2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修2讲学案3直线的交点坐标与距离公式

1、3.33.3直线的交点坐标与距离公式3.3.3.1&3.3.23.1&3.3.2两直线的交点坐标、两点间的距离-预习课本P102P102105,105,思考并完成以下问题1 1 . .怎样求两条直线的交点坐标？2 2 . .怎样通过两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系?3 3 . .两点间距离公式是什么?新知初探1 1. .两直线的交点坐标(1)(1)两直线的交点坐标:几何兀素及关系代数表示点A AA(a,b)A(a,b)直线l l1 1：Ax+By+C=0Ax+By+C=0点A A在直线l l上Aa+Bb+C=0Aa+Bb+C=0直线1 11 1与1 12 2的交点是A

2、AA A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1=1=0,0,方程组i iy y八A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2=2=0 0.xa).xa)的解是1 1y=by=b(2)(2)两直线的位置关系方程组A Ax+Bx+B1y+1y+C C1 1= =0 0的解A2A2x+x+B B2 2y+Cy+C2=2=0 0一组无数组无解直线1 11 1与1 12 2的公共点个数一个无数个零个课前自主学习，基稔才能楼高2.2.两点间距离公式(1)(1)公式：点P Pl l(X(Xl,l,y yi i),P),P2 2(X(X2,2,y y2 2) )间的距离公式|P|Pl lP P2 2| |=

3、=7(7(X2X2X Xi i“2 2丫丫 1 1j.j.(2)(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根.点睛(1)(1)此公式与两点的先后顺序无关.(2)(2)当直线P P1 1P P2 2平行于x x轴时,|P|Pl lP P2 2|=|X|=|X2-2-X Xi i|.|.当直线P P1 1P P2 2平行于y y轴时，|P|Pi iP P2 2|=|y|=|y2 2y yi i|.|.当点P Pi,i,P P2 2中有一个是原点时，|P|Pi iP P2 2|=X|=X2 2+y+y2 2. .小试身手1 1 . .判断下列命题是否正确.(

4、正确的打，错误的打xx”) )(1)(1)过P Pi i(0,a),P(0,a),P2 2(0,b)(0,b)的两点间的距离为a-b(a-b() )(2)(2)不论m m取何值，X Xy+y+1=01=0与X X2my+2my+3=03=0必相交()()答案：(1)X(2)X(1)X(2)X2 2 . .已知点A(-2,A(-2,1),1),B(a,3),B(a,3),且|AB|=5,|AB|=5,则a a的值为()()A.A.1 1B.-B.-5 5C.1C.1或5D.5D.1 1或5 5解析：选C.AB|=4(a+2C.AB|=4(a+22+(3+12+(3+1j j=5,=5,a=a=一

5、5 5或a=1.a=1.3.3.两直线2X+3y2X+3yk=0k=0和X Xky+12=0ky+12=0的交点在y y轴上，那么k k的值为k k解析：在2x+3y2x+3yk=0k=0中，令x=0 x=0得y=y=, ,3 3典例求过直线2x2xy+2=0y+2=0和x+y+x+y+1=01=0的交点，且斜率为3 3的直线方程.2x2xy+y+2=0,2=0,x x= =1,1,解法一：(点斜式法)解方程组得*所以两直线的交点坐标X+y+X+y+1=0,1=0,ly=0,ly=0,为( (1,0),1,0),又所求直线的斜率为3,3,故所求直线的方程为y-0=3y-0=3x-x-（-1-1

6、）, ,即3x3xy+3=0.y+3=0.法二：（分离参数法）设所求直线为1,1,因为l l过已知两直线的交点，因此l l的方程可设为2x2xy+2+Mx+y+1y+2+Mx+y+1）=0=0（其中入为常数），即（计2 2）x+x+（入1 1）y+y+计2=02=0, ,直线l ll l与1 12 2的位置关系相交重合将k k1 1弋入x xky+12=0,ky+12=0,解得k=k=母课堂讲练没计，举一能通类巡两条直线的交点问题答案：步又直线1 1的斜率为3,3,所以=3,=3,解得上二入一1414将壮4 4代入，整理得3x3xy+3=0.y+3=0.求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方

7、程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线A A1 1x+Bx+B1y+1y+C C1=01=0与A Az zx+Bx+B2 2y+Cy+C2=2=0 0的交点的直线系方程A Ax+Bx+By+C1+MAy+C1+MAz zx+Bx+B2y+2y+C C2 2）=0,=0,再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.活学活用三条直线ax+2y+7=0,4x+y=14ax+2y+7=0,4x+y=14和2x2x3y=143y=14相交于一点，求a a的值.所以两条直线的交点坐标为（4,4,-2-2）. .由题意知点（4,4,- -2 2）在直线ax+2y+ax+2y+7=07=

8、0上，将（4,4,2 2）代入，得aXaX4+4+2X2X（2 2）+7=+7=3 30,0,解得a=a=. .1题型两点间距离公式典例(1)(1)已知点A(-A(-3,4),3,4),B(2,B(2,S S) ), ,在x x轴上找一点P,P,使|PA|=|PB|,|PA|=|PB|,并求|PA|PA|的(2)(2)已知点M(x,-M(x,-4)4)与点N(2,3)N(2,3)间的距离为7/2,7/2,求x x的值.解(1)(1)设点P P的坐标为(x,0),(x,0),则有|PA|=|PA|=d(d(x x+ +3j3j+(+(0 04j4j= =W+6x+25W+6x+25, ,|PB|

