习题课3上课版1117新

1、主要内容主要内容1 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理3 3、柯西中值定理、柯西中值定理4 4、泰勒中值定理、泰勒中值定理一、中值定理一、中值定理二、二、洛必达法则洛必达法则型未定式型未定式型及型及 00.10型未定式型未定式000,1 ,0 ,0.2 三、导数的应用三、导数的应用(1) 函数单调性的判定法函数单调性的判定法(2) 函数的极值及其求法函数的极值及其求法 极值必要条件、第一、第二充分条件、第二充分极值必要条件、第一、第二充分条件、第二充分条件的推广。条件的推广。求极值的步骤求极值的步骤: :(3) 最大值、最小值问题最大值、最小值问题(4)

2、曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点(5) 函数图形的描绘函数图形的描绘(6) 弧微分，曲率，曲率半径弧微分，曲率，曲率半径例例1 证明方程证明方程cbacxbxax 23423至少有一实根至少有一实根在在(0,1)内内典型例题典型例题分析分析 如令如令)(234)(23cbacxbxaxxf )1(),0(ff则则的符号不易判别，的符号不易判别， 不便使用介值定理。不便使用介值定理。下面用下面用 rolle 定理来证。定理来证。证证 令令xcbacxbxaxxf)()(234 则则内可导内可导上连续，上连续，在在)1 , 0(1 , 0)(xf且且0)1()0( ff故由故由rolle 定理知定

3、理知0)()1 , 0( f使使即即cbacxbxax 23423在在(0,1)内有一实根内有一实根练习练习1 设实数设实数满足下述等式满足下述等式naaa,1001210naaan证明方程证明方程在在 ( 0 , 1) 内至少有一内至少有一个实根个实根 .010nnxaxaa证证: 令,)(10nnxaxaaxf则可设121012)(nnxnaxaxaxf, 1,0)(,上连续在显然xf且)0(f由罗尔定理知存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即.10010内至少有一个实根），（在nnxaxaa,) 1,0(内可导在,0) 1 (f练习练习2.设函数设函数 f (x) 在在0, 3 上连续

4、上连续, 在在(0, 3) 内可导内可导, 且且 , 1)3(, 3)2() 1 ()0(ffff使, )3, 0(. 0)(f分析分析: 所给条件可写为所给条件可写为1)3(, 13)2() 1 ()0(ffff(03考研考研) 试证必存在试证必存在 想到找一点想到找一点 c , 使使3)2() 1 ()0()(fffcf证证: 因因 f (x) 在在0, 3上连续上连续, 所以在所以在0, 2上连续上连续, 且在且在0, 2上有最大值上有最大值 m 与最小值与最小值 m, 故故mfffm)2(),1 (),0(mmfff3)2() 1 ()0(由由介值定理介值定理, 至少存在一点至少存在一

5、点 使, 2, 0c3)2() 1 ()0()(fffcf1, 1)3()( fcf,)3,(,3,)(内可导在上连续在且ccxf由由罗尔定理罗尔定理知知, 必存在必存在 . 0)(, )3, 0()3,(fc使例例2 设设在在)(xf),( 上可导上可导, 且且证明证明 f ( x ) 至多只有一个零点至多只有一个零点 . ,0)()( xfxf例例3 设设)(xf1 ,0内可导内可导, 且且,0)1( f证明至少存在一点证明至少存在一点, )1 ,0( 使使上连续上连续, 在在在在)1 ,0(,1)0( f )( f )(f证证: 设)()(xfexx则 )()()(xfxfexx0故)(

6、x在),(上连续单调递增, 从而至多只有一个零点 .又因,0 xe因此)(xf也至多只有一个零点 .?0)()( xfxf若若练习练习 设设在在)(xf1 ,0内可导内可导, 且且,0)1( f证明至少存在一点证明至少存在一点 )( f, )1 ,0( 使使上连续上连续, 在在)1 ,0( )(2 f证证: 问题转化为证问题转化为证.0)(2)(ff设辅助函数设辅助函数)()(2xfxx 显然显然)(x在在 0 , 1 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件, 故至故至, ) 1 ,0(使使0)()(2)(2ff即有即有)(f)(2 f少存在一点少存在一点例例5 5)()1()()1(),(,)

