《高等数学》(专科升本科)复习资料

1、高等数学（专科升本科）复习资料一、 复习参考书：全国各类专科起点升本科教材高等数学（一）第3版 本书编写组 高等教育出版社二、 复习内容及方法：第一部分 函数、极限、连续复习内容 函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。数列的极限与函数的极限概念。收敛数列的基本性质及函数极限的四则运算法则。数列极限的存在准则与两个重要的函数极限。无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。常见的求极限的方法。连续函数的概念及基本初等函数的连续性。函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。复习要求会求函数的定义域与

2、判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。掌握数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能使用等价代换。理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。重要结论1. 两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数；奇函数与偶函数之积必为奇函数；奇（偶）函数的复合必为偶函数；2. 单调有界数列必有极限；3. 若一个数列收敛，则其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不一定收敛

3、；4. 若一个函数在某点的极限大于零，则一定存在该点的一个邻域，函数在其上也大于零；5. 无穷小（大）量与无穷小（大）量的乘积还是无穷小（大）量，但无穷小量与无穷大量的乘积则有多种可能6. 初等函数在其定义域内都是连续函数；7. 闭区间上的连续函数必能取到最大值与最小值。重要公式1. 若则；。2. 两个重要极限公式1）；2） ，。3. 在求极限的运算中注意使用等价无穷小量的代换，常见的等价无穷小量代换有：当时， 。第二部分 一元函数微积分复习内容导数的概念及其几何、物理意义、基本求导公式与各种求导法则，微分的概念及计算，罗尔定理、拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数增减性的判定，函数的极值与极值

4、点、最大值与最小值，函数的凹凸性及拐点，曲线的渐近线。复习要求理解导数的定义，同时掌握几种等价定义，即；掌握导数的几何意义，了解导数的物理意义；掌握连续与可导的关系，即连续不一定可导，而可导一定连续；熟练掌握基本初等函数的导数公式与导数的四则运算法则、反函数与复合函数、隐函数、由参数方程确定的函数的求导法则，掌握对数求导法与高阶导数的求法；理解微分的定义，明确一个函数可微与可导的关系，即可微一定可导，反之一样；熟练掌握微分的四则运算和复合函数的微分；理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理，了解其几何意义；能熟练运用洛必达法则求极限，必须记住使用洛必达法则的条件，同时应注意以下几个问题：1.如果使用

5、洛必达法则后，问题仍然是未定型极限，且仍满足洛必达法则的条件，则可再次使用洛必达法则，2.如果在“0/0”型或“”型极限中含有非零因子，该非零因子可以单独求极限，不必参与洛必达法则运算，以达到简化运算的目的，3.如果能进行等价无穷小量代换或恒等变形配合使用洛必达法则，也可以达到简化运算的目的；会利用导数的几何意义求已知曲线的切线方程与法线方程，会利用导数的符号判断函数的增减性，熟练掌握函数的极值与最值的求法即需掌握以下步骤：1.求出函数的定义域，2.求出，并在函数的定义域内求出导数等于零与导数不存在的点（驻点）3.判定驻点两侧导数的符号，4.如果驻点处函数的二阶导数易求，可再次求导通过在该点的

6、符号来判断极值，5.求最值时，只需求出所有的极值点与端点的值，最大（小）者即为最大（小）值；掌握判断曲线的拐点、凹凸性的一般方法：1.求出该函数的二阶导数，并求出其二阶导数等于零的点，2.同时求出二阶导数不存在的点，3.判定上述各点两侧，该函数的二阶导数是否异号，如果在的两侧异号，则（）为曲线的拐点，4.在的的取值范围内，曲线是弧是下凹的，在的的取值范围内，曲线弧是上凸的.；了解渐近线的定义，并会求水平渐近线与铅直渐近线，即，则为曲线的水平渐近线，若，则称为曲线的铅直渐近线；重要结论1. 如果函数在点的导数存在，则在几何上表明曲线在点（）处存在切线，且切线的斜率为，且切线方程为，当时，法线方程

7、为，2. 若函数在点处可导，那么函数在点处必定连续，反之不一定；3. 函数在点可微的充分必要条件是在点处可导，且有；4. 罗尔定理：若函数满足以下条件：1）在闭区间上连续，2）在开区间内可导，3），则在开区间内至少存在一点，使得；5. 拉格郎日中值定理：若函数满足以下条件：1）在闭区间上连续，2）在开区间内可导，则在开区间内至少存在一点，使得。重要公式1. 设与在点可导，则 ， 2. 设复合函数，若点处可导，在相应的点可导，则复合函数在点处可导，且有链式法则3. 设是由所确定，其中都为可导函数，且，则，4. 在求导数时，有时要注意对数求导法的应用5. 洛必达公式：当满足一定条件时，有， 同时应

8、注意可转化为“0/0”型或“”型的极限第三部分 一元函数积分学复习内容 不定积分的概念与性质，不定积分的基本公式，积分第一换元法与第二换元法，分部积分公式与应用分部积分公式时应注意的一般原则，定积分的基本概念与基本性质，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法，无穷区间上的广义积分，求平面图形的面积，求旋转体体积。复习要求理解原函数与不定积分定义，了解不定积分的几何意义与隐函数存在定理；熟练掌握不定积分的性质与不定积分的基本公式，理解积分第一换元法，即设具有原函数存在连续导函数，则有换元公式了解积分第二换元法；掌握分部积分公式，同时应注意在使用时应遵循的一般原则；理解定积分的定义与定