9、=|PB|=V(V(x x- -2)2)+ +(0-(0-3 3 2=x2=x2 2-4x+7.-4x+7.由|PA|=|PB|,|PA|=|PB|,得x x2 2+ +6x+25=x6x+25=x2 24x+7,4x+7,解得x=x=5.5.故所求点P P的坐标为1c1c9,09,0；| |PAPA|=|=5+5+3 3)+(0-)+(0-4 42=2.2=2.(2)(2)由|MN|=7|MN|=76,6,4x+y=4x+y=14,14,解：解方程组gx-3y=gx-3y=14,14,得|MN|MN|二, ,（x x2 22+2+（4 43232=772,=772,即x x2 2-4x-45

10、=0,-4x-45=0,解得x x1 1=9=9或x x2 2= =5.5.故所求x x的值为9 9或5.5.若已知两点的坐标P Pi i（x xi,i,W W）,P,P2 2（x x2,2,Y Y2 2）, ,求两点间的距离，可直接应用两点间的距离公式|P|Pi iP P2 2|=|=q qx x2 2x xi i2 2+ +y y2 2y yi i2 2.若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题.活学活用已知点A(-2,A(-2,i),B(-4,i),B(-4,3),C(0,3),C(0,5),5),求证：ABCABC是等腰三角形.证明：|AB

11、|=|AB|=4+23+14+23+12 2=22,=22,|AC|=|AC|=(0 0+ +2j2j+(-+(-5+5+1 1j j=2=2 啊啊|BC|=|BC|=/(/(0 0+ +4)4)+(-+(-5 5+ +3 3) )=275,=275, |AC|=|BC|.|AC|=|BC|.又点A,B,CA,B,C不共线， . .ABCABC是等腰三角形.直线恒过定点问题典例求证：不论入为何实数，直线（计2 2）x x（入1 1）y=y=6 6入3 3都恒过一定点.证明法一：（特殊值法）取上0,0,得到直线l li i：2x+y+2x+y+3=0,3=0,取壮1,1,得到直线：x=-3,x=

12、-3,故l li i与l l2 2的交点为P P（- -3,33,3）. .将点P P（3,33,3）代入方程左边，得（计2 2）X X（3 3）（入1 1）X3=X3=6 6卜3,3,点（一3,33,3）在直线（计2 2）x x（入1 1）y=y=6 6入一3 3上.直线（计2 2）x x（卜1 1）y=y=6 6卜3 3恒过定点（3,33,3）. .法二：（分离参数法）由（计2 2）x x（入1 1）y=y=6 6入3,3,整理，得（2x+y+32x+y+3）+Mx+Mxy+6y+6）=0.=0.则直线（计2 2）x x（卜1 1）y=-6by=-6b3 3通过直线2x+y+3=02x+y

13、+3=0与x-y+6=0 x-y+6=0的交点.由方程组产+3 3= =0 0 得:=一3 3 x xy+y+6=06=0y=3.y=3.直线（计2 2）x x（卜1 1）y=y=6 6卜3 3恒过定点（3,33,3）. .题里三,解决过定点问题常用的三种方法：(1)(1)特殊值法，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x,yx,y的两个方程，从中解出的x,yx,y的值即为所求定点的坐标.(2)(2)点斜式法，将含参数的直线方程写成点斜式y-yy-y0=0=k(x-xk(x-xo o),),则直线必过定点(xc(xcy yo o) )(3)(3)分离参数法，将含参数的直线方程整理为过交点的直线系

14、方程A Ai ix+Bx+Bi iy+Ci+XAy+Ci+XAz zx x+ +B B? ?y+Cy+C2)=2)=0 0的形式，则该方程表示的直线必过直线A Ai ix+Bx+Bi iy+Ci=y+Ci=0 0和A A? ?x+Bx+B? ?y+Cy+C2=2=0 0的交点，而此交点就是定点.比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用.活学活用已知直线k k5ax-5y-a+3=0.5ax-5y-a+3=0.(i)(i)求证：不论a a为何值，直线l l总经过第一象限；(2)(2)若使直线l l不经过第二象限，求a a的取值范围.解：(i)(i)证明：直

15、线l l的方程可化为v v5=a5=ax-1x-1) )所以不论a a取何值，直线l l恒过定点A&A&5 5j,j,又点A A在第一象限，所以不论a a取何值，直线l l恒过第一象限.八-3 3a a(2)(2)令x=0,y=x=0,y=,5,53-a3-a一由题息，0,3.a3.5 5所以a a的取值范围为3,3,+ +8).8).区端回工要空对称问题题点一：点关于点对称1 1 . .过点P(0,i)P(0,i)作直线l l使它被直线l li i：2x+y2x+y8=08=0和x-3y+i0=0 x-3y+i0=0截得的线段被点P P平分，求直线l l的方程.解：设l li