7、,1 , 0(0)(),()(212121xfxfxxfbaxxxfbaxf ，有有试试证证：对对内内有有二二阶阶导导数数，在在设设例例4 4,)(,)(内可导内可导，在在，上连续上连续在在设设babaxf且且,0ba 试证存在试证存在.ln)()()(abfafbf 使使, ),(ba 练习练习之之间间。在在其其中中试试证证如如果果21212121,),()1(, 012xxxxeexexxxxx 证证不妨设不妨设21xx 210)1(xxx 记记201xxx 则则)(, )(1(12021210 xxxxxxxx 由由lagrange定理，有定理，有)1()(1)()()(12110 xx

8、fxfxf )2()()()()(12202xxfxfxf )(22011xxx )(0)(xfxf)()(21 ff )1()2()1( 得得)()1()()(210 xfxfxf )(1()()(1221xxff 0 )()1()()1(2121xfxfxxf 单调增区间为单调增区间为 ; ;例例6 6 填空题填空题(1) (1) 设函数设函数上上连连续续，在在),()( xf的的则则)(xf其导数图形如图所示其导数图形如图所示, ,单调减区间为单调减区间为 ; ;极小值点为极小值点为 ; ;极大值点为极大值点为 . .)(xf o2x1xyx,0,(21xx),0,21 xx21, xx

9、0 x .在区间在区间 上是凸弧上是凸弧 ;拐点为拐点为 形在区间形在区间 上是凹弧上是凹弧; 则函数则函数 f (x) 的图的图 (2) 设函数设函数上上可可导导，在在),()( xf的图形如图所示的图形如图所示,)(xf o2x1xyx)(xf ),0,21 xx,0,(21xx)0(, 0( ,)(,( ,)(,(2211fxfxxfx例例7 7 求极限求极限cpcxxxxpx, 011lnarctan2lim0求求设设 (1)(3) 求求)0()1arctan(arctanlim2 ananann(4)xnxnxxxnaaa 11211lim (5) f(x)二阶可导二阶可导,求极限求

10、极限20)(2)()(limhxfhxfhxfh (2) 求求)11ln(lim2xxxx 例例7 (1)cpcxxxxpx, 011lnarctan2lim0求求设设 解解pxxxxx 11lnarctan2lim0pxxxxx)1ln()1ln(arctan2lim0 )00(120111112lim pxpxxxx12201111lim2 pxxxxp340)1(1lim4 pxxxp0 c3 p34 c(4)xnxnxxxnaaa 11211lim )1( ln)ln(11211limnaaanxxxnxxe ln)ln(lim11211naaanxxnxxxe ln)ln(lim11

11、211naaanxxnxxx 而而xnaanxnxx1ln)ln(lim111 )00(22111111111lnln1limxxaaaaaannxnxxnxx naaannlnlnln21 )ln(21naaa xnxnxxxnaaa 11211lim)ln(21naaae naaa21 存在存在 , 且且例例8 设设,0)0( f且在且在),0 上上)(xf 单调递减单调递减 , 证明对一切证明对一切0,0 ba有有)()()(bfafbaf 2)1tan(limnnnn 证证: 设设, )()()()(xfafxafx则则0)0()()()(xfxafx)0(0 x所以当所以当时，0 x

12、)(x0)0(令令,bx 得得0)()()()(bfafbafb即所证不等式成立即所证不等式成立 .例例9 9 不等式证明不等式证明), 0, 0(2ln)(lnln:yxyxyxyxyyxx 证明证明 , 00)()(xaxxxfxga)(xg)(xg例例10 设函数设函数f(x)具有一阶连续导数，具有一阶连续导数， （1）确定）确定使使处处连续。处处连续。证明证明具有一阶连续导数。具有一阶连续导数。（2）) 0(f 存在，且存在，且f(0)=0, , 001)(xxxxxfx)(xf0 xx)(xf例例11 设设 （1）讨论）讨论在在处的连续性。处的连续性。取何值时取何值时取得极值。取得极

13、值。（2）例例12问方程问方程)0(ln aaxx有几个实根有几个实根解解:)1(定义域定义域, 1 xy )2(222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得y 222)1()3(2 xxx,)1(1)1(133 xx, 0 y令令. 0 x得可能拐点的横坐标得可能拐点的横坐标拐点拐点区间区间凹凸凹凸极值极值的单调区间的单调区间求函数求函数,12 xxxy例例1313x)3,( )1 , 0()1, 3( 3 )0 , 1( y y y 1 0 极大值极大值0拐点拐点00 x31y y y 极小值极小值0 )3, 1(), 3( 3xy极大值极大值, 323 3xy极小值极小值, 323).0 , 0(拐点为拐点为例例1414,)(,)(内可导内可导，在在，上连