一元二次方程与几何综合教师版

1、一元二次方程与几何综合一、教学目标知识目标：运用根的判别式及韦达定理解决与一元二次方程的根有关的几何问题,强化旋转中的根本图形 和有关圆的综合题的处理方法.水平目标：能熟练地将方程的根与几何图形中的条件联系起来,通过方程的性质和几何图形的性质实行转 化.情感目标：增强学习的信心,培养科学探究的意识.二、教学重点建立一元二次方程的两根的与几何图形之间的联系.三、教学难点含参一元二次方程的处理.四、课时安排23课时2小时左右五、教学过程1 .先简单回忆上节课一元二次方程综合题的根本方法,并回忆韦达定理的根本内容和含参数的一元二次方 程的处理方法.2 .例题讲解：例1 20212021江岸九上起点2

2、5试题难度：A如图L &ABC、叩都是等膝直角三角形,"=期,HE = 缶 48且九 点D在月C上,连接ED ADc.1如果上=色必2的值；假设小匕是关于工的方程三一做十上标-2切+三=口的两实数根,求中的值? 力25552如图2,将力力总绕点.4逆时针旋转,使100,连接DC,求五边形ABODE的面积. 一 a 2 参考答案：(1) a=5; m=1 (2) 5000.b 35分析：14ABD的二边分别为 J2a、b、a ,且/ BAD=45 ,故过B点做BFLAD于F,在 BFD2中使用勾股定理可以得到 a、b之间的关系式,因式分解之后得到两个结果,根据条件a<b可

3、以排除一个结果；由韦达定理可以得到a、b与m之间的两个关系式,再加上求出的结果,一共三个方程,可以把m的值求出来,得到两个解 m=1和m=-3,分别算出a、b之后发现当 m=-3时a、b为负值,又a、b是 线段长不可能为负,故排除此解,所以 m=1 .2 a、b、c长度都未知,只知道 BE的长,直接去求五边形各局部面积肯定行不通.考虑到 ABC和4 ADE是两个共底角顶点的等腰直角三角形,尝试使用全等将五边形ABCDE拼接成为一个与 BE相关的三角形.故取 CD 中点 F,延长 EF 至 G,使 FG=EF,连接 BG、CG,那么4 EDFA GCF, BAEBFG, 所以五边形 ABCDE的

4、面积就等于 EBG的面积,而 EBG又是一个腰长为100的等腰直角三角形,问题 解决.另法：过E点做AB的垂线,交BA延长线于F,过D做DGLAC于G,设EF=x, AF=y,证实 AEFs4DAG,且相似比为 J2 ,在 BEF中使用勾股定理用 a、b、x、y把BE表示出来,再把五边形 ABCDE的 面积表示出来,然后做整体代换,也可以求出结果,此法较复杂.点评：此题1的两问都有两个结果,算出答案之后注意结合题目条件验证,排除掉与几何条件不符的结果；第2问考查了两个等腰直角三角形共底角顶点的根本图形.【例2】20212021 黄陂区九上期中 24改编试题难度：A1如图1.在等边月ec中,尸是

5、下方一动点,且pb pc是关于t的方程g-iN-90-+ b =6的两实根,求的长度；2如图2,在ARHC中,£ABC=3, BC=q,且1, q是关于汇的方程R-船工+ 3用+ 6 = 0 的两实根,假设I p+| =2户6,试在工EC内找一点已使P到工、B、C三点的距离之和最小,求出 3最小值并说明理由.参考答案：1 PA=9; 2 10.又由韦达定理得到 PB+PC=9,问题解决.给分析：1这是一个八年级常考的图形,结论是PA=PB+PC, 出两种证实： 延长PC至D,使CD=BP,证实 ABPAACD;延长BP至E,使PE=PC,证实 BCE 9匕 ACP.2根据韦达定理不能

6、求出 p、q,所以先处理第二个式子, 去掉绝对值之后可以将其因式分解, 得到p=6 或q=3,将两种情况都代入到韦达定理中验算,可以排除掉q=3的结果,故p=6, q=8.要使PA+PB+PC最小,可以将 BPC绕点B顺时针旋转 60°至ABED,贝U PA+PB+PC转化为PA+PE+ED ,贝U当PA、 PE、 ED共线时有最小值,即最小值为 AD,由于 AB=6, BD=BC=8, /ABD=90° ,故 AD=10.点评：此题第1问考查八年级常考的图形以及韦达定理；第2问是一元二次方程与几何最值问题的结合.阶段性小结：例1例2告诉我们,在做此类题目的时候,常常会得到

7、多解,得到的结果一定要结合题目条 件验证.例3 2021武汉元调25试题难度：B如图,在边长为1的等边Q4B中,以边工F为直径作D以.为圆心,以长为半径作0d C肘半圆还上不与4B重合的一动点,射线交®.于点M Bd AC=忙1求证工她=2+小的2求的最大值守3假设切是关于t的方程忑收+石处的一个根,求用的取值范围参考答案：1略；242; 3 0vmv1 或-2Wmv -1分析：1由于AC+CE=AE,所以只需证实 CE="3bC即可,由于BCXCE,所以连接BE,只需证实/E=30° ,由于/ E是.O的圆周角,所以/ E是/O的一半,问题得证；2取AB中点F,