16、 i与l l的交点为A(a,8-2a),A(a,8-2a),则由题意知，点A A关于点P P的对称点B(B(a,2aa,2a6)6)在l l2 2上,代入l l2 2的方程得一a-3(2a-6)+i0=0,a-3(2a-6)+i0=0,解得a=4,a=4,即点A(4,0)A(4,0)在直线l l上，所以直线l l的方程为x+4yx+4y4=0.4=0.题点二：点关于线对称2 2.点P P（3,43,4）关于直线x+yx+y2=02=0的对称点Q Q的坐标是（）（）A.(-2,1)A.(-2,1)D.D.(4,(4,- -3)3)解析：选B B设对称点坐标为（a,ba,b）, ,一2x-3y+2

17、x-3y+1=0,1=0,一设直线m m与直线l l的交点为N,N,则由得N(4,3).N(4,3).3x-2y-6=0.3x-2y-6=0.又.mm经过点N N（4,34,3）, ,，由两点式得直线m m的方程为9x9x46y+46y+102=102=0.0.B.(-2,5)B.(-2,5)C C(2,(2,-5)-5)(a(a3 3b+4b+42 2+ +2 22=0,2=0,1,1,a=a=2 2解得，即Q(Q(2,5).2,5).b=b=5,5,题点三：线关于点对称3.3.与直线2x+3y2x+3y6=06=0关于点（1,1,1 1）对称的直线方程是（）（）A.3x-2y+A.3x-2

18、y+2=02=0B.2x+3y+7=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0解析：选D D由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x+3y-2x+3y-6=06=0平行，则可设所求直线方程为2x+3y+C=0.2x+3y+C=0.在直线2x+3y2x+3y6=06=0上任取一点（3,03,0）, ,关于点（1,1,1 1）对称点为（1,1,2 2）, ,则点（1,1,2 2）必在所求直线上，2X2X（-1-1）+3X+3X（-2-2）+C=0,C=8.+C=0,C=8.，所求直线方程为2x+3y+2x+3y+8=8=0.

19、0.题点四：线关于线对称4.4.求直线m m：3x3x2y2y6=06=0关于直线l:2x-3y+l:2x-3y+1=01=0的对称直线m m的方程.解：在直线m m上取一点，如M M（2,02,0）, ,则M M（2,02,0）关于直线l l的对称点M M必在直线m m上.设对称点为M M（a,ba,b）, ,则2X2X呼，3X3Xb+ob+o、2户1=0,1=0,题点五：距离和(差)最值问题5.5.已知直线l:xl:x2y+8=02y+8=0和两点A(2,0)A(2,0), ,B(-2,B(-2,4).4).因为P P为直线l l上的一点,则|PA|+|PB|=|PA|+|PB|AB|,|

20、PA|+|PB|=|PA|+|PB|AB|,(1)(1)在直线l l上求一点P,P,使|PA|PA|十|PB|PB|最小;(2)(2)在直线l l上求一点解：(1)(1)设A A关于直线P,P,使|PB|PB|PA|PA|最大.l l的对称点为A(m,n),A(m,n),n nn n一0 0m m2 2则m+2m+22 2=-2,=-2,2 2n n4+8=0,4+8=0,2 2-m=-2,-m=-2,一解得，故A(-2,8).A(-2,8).n=8,n=8,当且仅当B,P,B,P,A A三点共线时，|PA|PA|十|PB|PB|取得最小值，为|AB|,|AB|,点P P即是直线ABAB与直线

21、l l的交点,x=-2,x=-2,解|x-2y+8=0,|x-2y+8=0,x=-x=-2,2,得ly=ly=3 3, ,故所求的点P P的坐标为(一2,3).2,3).(2)A,B(2)A,B两点在直线l l的同侧，P P是直线l l上的一点,则|PB|PB|PA|W|AB|,|PA|W|AB|,当且仅当A,B,PA,B,P三点共线时,|PB|PB|PA|PA|取得最大值，为|AB|,|AB|,点P P即是直线ABAB与直线l l的交点,又直线ABAB的方程为y=x-2,y=x-2,y=x-2,y=x-2,/日得x-2y+x-2y+8=0,8=0,x=12,x=12,ly=10,ly=10,

22、故所求的点P P的坐标为(12,10).(12,10).中心对称:有关对称问题的两种主要类型点P(x,y)P(x,y)关于O(a,b)O(a,b)的对称点P(xP(xx=2ax=2ax,y)x,y)满足y=2b-y.y=2b-y.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.轴对称：点A(aA(a, ,b)b)关于直线AxAx+ +ByBy+ +C C= =0(Bw0)0(Bw0)的对称点A(mA(m, ,n),n),则有n nb b-xm-xma a直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.层级一学业水平达标1 1. .直线x+2yx+2y2=02=0与直线2x+y2x+y3

23、=03=0的交点坐标是（）（）A.A.(4,1)(4,1)C C4141C.C.333 33=03=0的交点坐标是（，3 3；2.2.过点A A（4,a4,a）和点B B（5,b5,b）的直线与y=x+my=x+m平行，则AB|AB|的值为（）（）A.A.6 6B.B.也C.C.2 2D.D.不能确定b ba a解析：选B B由k kAB=AB=1,1,得=1,=1, .b.ba=1.a=1.,|AB|=,|AB|=. .（5 54242+ +（b ba aj j=小+1 1= = 2.2.3.3.方程（a a1 1）x xy+2a+1=0y+2a+1=0（aCRaCR）所表示的直线（）（）A

