分段函数专题

1、分段函数专题Documentserialnumber【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】经典分段函数专题高考真题类型一：与期有关类型二：与单调性有关类型三：奇偶性有关类型四：与零点和交点问题有关类型五;与求导和函数性质有关类型六：数形结合高考真题201011、已知函数+则满足不等式/（I-）>/（2外的x的围是Lx<0【解析】考查分段函数的单调性。!一/>2x=xw（_虎_）T>o2011n、（分类程求解）己知实数工0,函数,若-x-2a.x>1一）=/（1+），则a的值为_33解析：a>0,22a+。=1a2a,a=一二，av

2、0,-1+a2。=2+2+a,a=一二24201210.(程组求解)设/(x)是定义在R上且期为2的函数，在区间-1,1fax+1,-1WX<0,(上，/。)=法+2.其中若./二=/：,则+3/2的值为,OWxWl,L)L)x+1【解析】因为7=2,所以=，求得2+/2=0.1311由/(不)=/(不)，=2/(-)=/(-),解得3+给=2联立产十,解得产23a+2=-2=-4所以4+3=-10.201311.(分区间二次不等式求解)已知/(X)是定义在R上的奇函数。当x0时，/(x)=x2-4x,则不等式/(x)>x的解集用区间表示为.【答案】(-5,0)U(5,+8)【解析

3、】做出/(x)=/4x(x>0)的图像,如下图所示。由于/*)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出xVO的图像。不等式/(x)>x,表示函数尸/*)的图像在p=x的上，观察图像易得：解集为(-5,0)U(5,+8)。201413.(期函数+数形结合求围)已知是定义在R上且期为3的函数，当xe0,3)时，/(x)T_2x+；l.若函数y=/(x)在区间-3,4上有10个零点(互不相同)，则实数。的取值围是.【答案】(0,1)【解析】作出函数/*)=Y-2x+；,xe0,3)的图象，可见/(0)=9当17x=l时，/(x)极人=5，/(3)=-,程/a)一“=0在工&#

4、163;一3,4上有10个零点，即函数)，=/3)和图象与直线y=a在-3,4上有10个交点，由于函数/(x)的期为3,因此直线y=a与函数/(x)=x2-2x+1,xeO,3)的应该是4个交点，则有(0).2八y、1:7；7；>013%201513.(绝对值分类讨论+数形结合求根个数)已知函数/(x)=llnxl,.g(x)=,则程l/(x)+g(x)l=l实根的个数为Ir一41-2/>1【答案】4【解析】由题意得：求函数J=/(A)与'=1-以N)交点个数以及函数T=/(X)与1=-1-g(X)交点个数之和,'LO<x<l因为丁=1-乳兀)=7-rs

5、x>2,所以函数”了与j=L-g有两个交点，又x:-11<x<2-LO<r<ly=-l-g(x>5-ax>2,所以函数¥=了。)与J=T-g(x)有两个交点，因此共有4个交点X*-3.1<x<2【考点定位】函数与方程【名师点睛】一些对数型方程不能直接求出具零点，常通过平移、对称变换转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法将程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判惭通常转化为两函数图像交点的个数.这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势(单调性，极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢.201611.(程求解)设“X

6、)是定义在R上且期为2的函数，在区间-1.1)上x+a,-1<x<0,/(.r)=<2八'2-x,0<a<L5其中aeR,若/卜力=/弓)，则/(5，)的值是.【答案】，；5【解析】由题意得4|)=4)=-；+"，呜卜佃卡-;匕,【解析】由弁-佟可得+“=,则=:，2)12；2105【解析】则/(5“)=/(3)=/(T)=T+a=_l+3=_252017年14.设f（x）是定义在R上且期为1的函数，在区间01）上，其中集合。=3尤=，"=*,则程/3Tgx=O的解x,x史D,n的个数是.【答案】8【解析】由于/（幻£。1）,

7、则需考虑IWxvlO的情况,在此围，X£Q且xe。时，设x=g,PMeN',N2,且M互质，P若IgxeQ,则由lgxe（。/），可设lgx=2，町£m,加之2,且一，互m质，因此103=4，贝110"=（幺）桁，此时左边为整数，右边为非整数，矛pP盾，因此igx任Q,因此Igx不可能与每个期对应的部分相等，只需考虑Igx与每个期x交。的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外（1，。）其他交点横坐标均为无理数，属于每个期入屋。的部分，且x=l处（lgx）'=1二V1,则在X=1附近仅有一个交点,xlnlOIn10因此程/*）-lgx=O的解的个数为

