二项式定理典型例题62081

1、高考数学专题复习二项式定理练习题n11,在二项式 JX - 的展开式中,前三项的系数成等差数列, 求展开式中所有有理项.24 x分析：此题是典型的特定项问题,涉及到前三项的系数及有理项,可以通过抓通项公 式解决.解：二项式的展开式的通项公式为：Tr 1rdr 24x2n 3r前三项的r 0,1,2.11c 11得系数为：t1 1,t2 C；- -n,t3 c2 -n(n 1), 224 8,一1 ,、由：2t2 11t3 n 1 n(n 1), 8n 8通项公式为16 3rTr 1C8xr 0,1,2 8,1为有理项,故16 3r是4的倍数,2rr 0,4,8.依次得到有理项为 T1 xt5

2、C8 x x x,T9 C； -8 x 2 x2 .1 8 2488 28256说明：此题通过抓特定项满足的条件,利用通项公式求出了 r的取值,得到了有理项.类似地,J2 V3100的展开式中有多少项是有理项可以通过抓通项中r的取值,得到共有系数和为3n.2 . 1求1 x31 x10展开式中x5的系数；2求x 1 26展开式中的常数项. x分析：此题的两小题都不是二项式展开,但可以转化为二项式展开的问题,1可以视为两个二项展开式相乘；2可以经过代数式变形转化为二项式.解：1 1 x31 x10展开式中的x5可以看成以下几种方式得到,然后合并同类项：用1 x3展开式中的常数项乘以1 x10展开

3、式中的 x5项,可以得到 c；x5；用.310444451 x展开式中的一次项乘以1 x展开式中的x项可得到3xC10x 3C10x ；3 .210用(1 x)中的x乘以(1 x)展开式中的3 一 . 一 2x可得到3xC30X3 3C；0x5；用(1 x)3中的x3项乘以(1x)10展开式中的x2项可得到3x3 C20x2C20x5,合并同类项得x5项为:(C50C40 3C30 C120)x563x5 .2 x 1 2 、x 1 xx12151(x 2) Mx =.x. x12展开式的通项公式Tr1C；2( 2)12C%x6 r ,可得展开式的常数项为C；2 924 .说明：问题(2)中将

4、非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.2 6. 一. 5 .3 .求(1 x x )展开式中x5的系数.分析：(1 x x2)6不是二项式,我们可以通过 1 x x2(1 x) x2或1 (x x2)把它看成二项式展开.解：方法一：(1 xx2)6(1 x)x2 66524 4(1 x )6(1x) x15(1x) x其中含 x5 的项为 C6x5 6c5x5 15C14x5 6x5. 5含x项的系数为6.方法二：(1 x x2)6 1 (x x2)622 . 22.32 . 42.5.2.61 6(x x ) 15(x x )20(x

5、x )15(x x )6(x x ) (x x )其中含 x5 的项为 20( 3)x5 15( 4)x5 6x5 6x5.x5项的系数为6.方法3:此题还可通过把(1 x x2)6看成6个1 x x2相乘,每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项,x5项可由以下几种可能得到.5个因式中取x, 一个取1得至iJC6x5.3个因式中取x, 一个取2,-一X ,两个取1个因式中取X,两个取X2,三个取一 ._ 1_ 22 21得到C6 c5X ( X ).合并同类项为(C6C3C3c6c5)x5556x , X项的系数为6.4.求证：1c；2C2nC： n0n 12 ;C0罗n1c23Cn,Cnn 1

6、Cn.b 1).分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质,我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来,而使用项式系数性质C0C；C2C：2n解：1kC：n!n!(n 1)!k!(nk)!(k1)!(n k)!(k 1)!(n k)!41nCn 1,左边 nC： 1nC；nC：1,左边n(CnLCkCn 1(nC1n1)!(k 1)!(n,C1, Cn 1n 1-A-(C：1 n 1n!C：1)k!(n k)!k)!C：C2C21n 2n 1右边.n!(k 1)!(nk)!C：1)LCn1Cn1

7、n 1(2： 11右边.说明：此题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和,再用二项式系数的性质但这需要逆用二项式定求解.此外,有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式, 理才能完成,所以需仔细观察,我们可以看下面的例子：求29C10 28c927C82 C10 2 C10 2 C10_ _ 22Cw 10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与1 210的展开式接近,但要注意:(12)10C00C102C20229q910 Q10C10 2C10 21 2 1022C20q9 9Q10 102 C102 C10从而可以得到：10 2cl2028C：o 29C；0 -(310 1).25