24、.A.恒过定点（-2,3-2,3）B.B.恒过定点（2,32,3）C.C.恒过点（一2,32,3）和点（2,32,3）D.D.都是平行直线解析：选A(aA(a1)x1)xy+2a+1=0y+2a+1=0可化为x xy+1+a(x+2)=0,y+1+a(x+2)=0,-x-y+1=0,x=-2,-x-y+1=0,x=-2,由得 V|x+2=0,ly=3.|x+2=0,ly=3.4 4 . .已知点A A（x,5x,5）关于点（1,y1,y）的对称点为（2,2,3 3）, ,则点P P（x,yx,y）到原点的距离是课后层级训练，步步提升能力B.B.(1,4)(1,4)解析：选C C由方程组x+2y

25、-2=0,x+2y-2=0,2x+y-3=0,2x+y-3=0,x=x=4 4, ,得3 3y=y=3.3.即直线x+2yx+2y2=02=0与直线2x+y2x+y）A.A.2 2D.17D.17x-25-3x-25-3解析：选D D根据中点坐标公式得到丁=1=1且一2 2一=y,=y,解得x=4,y=x=4,y=1,1,所以点P P的坐标为(4,1),(4,1),则点P(x,y)P(x,y)到原点的距离d=d=(4 4- -0 0+(+(1 1- -0J=/7.0J=/7.5 5 . .至IJA(1,3),B(IJA(1,3),B(5,1)5,1)的距离相等的动点P P满足的方程是()()A

26、.3x-y-A.3x-y-8=08=0B.3x+y+4=B.3x+y+4=0 0C.3x-y+6=0D.3x+y+2=0C.3x-y+6=0D.3x+y+2=0解析：选B B设P(x,y),P(x,y),则1j+y1j+y- -3 3j=j=.(.(x x+ +5j+(y5j+(y- -1 1j,j,即3x+y+4=0.3x+y+4=0.6 6.点P(2,5)P(2,5)关于直线x+y=1x+y=1的对称点的坐标是.b b5 5、儿加上一一曰“a a2(T2(T广一1,1,初/日口口也*解析：设对称点坐标是(a,b),(a,b),则解得a=a=4,4,b=b=1,1,即所求a a2 2b b5

27、 5+=+=1.1.2222对称点坐标是( (4,4,1).1).答案：( (4,4,1)1)7 7 . .经过两直线2x2x3y-3=03y-3=0和x+y+2=0 x+y+2=0的交点且与直线3x+y-3x+y-1=01=0垂直的直线l l的方程为.f fx x= =-3,-3,2x-3y-2x-3y-3=0,3=0,x x55解析：由方程组得x+y+2=0,x+y+2=0,7 7片-5.-5.1 1又所求直线与直线3x+y3x+y1=01=0垂直，故k=,k=,3 3.直线方程为y+y+5=5=十5 5) )即5x-15y-18=0.5x-15y-18=0.答案：5x-15y-5x-15

28、y-18=018=08.8.在直线x xy+4=0y+4=0上求一点P,P,使它到点M(-2,M(-2,4),N(4,6)4),N(4,6)的距离相等，则点P P的坐标为.解析：设P P点的坐标是(a,a+(a,a+4),4),由题意可知|PM|=|PN|,|PM|=|PN|,即业a+22+(a+4+4ja+22+(a+4+4j= =B.B.4 4C.5C.5q(aq(a4 42+2+(a+4(a+462,62,1 1.当m=0m=0时，1 1I I的方程为8y+n=0,L8y+n=0,L的方程为2x2x1=1=0.-0.-8+8+n=0,n=0,解得n=8.m=n=8.m=0,0,n=8.n

29、=8.而mwmw0 0时，直线1111与1 12 2不垂直.综上可知，m=0,n=8.m=0,n=8.层级二应试能力达标1 1 . .直线1:1:x+2yx+2y1=01=0关于点(1,(1,1)1)对称的直线11的方程为()()A.2x-y-5=0B.x+2y-3=A.2x-y-5=0B.x+2y-3=0 0C.x+2y+3=0D.2x-y-1=0C.x+2y+3=0D.2x-y-1=0解析：选C C由题意得1/1,1/1,故设1:1:x+2y+c=0,x+2y+c=0,在1 1上取点A(1,0),A(1,0),则点A(1,0)A(1,0)关于点(1,(1,1)1)的对称点是A A(1,(1

30、,2),2),所以1+2X(1+2X(2)+c=0,2)+c=0,即c=3,c=3,故直线1 1的方程为x+2y+x+2y+3=0,3=0,故选C.C.解得a=a=, ,故P P点的坐标是(一2,22,21 1答案:9.9.光线从A(-4,A(-4,2)2)点射出，至ijij直线y=xy=x上的B B点后被直线y=xy=x反射到y y轴上C C点,又被y y轴反射，这时反射光线恰好过点D(-1,6),D(-1,6),求BCBC所在的直线方程.解：作出草图，如图所示，设A A关于直线y=xy=x的对称点为A A, ,关于y y轴的对称点为DD,则易得A(A(2,2,4),D(1,6).4),D(

