA OB取得最小值2.那么 Siti2,且 §0,ti 0(i 1,2)所以uur uuurOA OB 为沟yy21,、,、4(S1 t1)(S2 t2)解法二：(I)同解法一.(n)设A, B的坐标分别为,那么(oy), (x2,y2),那么令 s xi yi,ti xi yi,xi2 yi2 (为 y)(x x) 2(i1,2).2,2 t1t2,x1x2, , ,当且仅当SS2t1t2,

12、即1 时 成立.y1y2uuu uuu所以OA OB的最小值是2.C表示直线；当kw0且kw-1且kw4时方程为5. (1)当 k=0或 k=-1 或 k=4时,上 上 1 ,为椭圆的充要条件是：U 0且 U 0,幺uk 1 k 1k 4 k k 4 kk 4 k即是 0<k<2或 2<k<4k 1 k 1(2)为双曲线的充要条件是 ：0,即k 1或-1 k 0或k 4,k 4 k当k 1或k 4时,双曲线焦点在x轴上,a2 口22 ,得k 6,k 1口,得k 6,不符.k 4k k 4 ck 1 c当-1 k 0时,双曲线焦点在y轴上,b2 U,a2 k22综上得双曲

13、线方程为：工工17762m假设存在,设直线 PQ的方程为：y=-x+my6x2x m2y2消去y得：4x2724mx 2m 7 0mx0设P,Q的上点是M x0,y.,那么2,M在直线L上,3m m 1 m -3m222v.Ti万程2的4 >0, 存在满足条件的P、Q,直线PQ的万程为y x -26.1由椭圆的定义,点 P的轨迹是以M、N为焦点, 因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴长轴长2a=6的椭圆.b=<a2c2 邪,- ,、一x2所以椭圆的方程为一 9(2)由 PM|gPN,得1 cosMPNPM gPN| cosMPN |PM gPN| 2.由于cosMPN 1,P

14、不为椭圆长轴顶点,故P、M、N构成三角形.在4PMN中,MN| 4,由余弦定理有222MN PM| PN 2 PM gPN cosMPN.将代入,得42 PM |2 |PN2 2( PM gPN 2).故点P在以M、N为焦点,实轴长为2层的双曲线y2 1 上.由方程组5x2 9y2 45, x2 3y2 3.x解得y3.32.5.2即P点坐标为3.353 3.5一,一、一,-一22223 35、f /3 3-5,一)或(,-一22227.解：IMON , M ,N是直线l与双曲线两条渐近线的交点, 3tan-色,63即 a 3b双曲线的焦距为4,b2 4, 一 2_2解得,a 3,b12 x

15、椭圆方程为一3y2 1II解：设椭圆的焦距为2c,那么点F的坐标为(c,0)OM ON 0,1i直线11的斜率为直线l的斜率为-, b直线1的方程为b(xc)y a(x a)由 b y设 A(x,y),由 FAx c 1(3解得cab即点N/曲1 1AN 32a 、一 x)c1 aby 3ny)c, y13(abx,一 cy)点A在椭圆上,(3c22)22 216a c9 222(3c a )2 216a c9e4 10e2椭圆的离心率是e3c24c ab3cA(一4c4ca2 ab一2)10分.2a16c2(3e212分1)2 1 16e22xr y21222小8. (I)由 a2x2 2a

16、2x (2m 1)a2 0,y2 2(x m)设f (x) x2 2a2x (2 m 1)a2,那么问题(I)转化为方程在区间(a, a)上有唯一解:a 1)o右 0 m ,此时xpa ,当且仅当 a a a,即0 a 1适合；假设 f(a)f( a) 0 ,那么 a m a ;假设f ( a) 0 m a ,此时xP a 2a2,当且仅当 a a 2a2 a,即0 a 1时适合;假设 f (a) 0 m a ,此时 xPa 2a2,但 a 2a2a ,从而 m a.a2 1综上所述,当0 a 1时,m 或a ma；当a 1时,a ma.1_ -,所以有两种情形:21(n) OAP的面积是S 1ayP.由于0 a2当 a m a 时,0 a2 a4a _2m 1