8、8-【考点】函数与程【名师点睛】对于程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、期性等.类型一：与期有关1一1x-1Lxv2;L(拟期分段函数)设函数x)=1>0则程M(x)-1=0的根的J£),X>z,.乙个数有个。62.已知函数f(x)='ex,xWl,一ku-1),X>1,4)=履+1,若程+)-g(x)=o有两个不同的实根，则实数A的取值围是.画出函数F(x)的大致图象如下：则考虑临界

9、情况，可知当函数gG)=kxQ1+1的图象过4(1,e),5(2,e)时直线斜率匕=el,幺=一丁，并且当女=1时，直线y=x+l与曲线尸/相切于点(0,1),则得到当函数f(x)e1与g(x)图象有两个交点时，实数"的取值围是(亍，l)u(l,e-u.乙类型二：与单调性有关£1 .若函数/")=F在区间(PM)上单调递减，在3+力上单调lx+lLx>a递增，则实数的取值围是.(a3)x+5,xWl,2 .已知函数f(x)=<2a是(-8,+8)上的减函，X>1IX数，那么a的取值围是.a3<0,a0,解得0<aW2.a3+5,2a,

10、3.某驾驶员喝了力升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式Ax)=，OWxWl,<3 |T二 >，X>1，酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定：驾驶员血液中酒精含量不超过毫克/毫升.此驾驶员至少要过小时后才能开车.(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时)答案4解析因为OWxWl,所以一2Wx2W1,所以5TW5L245T,而5一2,3(11又由xl,得二鼻W示，OojOU1得鼻飞启所以心4.I”JU故至少要过4小时后才能开车.4.(5分)已知函数f(x)二卜4x,x,0若f(2a2)>f，则实数己的取值范围4x-x。

11、x<0*为(21).分析：先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f(x)的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可.解答：解：函数f(x),当在0时，f(x)=x2+4x,由二次函数的性质知，它在10,+8)上是增函数，当x<0时，f(x)=4x-x2,由二次函数的性质知，它在O,o)上是增函数，该函数连续，则函数f(x)是定义在R上的增函数f(2-a2)>f(a),.,.2-a2>aM<-2<a<1实数a的取值范围是(-2,1)故答案为：(-2,1)5.X祢+3,420已知a为正常盘.，(幻=.新孙，(怎)=

12、/(/)蛔实数a的取(ft范网是12, m0类型三：奇偶性有关1 .己知奇函数y=/a)(xe£)在区间0,3上单调递减,在区间3,+8)上单调递增，且满足/(-4)=0,则不等式必白)<0的解集是.类型四：与零点和交点问题有关2 .己知函数，"(I若函数/(X)的图象与直线x-9r+25工+凡1y=x有三个不同的公共点，则实数。的取值集合为.-20,76变为零点问题处理最合理3 .己知函数=若函数g(x)=x)T有三个零点，则实r+x,x<0数机的取值围是.4 .已知函数2k，x"°(<o),若函数)，=/(/(外)一1有3个零点，一

13、Inx,x>0则实数4的取值围是.数形结合，先求出"X)的两个可能取值，再看其与两个函数图像的交点个数。-1-V3(,0)2-k+1,xK14.已知函数f(x)二&则程f(x)=ax恰有两个不同实数根Inx,xl时，实数a的取值围是卷，+).解：程f(x)=ax恰有两个不同实数根，Ay=f(x)与y=ax有2个交点，又Ta表示直线y二ax的斜率，/1.y二一，x设切点为(xo,yo),k=T,x0切线程为y-yo=(x-xo)，x0而切线过原点，yo=l, x0=e, k=K e 直线L的斜率为上， e又直线12与y=x+l平行， 直线L的斜率为9， 实数a的取值围是工

14、） 4 e故答案为：官工）.q e6.已知函数f（x）=log；x , 0<xW4 一；x+3, x>4,若 a<b<c 且 f(a) =f(b)=F（c）,则（ab+1厂的取值围是作出函数广（x）=<log/ , 0<xW4,-,x+3, x>4 乙的图象，如图所示.:水从c时，广(a)=f(b)=f(c),/.logi5=logiZ?,B|Jlogia+logi5=0,贝ijlogiaZ?=0,.,.|<5<1<ZK4<c<6,且aZ?=l,16=2%(勖+l)c=226=64,即(助+1»的取值围是(16,

15、64).2 xlx<2,7 .()已知函数f(x)=,函数g(x)=3f(2x),(x2)，x>2,则函数y=f(x)g(x)的零点个数为.当x>2时，g(x)=x1,f(x)=(x2)1当0WxW2时，g(x)=3x,f(x)=2x；当水0时，g(x)=3，f(x)=2+x.由于函数y=f(x)g(x)的零点个数就是程f(x)g(x)=0的根的个数.当x>2时，程f(x)g(x)=0可化为，一5x+5=0,其根为x="朋或x=掾(舍去)；当0WxW2时，程f(x)g(x)=0可化为2x=3x,无解；当x<0时，程f(x)g(x)=0可化为1=0,其根为