31、1,6).由入射等于反射角可得A AD D所在直线经过点B B与C.C.故BCBC所在的直线方程为y y6 6x x1 16+46+4- -1+21+2即10 x10 x3y+3y+8=8=0.0.10,10,已知两条直线1 11 1：mx+8y+n=mx+8y+n=0 0和1 12 2：2x+my2x+my1=0,1=0,试分别确定m,nm,n的值，满足下列条件：(1)1(1)11 1与1 12 2相交于一点P(m,1);P(m,1);(2)1(2)11/1/1 12 2且1 1I I过点(3,(3,1)1)；(3)1(3)11 12 2且1 1I I在y y轴上的截距为一1.1.解：(1)

32、(1)把P(m,1)P(m,1)的坐标分别代入1 1I I, ,1 12 2的方程得m m2 2+ +8+8+n=0,2m+mn=0,2m+m1=0,1=0,解得m=m=17317333n n_ _9.9.(2)(2)显然mw0mw01 1I I/l2/l2且1 1I I过点(3,(3,一1),1),.3m-8+n=0,.3m-8+n=0,m=m=4,4,解得.n=n=4,4,m=m=4,4,或，n=20.n=20.由1 11 1，1 12 2且1 11 1在y y轴上的截距为一D D角解析：选D D|AB|=|AB|=x-x-平）+那当且仅当x x二平、1 1时等号成立，|AB|AB|min

33、=min=1.1.3.3.无论k k为何值，直线（k+2k+2）x+x+（1 1k k）y y4k-5=04k-5=0都过一个定点，则该定点为A.A.(1,3)(1,3)B.(-1,3)B.(-1,3)C.C.(3,1)(3,1)D.D.(3,(3,- -1)1)解析：选D D直线方程可化为（2x+y-52x+y-5）+k+k（x xy y4 4）=0,=0,此直线过直线2x+y2x+y5=05=0和直线x-y-4=x-y-4=0 0的交点.由2x+y-2x+y-5=0,5=0,解得x xy y4=0,4=0,x x= =3 3，.,因此所求定点为（3,3,-1-1）. .故选y=y=1.1.

34、D.D.4.4.已知点A A（3,3,1 1）,B,B（5,5,2 2）, ,点P P在直线x+y=0 x+y=0上，若使|PA|PA|十|PB|PB|取最小值,则P P点坐标是（）（）A.A.(1,(1,- -1)1)B.(-1,1)B.(-1,1)C.C.D.(-2,2)D.(-2,2)解析：选C C点A A（3,3,1 1）关于直线x+y=0 x+y=0的对称点为A A(1,(1,3),3),直线ABAB的方程为y=1xy=1x手，与x+y=x+y=0 0联立方程组并解得所以点P?P?,-,-1313. .441355441355y=y=g g，5.5.若两直线（m+2m+2）x xy

35、ym=0,x+y=0m=0,x+y=0与x x轴围成三角形，则实数m m的取值范围是解析：当直线（m+2m+2）x xy ym=m=0,0,x+y=0 x+y=0及x x轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形.当m=m=2 2时，（m+2m+2）x xy ym=m=0 0与x x轴平行；当m=m=3 3时，（m+2m+2）x xy ym=0m=0与x+y=0 x+y=0平行；当m=0m=0时，三条直线都过原点，所以m m的取值范围为m|mwm|mw3,3,且mwmw2,2,且mw0.mw0.答案：m|mwm|mw3,3,且mwmw2,2,且mw0mw06.6.若直线l:y=kxl:y=kxg

36、g与直线2x+3y2x+3y6=06=0的交点位于第一象限，则k k的取值范围是解析：法一：由题意知直线l l过定点P P（0,0,木）木）, ,2.2.已知平面上两点A A（x,x,5 5一x x）, ,B B 号号, ,0 0! !: :, ,则|AB|AB|的最小值为（）（）1 1A.A.3 3B-B-3 3-1-1C.C.2 2D D，2 2直线2x+3y2x+3y6=06=0与x,yx,y轴的交点分别为A(3,0),B(0,2),A(3,0),B(0,2),如图所示，要使两直线的交点在第一象限，则直线l l在直线APAP与BPBP之间，,3,33+63+6由3 3k k+2+20 0

37、可得3K3K+20,+20,7 7 . .已知ABCABC的一个顶点A(2,A(2,4),4),且/B,B,/ /C C的角平分线所在直线的方程依次是x x+y+y2=0,2=0,x-3y-6=0,x-3y-6=0,求ABCABC的三边所在直线的方程.解：如图，BE,CFBE,CF分别为/B,B,/ /C C的角平分线，由角平分线的性质，知点A A关于直线BE,CFBE,CF的对称点AA, ,A A均在直线BCBC上.直线BEBE的方程为x+yx+y2=0,2=0,A A(6,0)(6,0). .直线CFCF的方程为x-3y-x-3y-6=0,6=0,A2,A2,4:4:，直线AAAA的方程是