8、.利用二项式定理证实：32n 2 8n 9是64的倍数.分析：64是8的平方,问题相当于证实 32n 2 8n 9是82的倍数,为了使问题向二项式定理贴近,变形 32n 2 9n 1 (8 1)n 1 ,将其展开后各项含有 8k,与82的倍数联系起 来.解： 32n 2 8n 9_n1_ n1_9 8n 9 (8 1) 8n 98n 1Cn 1 8-n 1 _2 _ n 八 / 八八Cn 1 8C n1 8 1 8n 9_n 1八1.nn1八2.八8Cn 18Cn188(n 1) 1 8n9.n 1Ync n1八28Cn18Cn18 (8n 1 C1118n 2 cn 1) 64 是 64 的

9、倍数.说明：利用此题的方法和技巧不仅可以用来证实整除问题,而且可以用此方程求一些 复杂的指数式除以一个数的余数.10 一 .,一 .一、.8.假设将(x y z)展开为多项式,经过合并同类项后它的项数为().A. 11B. 33C. 55 D. 661010分析：(x y z)看作二项式(x y) z展开.解：我们把x y z看成(x y) z,按二项式展开,共有 11 “项,即101010k10 k k(x y z) (x y) zC1o(x y) z .k 0这时,由于“和中各项 z的指数各不相同,因此再将各个二项式(x y)10 k展开,不同的乘积C10(x y)10 k zk (k 0

10、,1 , ,10)展开后,都不会出现同类项.卜面,再分别考虑每一个乘积C10(x y)10k zk (k 0,1 ,10).其中每一个乘积展开后的项数由(x y )10 k决定,而且各项中x和y的指数都不相同,也不会出现同类项. 故原式展开后的总项数为 11 10 91 66,应选D.的展开式的常数项为20,x 0 ,当x 0时,项式 x2n1,-=；当x 0时,同理xxn1 2( 1)n . xx2n.然后写出通项,令含 x的哥指数为零,进而解出 n .无力 1解：当x 0时x - 2x2n1Vx 广,其通项为 xTr 1 C2n(6)2n (?)(C2rn(G)2n 2令 2n 2r 0

11、,得 n r ,.展开式的常数项为1nC；n；2n(1)n xn1当x 0时,x 1 2 x同理可得,展开式的常数项为1nc21n无论哪一种情况,常数项均为1nc21n令(1)nC120,以n1,2,3,逐个代入,得n 3.101 . . .10. Jx . 的展开式的第3项小于第4项,那么x的取值范围是 x分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项,再根据题设列出不等式即可.10解：使vx 1= 有意义,必须x 0;3 x23依题意,有 T3 T4 ,即 C1oVx8 31C130Vx7 31 .xx10 910 9 8 1:x 2 13 2 1 3. x,一一一一8.,x的取值范围是

12、 x 0 x -6489. 应填：0 x 8-V648.911.(xlog2x 1)n的展开式中有连续三项的系数之比为1 ： 2 ： 3 ,这三项是第几项假设展开式的倒数第二项为112,求x的值.解：设连续三项是第k、 k1、 k 2项(k N 且k 1),那么有1 c k c k 1 Cn Cn1：2：3,n!即L(k 1)(n k 1)!n!. n!k! (n k)! (k 1)(n k 1)1： 2： 3.1(n k)(n k 1)1k (n k)!1 ：2：3.k(k 1)k1n k 12(k 1)2(n k)3k(n k) 1(n k)(n k 1)2k(k 1)2k (n k)3n

13、 14, k 5所求连续三项为第 5、6、7三项.又由,Cuxlo92x 112 .即 xlog2x 8 .两边取以2为底的对数,(log2x)2 3, log2x,3 , x 2、3,或 x 2 ,；3 .说明：当题目中二项展开式的某些项或某几项之间的关系时,常利用二项式通项, 根据条件列出某些等式或不等式进行求解.12.(1 2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项 和系数最大的项.分析：根据条件可求出 n,再根据n的奇偶性；确定二项式系数最大的项._ 55_ 66解：T6 Cn(2x) , T7 Cn(2x),依题意有C；25 C；26 n 8 .8444