9、积分的几何意义；熟练掌握定积分的性质与牛顿-莱布尼茨公式；熟练运用定积分的换元积分法与分部积分法；了解无穷区间上的广义积分的求法；会用定积分的性质求平面图形的面积与旋转体的体积。重要结论1. 若为在某区间上的一个原函数，则为的所有原函数，称为的不定积分，记为；2. 定积分表示一个数值，它只取决于函数与积分区间，与积分变量无关，即；3. 如果函数在区间上连续，则定积分必定存在；4. 以及轴所围成的曲边梯形的面积等于；5. 如果在区间上连续，则在上至少存在一点，使得；6. 如果在区间上连续，则积分上限函数在区间内可导，且；7. 若是区间上的连续函数，则。重要公式1. 先积分后求导，作用抵消，即先求

10、导后积分，相差一个常数，即2. 分部积分公式：3. 牛顿-莱布尼茨公式：1）如果在区间上连续，2）为在内的一个原函数，则。4. 定积分的换元公式：设在区间上连续，函数满足以下条件：1）2）在上为单值、有连续导数的函数，则有。第四部分 空间解析几何复习内容平面方程的基本概念、直线方程的基本概念，简单的二次曲面。复习要求了解平面的点法式方程与一般式方程、了解特殊的平面方程、两个平面之间的关系：垂直、平行、重合，会通过已知条件建立平面方程，掌握直线的标准式方程与一般方程，了解直线之间的关系以及直线与平面之间的关系，会根据已知条件建立直线方程，了解常见的二次曲面，即柱面方程、球面方程、椭球面方程、锥面

11、方程、旋转抛物面方程.重要结论1. 设有平面平面与相互垂直的充分必要条件是，平面与平行的充分必要条件是，平面与重合的充分必要条件是，2. 建立平面方程常用平面点法式：1） 过点作平行于的平面方程，取及即可，2） 过点作垂直于向量的平面方程，只需取平面法线向量及点即可，3） 过点，作平面方程，利用平面的一般式方程，设所求的平面为，将已给的三点的坐标代入平面方程，可以得到一个以为未知量的方程组，求出即可，3. 设有直线 直线与平行的充分必要条件为， 直线与垂直的充分必要条件为，4. 设直线与平面的方程为1） 直线与平面垂直的充分必要条件是2） 直线与平面平行的充分必要条件是3） 直线落在平面上的充

12、分必要条件是5. 建立直线方程，常用直线的标准式方程，只需确定直线上的一点及直线的方向向量，即1） 作过点，且垂直与平面的直线方程，取及方向向量即可，2） 作过点，的直线方程，取=及方向向量即可第五部分 多元函数微积分学复习内容二元函数的概念及几何意义，多元函数的概念，二元函数的极限与连续性以及连续性的基本性质，偏导数的定义，全微分的概念与基本性质，二阶偏导数，复合函数微分法、隐函数微分法，二元函数的极值与条件极值，二重积分的概念与基本性质，直角坐标系下二重积分的计算、极坐标系下二重积分的计算，二重积分的应用。复习要求了解二元函数的定义，会求二元函数的定义域，掌握二元函数的连续性与连续的基本性

13、质；理解二元函数偏导数的定义及几何意义；掌握全微分的定义极其存在的基本性质，会求二元函数的二阶偏导数与复合函数的链式法则。理解隐函数微分法；熟练掌握二元函数极值的求法，了解二元函数的条件极值；理解二重积分的概念，掌握二重积分的基本性质，熟练掌握在直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算问题；了解二重积分的应用重要结论1. 有界闭区域上的连续函数，在区域上必能取得最大值与最小值，2. 有界闭区域上的连续函数，在区域上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值，3. 如果在点处的偏导数为连续函数则在点处可微分，且，4. 设函数在点的某个邻域内具有连续的一阶和二阶偏导数，又记，则（1）当时，在点处取得极值，

14、且当时，取得极大值，时取得极小值；（2）当时，不是极值点；（3）当，点是否为极值点需进一步判定。5. 在D上若，且D的面积为，则有，重要公式1. 链式法则：设，在一定条件下，有，2. 一元隐函数求导：设对存在连续偏导数，且，则由确定的函数对的导数为，3. 二元隐函数求导：设，其中为的二元函数，对存在连续偏导数，且，则，4. 直角坐标系下二重积分的计算：1）若，则，2）若，则3） 若，则，5. 极坐标系下二重积分的计算：1）若，则=。2） 若极点O在区域D的边界上，积分区域可表为，则。3） 若极点O在区域D的内部，积分区域可表为，则二重积分可化为第六部分 无穷级数复习内容数项级数的概念，级数的收

15、敛与发散，级数的基本性质，级数收敛的必要条件，正项级数收敛性的判别法与任意项级数收敛性的判别法；幂级数的概念与基本性质。复习要求理解级数收敛、发散的概念，掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质，会熟练使用比较判别法与比值判别法判别正项级数的收敛性，掌握几何级数、调和级数、与级数的收敛性，了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。了解幂级数的概念及在其收敛区间内的基本性质，会求幂级数的收敛半径、收敛区间，会利用常见函数的麦克劳林公式，将一些简单的初等函数展开为幂级数。重要结论1. 在一个级数的前面去掉或添加有限项，不改变级数的收敛性，2. 若收敛，则必有，但反之不一定，3. 幂级数在收敛区间内可以逐项积分（求导），且积分（求导）后所得到的幂级数的收敛半径不变重要公式1. 三个常用的标准级数：1），2）发散（调和级数），3）级数2. 比值判别法：设为正项级数，且，则1）当时，收敛，2）当时，发散，3）当时，收敛性需进一步判定，3. 收敛半径的求法：设幂级数的系数有，则1）当时，有，2）当时，定义，3）当，定义，第七部分 常微分方程复习内容微分方程的定义，初始条件，特解，可分离变量的方程，一阶线性方程；二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性