38、y=y=二(x-6),(x-6),6 65 5即x+7y-6=0,x+7y-6=0,这也是BCBC所在直线的方程.x+7yx+7y6=0,6=0,由：-一x+yx+y2=0,2=0,x+7yx+7y6=0,6=0,由i ilx-3y-6=lx-3y-6=0,0,二ABAB所在直线的方程是7x+y7x+y10=0,10=0,ACAC所在直线方程是x xy y6=0.6=0.I I, ,而1ft1ft题8 8 . .已知两直线1 1I I：axax2y=2a2y=2a4,4,k k：2x+a2x+a2 2y=2a2+4(0a2)y=2a2+4(0a00且y=3K+y=3K+2 26K6K23233

39、K3K+2+20.0.得C(6,0),C(6,0),3 3，33+633+6x=x=3K3K+2+2 6K6K2:32:3y=y=3K3K+ +2 2-6K-2/30,-6K-2/30,解得答案:+OO成四边形.当a a为何值时，围成的四边形面积取最小值？并求最小值.解：两直线lili：a(xa(x2)=2(y2)=2(y2),k2),k：2(x-2(x-2)=2)=-a-a2 2(y(y2),2),都过 7，点(2,2),(2,2),如图：卜设两直线l li,i,1 12 2的交点为C,C,且它们的斜率分别为k ki i和k k2,2,皿a a则卜产肥(0,1),(0,1),1 1% %2_

40、12_1k k2=2=-e e一，2$2$直线射与丫轴的交点A A的坐标为(0,2-a),(0,2-a),直线1 12 2与x x轴的交点B B的坐标为(2+a(2+a2,2,0).0).11112222. .1 12 21515S SOACBOACB= =S SAOACAOAC+ +SSCBCB=万(2 2a)2+a)2+(2+a)2=a(2+a)2=aa+4=a+4=a-a-( (+ +. .当a=1a=1时，四边形OACBOACB的面积最小，其值为145.145.3.3.3.3&3.3.43.3&3.3.4点到直线的距离、两平行线间的距离一预习课本P106P106109,

41、109,思考并完成以下问题1 1.点到直线的距离公式是什么？2 2 . .两条平行直线间的距离公式是什么?新知初探点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点P P0 0(X(X0,0,y y0 0) )到直线1:1:Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离|Ax|Ax0+0+ByBy0+0+C|C|d=d=亚2 2+B+B2 2两条平行直线1 11 1：Ax+By+CAx+By+C=0 0与1 12 2: :AxAx+By+C+By+C2=2=0(C0(CWWC C2 2) )之间的距离八电C C2 2

42、| |d d=V=VAFAF小试身手说的自主学习，基稳才能楼高1 1 . .判断下列命题是否正确.(正确的打“，”，错误的打XX”) )点P(XP(X0,0,y y0 0) )到与x x轴平行的直线y=b(bwy=b(bw0)0)的距离d=yd=y0-0-b(b() )(2)(2)点P(XP(X0,0,y(y() ) )到与y y轴平行的直线x=a(awx=a(aw0)0)的距离d=|xd=|x。一a|()a|()两直线x+y=mx+y=m与x+y=2nx+y=2n的距离为答案：(1)X(1)X(2)(2)，(3)(3)，2 2 . .原点到直线x+2yx+2y5=05=0的距离为（）（）A.

43、1B.V3A.1B.V3C.2D.V5C.2D.V5解析：选Dd=L/g=J5.5Dd=L/g=J5.53.3.已知直线1 1I I：x+y+1=0,x+y+1=0,%:%:x+yx+y1=0,1=0,则电之间的距离为（）（）A.A.1 1B.72B.72C.3D.2C.3D.2一点到直线的距离公式典例求点P(3,P(3,2)2)到下列直线的距离：(1)y=3x+(1)y=3x+：；：；(2)y=6(2)y=6；(3)x=4.(3)x=4.解(1)(1)直线y=3x+4y=3x+4化为一般式为3x-4y+3x-4y+1=0,1=0,由点到直线的距离公式可得d=d=|3X|3X3 34X(4X(

44、2 2计1|1|. .3 32 2+L+L4j4j18185 5.(2)(2)因为直线y=6y=6与y y轴垂直，所以点P P到它的距离d=|-2-6|=8.d=|-2-6|=8.(3)(3)因为直线x=4x=4与x x轴垂直，所以点P P到它的距离d=|3-4|=1.d=|3-4|=1.应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.(2)(2)点P P在直线l l上时，点到直线的距离为0,0,公式仍然适用.（3 3）直线方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中，A=A=0 0或B=B=0 0公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐|m|m2

45、n|2n|（解析：选B B由题意知klkl2 2平行，则1 1I I/l2/l2之间两直线的距离为结合，侬课堂讲练没计，举-能通携题标轴垂直），故也可用数形结合求解.活学活用1.1.若点P P（3,a3,a）到直线x+*yx+*y4=04=0的距离为1,1,则a a的值为（）（）3 3A.#B.-A.#B.-3 3C C. .4 43 3或当当D D. .一当或一当或J J3 3解析：选D D由点到直线的距离公式得| |3 3+ +4 41=1,1=1,解得a=J3a=J3或a=a=g g3 3. .23232.2.过点A A（1,21,2）且与原点距离最大的直线方程为（）（）A.x+2yA.

