第五章1(定积分的概念及性质)

1、第五章定积分的概念与性质微积分微积分积分积分微分微分定积分定积分不定积分不定积分互逆的函数运算互逆的函数运算3 起源于不规则对象的度量起源于不规则对象的度量 以平面几何形状的面积度量为例以平面几何形状的面积度量为例先考虑规则形状面积的度量先考虑规则形状面积的度量)(21高底S高下底上底)(21S宽长S面积面积 S=?问题：如何问题：如何计算这些不计算这些不规则区域的规则区域的面积？面积？y为了简单起见，我们先考虑边界部分不规则的情况为了简单起见，我们先考虑边界部分不规则的情况我们采取我们采取“以直代曲以直代曲”的思想的思想xab( )yfx01x2xxyab( )yf x01x2x3x4x0

2、xaby( )yf x1x2x1nx,ba在区间在区间 中插入中插入n-1n-1个节点个节点,1210bxxxxxann 长度为长度为把把, ba分成分成n n个小区间个小区间,1iixxnixxxiii, 2 , 1,1 任取任取1, ,iiixx( )iiiAfx以以 为底，为底， 为高的小矩形面积为为高的小矩形面积为( )if1, iixx1()niiifx因此蓝色区域的面积为：因此蓝色区域的面积为：ix)(ifi当分割无限加细，即小区间的长度当分割无限加细，即小区间的长度),max(21nxxx趋向于零趋向于零),0( 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为 若右式极限存在若右式

3、极限存在iniixf10)(lim曲边梯形的面积曲边梯形的面积iniixfA10)(liminiixfA1)(xaby1x2x1nx( )yf x0)(xf设函数设函数 在在 上有界，上有界，,ba 把区间把区间 分成任意分成任意n n个小区间，每个区间的长度是个小区间，每个区间的长度是nixxxiii,2, 1,1,ba在每个小区间上任取一点在每个小区间上任取一点 ，作和式，作和式,1iiixxiniixf1)(记记 ，若当，若当 时，和式时，和式 的极限存在，的极限存在，（记为（记为 ），则称），则称 在在 上是可积的，极限值上是可积的，极限值 称为称为 在在 上的定积分，记作上的定积分，

4、记作 。),max(21nxxx0I)(xf,baI)(xf,babadxxf)(,1210bxxxxxann用分点用分点 baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限积分区间积分区间,ba积分和积分和注意：注意：（1） 积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， 而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关. badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（ 3 3）当当 函函 数数)( xf在在 区区 间间,ba上上

5、的的 定定 积积 分分 存存 在在时时 ，称称)(xf在区间在区间,ba上上可积可积. 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. . 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在区间区间,ba上可积上可积. .问题：在闭区间问题：在闭区间a,b上上, ,什么样的函数是可积的呢？什么样的函数是可积的呢？Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值A.

6、102dxx 解：解：将将 1 , 0n等等分分，分分点点为为nixi ，(ni, 2 , 1 )小小区区间间,1iixx 的的长长度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn利用定义计算定积分利用定义计算定积分右侧取点右侧取点,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 利用定义计算定积分利用定义计算定积分 10dxex解：解：xexf )(在在 0,1上连续，故上连续，故f(x)在

7、在0,1上可积上可积为方便计，将为方便计，将 0,1n 等分，左侧取点等分，左侧取点nxniii1,1 niief1)( 1)(12101nnnniniieeeenxf 等比数列等比数列nnneen111)(11 11)1(1 nene nn0,1 11lim1lim00 xxxxeex11lim11lim01 xxnnexen11)1(lim1 nnene niiixf10)(lim 1 e左侧取点左侧取点121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iixninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nnin

8、in11lim1iixxxd110观察表达式观察表达式. .对定积分的补充规定对定积分的补充规定: :（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.在下面的性质中，我们都假设各函数的定积分都在下面的性质中，我们都假设各函数的定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小存在，且不考虑积分上下限的大小说明：交换定积分的上下限时，定积分的绝对说明：交换定积分的上下限时，定积分的绝对值不变，符号相反值不变，符号相反. . badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.证：证： badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim

9、10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg此性质可以推广到有限多个函数作和的情况此性质可以推广到有限多个函数作和的情况性质性质1 1： banibainiidxxfdxxf11)()(性质性质2 2： babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数). 证：证： badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质1+1+性质性质2 2得得： baninibaiiiidxxfkdxxfk11)()(即线性组合的定积分等于定积分的线性组合

10、即线性组合的定积分等于定积分的线性组合说明定积分也具有说明定积分也具有线性运算性质线性运算性质.假设假设bca badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充：补充：不论不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例如例如, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)(则则 cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性. 性质性质3 3dxba 1dxba ab .性质性质5 5（非负性）（非负性）如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf， 则则0

11、)( dxxfba. . )(ba 证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf 性质性质4 4性质5的推论：（比较定理）则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba （1）如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（2）dxxfba )(dxxfba )(. )(ba .)1 (1010的的大大小小与与比比较较积积分分dxxdxex,1)(xexfx解：令1,0 x),1 , 0(, 2/12xexexx, 0)(xf.)1 (,0)(101

12、010dxxdxedxxfx即即 设 f(x) , g(x) 在 a , b 上连续，证明若在 a , b 上 badxxfxf0)(0)(且且则在 a , b 上0)( xf若在 a , b 上0)(0)( xfxf且且 badxxf0)(则则若在 a , b 上)()(xgxf babadxxgdxxf)()(且且则在 a , b 上)()(xgxf 性质5的推论：P233.7（比较定理）设设M及及m分分 别别 是是 函函 数数)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，则则 )()()(abMdxxfabmba . .性质6（估值定理）.12/14的的大大小小估估算算

13、积积分分dxx.21321,2111211161,6.1,16/1,1 ,2/1 )(121412144dxxdxxMmxxf即即）（）（得得由由性性质质最最大大值值有有最最小小值值区区间间上上是是单单调调增增加加的的在在被被积积函函数数解：如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 积分中值公式性质7（定积分中值定理）在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在区区间间,

14、ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，即积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使得以区间使得以区间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为为曲曲边边的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的一个矩形的面积。的一个矩形的面积。29 定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割求和求和以直代曲以直代曲取极限取极限定积分和不定积分定积分和不定积分定义的角度完全不同，那么它们定义的角度完全不同，那么它们会有什么样会有什么样的联系的联系呢？呢？ 在上一节我们已经看到，直接用定义计算定积分是十分繁难的，而利用定积分的几何意义来计算的定积分的类型则相对较

15、少。 因此我们期望寻求一种计算定积分的简便而又一般的方法.我们发现定积分与不定积分之间有着十分密切的联系，从而可以利用不定积分来计算定积分.xadttf)( 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，.)()(xadttfx记为积分上限函数积分上限函数定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdx

16、xa )(bxa 积分上限函数的性质abxyoxx 证：dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数. .定理的重要意义：肯定了连续函数的原函数是存在的. 定理2（原函数存在定理）更一般情况 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导， 则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为 )()()()(xbxadttfdxdxF )()()()(xaxafxbxbf 注明：若上限不是 x 而是 x 的函数 a(x)，则求导时必须按复