14、 (1 2x)的展开式中,二项式系数最大的项为T5 C8 (2x)1120x .设第r 1项系数最大,那么有C； 2r2r 1C；i 2i r 5或 r 6 (r 0,1,2,8 ).系娄最大的项为：T6 1792x5, T7 1792x6.说明：(1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,n为奇数时中间两项的二项式系数最大,n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负 变化情况,一般采用列不等式,解不等式的方法求得.13.设f(x) (1 x)m (1 x)n(m,n N ),假设其展开式中关于 x的一次项的系数和

15、2为11,向m,n为何值时,含x项的系数取最小值并求这个最小值.分析：根据条件得到的系数关于n的二次表达式,然后利用二次函数性质探讨 最小值问题.解：Cm C： n m 11.2、m n n)22m n 112110 2mn2112 99n 11n 55 (n ).224 n N ,2 n 5或6, m 6或5时,x项系数最小,最小值为 25 .11,9911说明：二次函数y (x y)2 1的对称轴方程为 x 万,即x 5.5,由于5、6距11299,一八5.5等距离,且又n N , 5、6距5.5最近,所以(n )的最小值在n 5或n624处取得.14.假设(3x 1)7 a7x7 a6x

16、6a1x a0,求(1)aa2a7;(2)aa3asa7; (3)a.a2a4a6 .解：令x 0,那么a01,令 x 1 ,那么 a7 a6a1 a0 27 128.1 a1 a2a7 129.(2)令 x1,那么 ay aQa5 a4a3 a2 ai a0( 4)7,17由 得：ai a3 a5 ay 1128 ( 4)7 825622由得:2ao a2a4a6a3a?aia.)1“一(a7a6a5a42(a7a6a5a4a3a2aia.)17-128 ( 4)78128.说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值法.这是种重要的方法,它适用于恒等式.(2) 一般地,对于多项式g(x

17、) (px q)n a. ax a2x2anxn , g(x)的各项的系数和为g(1)：一 ,1g(x)的奇数项的系数和为 -g(1) g( 1).1g(x)的偶数项的系数和为-g(1) g( 1).一 2_ 5 一一18.在(x 3x 2)的展开式中x的系数为().A. 160B. 240C. 360 D. 800分析：此题考查二项式定理的通项公式的运用.应想方法将三项式转化为二项式求解.解法 1：由(x2 3x 2)5 (x2 3x) 25,得Tk1 C；(x2 3x)5 k 2kC； 2k (x2 3x)5 k再一次使用通项公式得,Tr 1 C； 2k C； k 3r x10 2k r

18、,这里 0 k 5, 0 r 5k.令102k r 1,即 2k r 9.所以r 1 , k 4,由此得到x的系数为C； 24 3 240 ._ 55_ 53x 2) (x 1) (x 2),常数项为1, (x 2)5的展开式中x的系数为C； 24,常数项为25 .因此原式中x的系数为C54 25 C54 24 240 .解法3：将(x2 3x 2)5看作5个三项式相乘,展开式中x的系数就是从其中一个三项式中取3x的系数3,从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积,即C5 3 C4 24 240 .应选B.-919.a 心 的展开式中x3的系数为9 ,常数a的值为x 24分析：利用二项式的通项公

19、式.一 9解：在a心的展开式中,x 2a 9 rxr rQr 153r 9通项公式为 Tri C； a J-C9( 1)ra9 r - x2 .x - 22393根据题设,一r 9 3,所以r 8 .代入通项公式,得 1 ax .21699根据题思,一a ,所以a 4.164,应填：4 .20.假设n N,求证实：32n 3 24 n 37能被64整除.分析：考虑先将32n 3拆成与8的倍数有关的和式,再用二项式定理展开.解：32n 3 24n 372n 23 324n 3739n 124n37Qn 1n Q pn 18C n 1 8 C n 1 J 24 n 3 7(n 1) 8 1J 24

20、n 37C：； 82 (8n 9)J 24n 378n 3C：；J 3 (8n 9) 24n 373 (8 1)n 1 24n 370an 1r1anr23LCn 18Cn 1 8Cn138n 1C： 18nC： 18n138n 1c1 18nC： 18n13 828n 1 C1 18n 2 C：13 648n 1 C： 18n 2 C； 18n 3 64 , 8n 1 , C： 18n 2, C1218n 3,均为自然数,上式各项均为64的整数倍.原式能被64整除.说明：用二项式定理证实整除问题,大体上就是这一模式,先将某项凑成与除数有关的和式,再展开证之.该类题也可用数学归纳法证实,但不如用二项式定理证实简捷.2