46、x+2y5=05=0B.2x+y-4=B.2x+y-4=0 0C.x+3yC.x+3y7=0D.3x+y-5=07=0D.3x+y-5=0解析：选A A当所求直线l l与线段OAOA垂直时，原点到直线的距离最大k kO OA=A=2,.k2,.k| |1 12 2. .，所求直线方程为y y2=-1(x-1).2=-1(x-1).即x+2y-5=0.x+2y-5=0.制型二典例求与两条平行直线1 1I I：2x-3y+2x-3y+4=04=0与积2x-3y-2x-3y-2=02=0距离相等的直线l l的方程.解设所求直线l l的方程为2x-3y+C=0.2x-3y+C=0.由直线l l与两条平

47、行线的距离相等，得片鸟片鸟=半言，即|C|C4|=|C+2|,4|=|C+2|,42422 2+3+32 242422 2+3+32 2解得C=1.C=1.故直线l l的方程为2x-3y+1=0.2x-3y+1=0.由两平行直线间的距离求直线方程通常有两种思路：（1 1）设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；（2 2）直接运用两平行直线间的距离公式求解.活学活用1 1 . .若两平行直线3x3x2y2y1=0,6x+ay+c=01=0,6x+ay+c=0之间的距离为斗，则巨的值为()13()13a aA.-A.-1 1B.B.1 1C.0D.C.0D.1 1或

48、1 1解析：选D D由题意，得3=923=92手，所以a=-a=-4,4,cwcw2 2.所以直线6x+ay+c=6x+ay+c=0 0的c=c=2 2或一6,6,所以c-c-2 2= =1 1或1,1,故选D.aD.a2,2,若直线m m被平行线1111：x-y+x-y+1=01=0与x-y+3=x-y+3=0 0所截得的线段的长为2v2v2,2,则m m的倾斜角可以是：1515; ;3030; ;4545; ;6060; ;7575. .其中正确答案的序号是解析：两平行线间的距离d=4=d=4=工故m m与1 11 1或1 12 2的夹角为3030。. .又1 11,1,1 12 2的倾斜

49、1+11+1角为4545，直线m m的倾斜角为3030+45=75+45=75或4545-30-30=15=15答案：典例已知正方形的中心为直线2x2xy+2=0,x+y+1=0y+2=0,x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线1 1的方程为x+3y-5=0,x+3y-5=0,求正方形其他三边所在直线的方程.解设与直线1:1:x+3yx+3y5=05=0平行的边所在的直线方程为1111：x+3y+c=0(cwx+3y+c=0(cw5).5).由2x-y+2=0,2x-y+2=0,得正万形的中心坐标为P(-P(-1,0),1,0),M+M+y+1=0y+1=0由点P P到两直线1,1,1 1

50、I I的距离相等，得与2 2三驾=午3 3甘，得c=7c=7或c=-5(c=-5(舍去).1 12 2+3+32 21 12 2+3+32 211:11:x+3y+7=0.x+3y+7=0.又正方形另两边所在直线与1 1垂直，设另两边所在直线的方程分别为3x3xy+a=0,3xy+a=0,3xy+b=0.y+b=0.正方形中心到四条边的距离相等，J J2 23+3+a ag g= =| |, ,2 2* *,得a=a=9 9或a=-a=-3,3,3 32 2+ +-1-12 2T+3T+32 2另两条边所在的直线方程分别为3x3xy+y+9=9=0,3x-y-3=0.0,3x-y-3=0.方程

51、可化为3x3x2y+2=02y+2=0.由两平行线间的距离公式，得C C+1+12 2,13,13甯，即c+1c+1=2,=2,解得距离的综合应用另三边所在的直线方程分别为3x3xy+y+9=0,9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.x+3y+7=0,3x-y-3=0.利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题.活学活用1.1.已知P,QP,Q分别是直线3x+4y3x+4y5=05=0与6x+8y+5=6x+8y

52、+5=0 0上的动点，则|PQ|PQ|的最小值为A.A.3 3解析：选B B由于所给的两条直线平行，所以|PQ|PQ|的最小值就是这两条平行直线间的距2,2,若动点A,BA,B分别在直线lili：x+yx+y7=07=0和1212：x+y-5=x+y-5=0 0上，则ABAB的中点M M到原点的距离的最小值为.解析： 依题意， 知ll以故点M M所在的直线平行于1 1I I和%可设点M M所在直线的方程为l:x+y+m=0(mwl:x+y+m=0(mw7 7且mwmw5),5),根据平行线间的距离公式，得7|=|m+5|?m=7|=|m+5|?m=6,6,即l:x+yl:x+y6=0,6=0,

53、根据点到直线的距离公式，得点最小值为匕言=3=3小.2 2答案：3232层级一学业水平达标1 1.点P(1,P(1,1)1)到直线l:3y=l:3y=2 2的距离是()()A.A.3 3B.5B.53 32 2C C. .1 1D.yD.y解析：选B B点P(1,P(1,1)1)到直线l l的距离d d= =J3MlF=5,J3MlF=5,选B.,0+3B.,0+33 32.2.已知点M(1,4)M(1,4)到直线l l：mx+ymx+y1=01=0的距离为3,3,则实数m=m=()()离.由两条平行直线间的距离公式，得|T0|T05|5|6 62 2+8+82 22 2即|PQ|PQ|的最小