16、x=-11或牙=匚岁(舍去).所以函数y=fx)g(x)的零点个数为2.才1-2,a,8 .已知函数f(x)=彳，若函数g(x)=f(x)2x恰有三YOX29xWQ，个不同的零点，则实数a的取值围是.押题依据利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数围，较好地体现了数形结合思想.答案-1,2)解析g(x)=f(x)2x=''要使函数g(x)恰有三个y+3x+2,x，,不同的零点，只需g(x)=0恰有三个不同的实数根，所以x>a,x+2=0xWa,或，&+34+2=0,所以g(x)=O的三个不同的实数根为x=2(x>a),x=l(xWa),x=一

17、2(xWa).再借助数轴，可得一lWa<2.9.若函数f(x)=/+2ax|+4引一3的零点有且只有一个，则实数a=答案,解析令|x=匕，原函数的零点有且只有一个，即程f+2*+4/-3=0只有一个0根或一个0根、一个负根，4引一3=0,解得a邛或一空,经检验，a=更满足题意.类型五;与求导和函数性质有关1.己知函数=当时，/(X)的取值围为.-16,y)，则实数，的取值围是.【答案】-2,8类型六：数形结合若f(a)>f( a),则实数a的取logzx,x>0,1.若函数f(x)=log|(-x),x<0,值围是.法一由题意作出尸Hx)的图象如图.法二对a分类讨论:.

18、* log：a> log。，. a>l.2V logj (-a) >log2( a), /. 0< a<lt当3>0时，当水0时，A-l<a<0.2. ()已知函数f(x)=<(a>0,且 aWl)x+(4a3)x+3a,x<0,、logs(x+l)+1,x20在R上单调递减，且关于x的程If(x)|=2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值围是.答案?U喝解析由y=log<x+l)+1在0,+8)上递减，得0<水1.f02+(4<a-3)>0+3a/(0)=l,又由4)在R上单调递减，则如图所示，在同一坐

19、标系中作出函数尸"(x)|和P=2-x的图象.由图象可知，在0,+8)上，|f(x)|=2x有且仅有一个解.故在(一28,0)±,f(x)|=2一才同样有且仅有一个解.当3a>2,即a>可时，由寸+(4a-3)x+3a=2x(其中水0),得大；+(4&一2)牙+32-2=0(其中X0),则/=(4a2)24(3a2)=0,3解得或a=1(舍去)；12当lW3aW2,即时，由图象可知，符合条件.J0-12(3综上所述，ae-u1-一x,xWm其中心0,若存在实数6,X2腔+ 4/，x>/n,3.已知函数f(x)=,使得关于x的程f(x)=5有三个不同

20、的根，则力的取值围是.答案(3,+8)解析如图，当xWs时，f(x)=|x|；当x>/时，£(才)=/-2鹏+4出在(勿，+8)为增函数，若存在实数b,使程f(x)=6有三个不同的根,则nf2m%+4成：m.V/2/>0,工序-3>0,解得勿3.4已知定义域为R的函数f(x)=Ix1；(x*l)'若关于x的程1(x=l)，f(x)+bf(x)+c=0有3个不同的实根X1，在，冬，则三+是+/=答案5怪异题解析作出f(x)的图象，如图所示.由图象知，只有当f(x)=l时有3个不同的实根；关于x的程£(x)+bf(x)+c=0有3个不同的实根Xi,Xi

21、,X3,，必有f(x)=l,从而%=1,乃=2,照=0,故可得x；+'+W=5.5 .已知定义在R上的函数f(x)满足：图象关于(1,0)点对称；f(一1+x)=f(1X)；当x£1,1时，f(x)=错误!则函数y=F(x)一(2)*在区间-3,3上的零点的个数为.解析因为f(l+x)=f(1x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称，又函数F(x)的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出F(x)以及8(x)=弓)*在-3,3上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5,所以函数尸£(才)一(呆在区间3,3上的零点的个数为5.|三+5牙+4|,xWO,6 .(考验作图)已知函数F(x)=若函数y=f(x)x-2|,x>0,一司可恰有4个零点，则实数a的取值围为.答案(1,2)解析分别作出函数p=f(x)与尸ax|的图象，由图知，当水0时，函数y=f(x)与尸印川无交点；当,2=0时，函数y=f(x)与有三个交点，故a>0.当x>0,a22时，函数p=f(x)与尸ax|有一个交点；当x>0,0<水2时，函数p=f(x)与y=a；川有两个交点；当X0时，若y=ax与尸一三