8、连接AF、BF,那么出现了一个八年级常考的图形,过 F分别向AC、BC做垂线,垂足分别为 G、H,那么 AFGBFH,故 AC+BC=2AG,又由于 AGWAF,故 AC+BCW2AF = J2 .3这个关于x的方程可以因式分解, 可以得到Xi =b和X2 = -V3a-b ,所以需要考虑两种情况：b的范围即AC的范围,即0至IJ 1之间；一4金b的范围可以考虑 AE,当C在运动过程中,AE最短为AB,最 长为.直径,这一点很容易出错,故m的取值范围有两个.点评：此题第2问将八年级的根本图形隐藏在圆中,同时参加了最值问题；第3问是韦达定理与几何最值的结合,例4 20212021六中周练25试题

9、难度：A如图b在平面直启坐标系中,点D的坐标为S,过点d D作05交坐标轴于域5,gB 徐 Q两点,点E在工轴正方向上.1假设工=3, y = b求心力的数量关系：假设4b是方程10 - 2m工+ 10叩-9 =.的两根,求m的值？2如图2,假设点工在 轴负半轴上,公b是关于工的方程加-石M +"4?-2口+内力=0的两根,其中月-0,且|1+看匕=5,点C是点力关于工轴的对称点,点Q为06上一动点,以.为圆心,QC长为半径作O0分别交F轴、射线作于点时、M求出明 5的值；试求线段的最大值和最小值.参考答案：(1)a+3b=10;m= J3 (2)a=2, b= 2 J3 ;MN最大

10、值6 + 2 J3 ,最小值6 2j3分析：1过D点分别向x轴、y轴做垂线,垂足分别为 E、F,那么DEBsDFA,然后可以得到a、b间的关系；由韦达定理可以得到关于a、b、m的两个关系式,加上中的关系式,可以把 m求出来,得到两个结果,注意其中一个结果不符合题意要舍掉；3n2 n 公2用因式分解法可以得到这个方程的两根,由于A在y轴负半轴上,所以a=-2, b=,将a、21b代入一a + J3b =5中,可以求出n、b,注意舍掉不符合题意的一根；在.Q中,MN所对的圆周角2为一定值60° ,所以.Q半径越大,MN越大,O Q半径越小,MN越小.Q点为CO1与.O1的交点时,QC最小

11、,Q点为COi延长线与.Oi的交点时,QC最大,然后可以求出 MN的长.点评：此题是韦达定理与几何最值问题的结合.阶段性小结：熟练掌握含参一元二次方程的做法是这一类题的根底,例 2例3例4都涉及到了因式分解, 对代数式变形的根本功有一定的要求.【归纳小结】本节课你们学到了什么知识？对一元二次方程与几何综合题有什么新的熟悉？这类题的易错点是什么？【家庭作业】1. 20212021二中、七一九上期中 16改编试题难度：B如图,点尸是线股月习上不同于小E的任意一点,在工J的同恻作等边月汽7和等边H尸=小BP 且外方是关于工的方程叩4喀工+蔺=.的两实根.1假设打=2坦用,求四边形月即C的面积

12、3;2求四边形工功C的面积的最小值13试求线展8的最小值；设R7D的外接圆和内切扇的半径分别为R 7,当建般CD取得最小值时,求工的值.参考答案：1 4J3；2 3d3； 3CD最小值为2;2分析：1把四边形ABCD的面积用a、b表示出来,然后结合韦达定理稍加变形即可；2与1方法一样；3分别过CD向AB做垂线,可以把CD用a、b表示出来,然后用代数方法求其最值；当CD最小时,即a=b,此日PCD是一个等边三角形,显然可以得到 R=2r,或者把R和r都计算出来也可以.点评：此题主要是用代数运算解决几何问题,设置1 2两问给第3问降低了难度.2. 20212021六中九上期中 25试题难度： A如

13、图1,以轴正半轴上一点5为圆心的扇分别交K轴干& B两点,交轴干网必2 + 3 , G5,后2,1求点乂的坐标；C2如果点NS, b是05上第二家限内一点,且以方是方程/+Q口的两实根,P是劣 弧命上一点,试间型空的值是否为定值？假设为定值,求出其值*假设不是定值,求出真变化的范围；NP3假设点C是劣弧冠上的一动点不与点工、8重合,OiDlBC, OE±ACt垂是分别为点9、段设BD7, A.近的面积为S,求S关于t的函数关系式,并求出其自变量的取值范围.4 -12 t . 4 -12参考答案：(1) A ( -V2 , 0); (2) 22 ; (3) S =,0< t<<24分析：1把半径求出来用勾股定理计算,或者直接用直角三角形射影定理计算；2首先由韦达定理可以得到N点坐标,发现N是温 中点,连接FN、GN,就成为了八