54、值为3 31m1m+7|+7|m|m+ +5 5L L丁- -? ?|m|m+ +M M到原点的距离的课后层级训练，步步提升能力A.A.0 0B B3 34 4解析：选D D点M M到直线l l的距离d=d=|m|m：: :1111=|,=|,；3 31 1所以叱叱3 3| |解得m=m=mm m2m2n n7 7m m2Tl2Tl0 0或m=3,m=3,选D.4D.43.3.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则ABCABC的面积等于()()A.3B.4A.3B.4C.5D.6C.5D.6解析：选C C设ABAB边上的高为h,h,则S

55、 SBCBC= =；AB|AB|h.AB|=h.AB|=巾3 3- -1212+(+(1 1- -3 3/ /=2/2,=2/2,y y3x3x1 1ABAB边上的高h h就是点C C到直线ABAB的距离.ABAB边所在的直线方程为上二，即x+x+丫一丫一1 133331 15 54.4.已知点P P（1+t,1+3t1+t,1+3t）到直线l:y=2xl:y=2x1 1的距离为七，则点P P的坐标为（）（）A.A.(0,(0,- -2)2)B.B.(2,4)(2,4)C.C.(0,(0,- -2)2)或(2,4)(2,4)D.D.(1,1)(1,1)解析：选C C直线l:y=2xl:y=2x

56、1 1可化为2x2xy y1=0,1=0,依题意得以1 1里口驾匚口4 42 22 2+ +（- -1j1j坐，整理得|t|=1,|t|=1,所以t=t=1 1或一1 1.当t=t=1 1时，点P P的坐标为（2,42,4）; ;当t=-t=-1 1时，点P P的坐5 5标为（0,0,2 2）, ,故选C.C.5,5,若直线1 1I I：x+ay+6=0 x+ay+6=0与：（a a2 2）x+3y+2a=0 x+3y+2a=0平行，则电h h间的距离是（）（）6 6 . .若点（2,2,k k）到直线5x5x12y+6=12y+6=0 0的距离是4,4,则k k的值是1717k=k=3,3,

57、或k=y.k=y.答案：3 3或17174=04=0.点C C到直线x+yx+y4=04=0的距离为因此,X X5=5.5=5.2 2C.C. 4 4也B B8.8.I I2 2B B. .3 3D.D. 2V22V2解析：选a(aa(a2 2V V3=0,3=0,B B11/11/l l2 2, ,S S|2a-6(a-2|2a-6(a-2尸0,0,解得a=-a=-1.1.，1 11 1的方程为x xy+6=0,ly+6=0,l2 22 2的万程为一3x+3y3x+3y2=0,2=0,即x-y+-=0,x-y+-=0, . .1 1I I, ,3 31 12 2间的距离是 1 12 2+(-

58、+(-1f1f8.28.23 3. .解析:.|5X.|5X2 2二12k+12k+6|6|, ,5 52 2+12+122 2=4,=4, .|16-12k|=52,.|16-12k|=52,7 7 . .直线4x-3y+5=4x-3y+5=0 0与直线8x8x6y+6y+5=05=0的距离为._ _5-55-5解析：直线8x8x6y+5=6y+5=0 0化简为4x4x3y+=0,3y+=0,则由两平行线间的距离公式得,2,22 22 24 42+2+3 32 21 1=2=2，i i答案：2 28,8,已知直线l l与直线l li i：2x-y+3=2x-y+3=0 0和I I2 2：2x

59、-y-2x-y-1=01=0间的距离相等，则直线l l的方程是.解析：由题意可设直线I I的方程为2x-y+c=0,2x-y+c=0,于是有JcHLJcHL,即|c|cV V2222+(-+(-i i)2222+(-+(-i iy y-3|=|c+1|./.c=1,-3|=|c+1|./.c=1,.直线I I的方程为2x2xy+1=0.y+1=0.答案：2x2xy+y+1=01=09.9.求过点P(0,2)P(0,2)且与点A(1,1),B(A(1,1),B(3,1)3,1)等距离的直线I I的方程.解：法一：二点A(1,1)A(1,1)与B(B(3,1)3,1)到y y轴的距离不相等，直线I

60、 I的斜率存在，设为k.k.又直线I I在y y轴上的截距为2,2,则直线I I的方程为y=kx+y=kx+2,2,即kx-y+2=0.kx-y+2=0.由点A(1,1)A(1,1)与B(B(3,1)3,1)到直线I I的距离相等， 直线I I的方程是丫=2 2或*丫+2=0.2=0.法二：当直线I I过线段ABAB的中点时，直线I I与点A,BA,B的距离相等.ABAB的中点是( (1,1),1,1),又直线I I过点P(0,2),P(0,2), 直线I I的方程是x-y+x-y+2=0;2=0;当直线I/I/ABAB时，直线I I与点A,BA,B的距离相等. 直线ABAB的斜率为0,0,，直线I I的斜率为0,0,，直线I I的方程