追及与相遇问的题目

1、追及与相遇问题刘玉平课时安排：3课时三维目标：1、掌握匀变速直线运动的速度、位移公式以及速度-位移公式；2、能灵活选用合适的公式解决实际问题；3、通过解决实际问题，培养学生运用物理规律对实际生活中进行合理分析、解决问题的能力；4、 通过教学活动使学生获得成功的愉悦，培养学生参与物理学习活动的兴趣，提高学习自信心。教学重点：灵活选用合适的公式解决实际问题；教学难点：灵活选用合适的公式解决实际问题。教学方法：启发式、讨论式。教学过程两物体在同一直线上追及、 相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系求解

2、。一、追及问题1、追及问题的特征及处理方法：“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：初速度比较小（包括为零）的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上。a、追上前，当两者速度相等时有最大距离；b、当两者位移相等时，即后者追上前者。匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，存在一个能否追上的问题。判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。a、当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者，则永远追不上，此时两者间有最小距离；b、若两者速度相等时，两者的位移也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界

3、条件；c、若两者速度相等时，追者位移大于被追者，说明在两者速度相等前就已经追上；在计算追上的时间时，设其位移相等来计算，计算的结果为两个值，这两个值都有意义。 即两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值。 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，情形跟类似。匀速运动的物体甲追赶同向匀减速运动的物体乙，情形跟类似；被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。2、分析追及问题的注意点： 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关

4、系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的 位移关系是解题的突破口。若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意V t图象的应用。、相遇 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。【典型例题】【例1】在十字路口，汽车以 0.5m/s 2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：(1) 汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？(2) 在什么地方汽车追上自行车？追到时

5、汽车的速度是多大？解：汽车追上自行车之前，两车速度相等时相距最远，设所用时间为t1v汽=at = v自t = 10s最远距离 x = x自一x汽=v自t at2 = 25m21设汽车追上自行车所用时间为t/ 此时x自=x汽 v自t/= a t /2t/ = 20s2此时距停车线距离x = v自t/ = 100m此时汽车速度v汽=a t /= 10m/s【例2】客车以30m/s的速度行驶，突然发现前方72 m处有一自行车正以 6m/s的速度同向匀速行驶，于是客车紧急刹车 若以3m/s 2的加速度匀减速前进，问：(1) 客车是否会撞上自行车 ？若会撞上自行车，将会在匀减速前进多久时撞上？(2) 若

6、要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时距离自行车至少多远？(3) 若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少多大？1)速度相等时用时t，则30-3t=6m/s 解得t=8s，此时自行车行驶6*8=48m ,客车行驶30*8-1/2*3*8*8=144,72+48=120m<144m,所以会撞上。假设t时刻撞上，则有 30*t-1/2*3t2=72+6*t 解得 t1=4s , t2=12s （舍去）2）不会撞上则速度相同时刚好不会撞上。由（1）中得144=48+S，所以至少相差96m【例3】 在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为15m/s，

7、加速度大小为0.5m/s 2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使:（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3 ）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）a=-0.5 v1=10 v2=15当甲车减速为v=10时，两车速度相同。即之后甲车速度小于乙车。设甲车v=10时，辆车正好相遇。t=（v1-v2）/a=10.s 甲=v2*t+atA2/2=15*10-0.5*10*10/2=125s 乙=v1*t=100L=s 甲-s 乙=25 （ m ）即当L<25时为两车相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）当L=25时为两车只相遇一次当L>25时为两车不相遇AB

8、 s V2【例4】 如图,A、B两物体相距S=7米,A正以V1=4米/秒的速度向右做匀速直线运动而物体B此时速度V2=10米/秒，方向向右，做匀减速直线运动（不能返回），加速度大小a=2米/秒2,从图示位置开始计时，经多少时间 A追上B.解：物体B的运动时间为tB在此时间内 B前进了Va105秒a2SBVt ®L B525米2SAVatB 4 520米可见在此时间内A没有追上B,必须在 B停止后,A才能追上 B.故A追上B的时间为S SbVa7 254这时A前进了4分钟内至【例5】一辆摩托车行驶的最大速度为30m/s。现让该摩托车从静止出发，要在追上它前方相距1千米、正以25m/s的

9、速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时, 少应具有多大的加速度?解：假设摩托车一直匀加速追赶汽车。则:1 2atVot+S o (1)22Vot 2So2 25 2402 100024020.24 (m/s 2)摩托车追上汽车时的速度：V = at = 0.24240 = 58 (m/s)(3)因为摩托车的最大速度为30m/s，所以摩托车不能一直匀加速追赶汽车。应先匀加速到最大速度再匀速追赶。1 2 at1Vm t hS0 V°t (4)2V m >at 1 (5)由(4 ) (5)得：t1=40/3 (秒)a=3040/390402.25 (m/s)【例6】汽车以1m/

10、s 2的加速度起动，同时车后60m远处有一人以一定速度 Vo匀速追赶要车停下.已知人在离车小于20m，且持续时间为2s喊停车，方能把停车信息传达给司机，问Vo至少要多大？如果以 Vo=1Om/s的速度追车，人车距离最小值应为多少？解：方法一、设经过时间T人和车相距20m，则根据位移关系可得60 m + 1/2aT 2 -VoT = 20m将a= 1m/ s 2代入上式并整理得T 2-2V0T + 80 = 0设为该方程的两个根，由韦达定理有Ti + T2= 2V0Ti T2 = 80又因为人车相距 20 m以内的时间至少持续 2s，所以有Ti-T2 = 2解可得的最小速度为 9m/s 。当V0

11、 = 10m/s时经过一段时间t后人车之间距离为d = 1/2aT 2 + 60 V0T = 1/2T 2- 10T + 60 = 1/2(T 10) 2+ 10当T= 10s时,d取得最小，即人与车的最小距离为10m。点评 本题可以有多种解法，相比较而言用韦达定理和配方法求解更为简便一些，这种简便不仅体现在求解运算上，更体现在解题思路上。方法二、已知人在离车小于 20m，且保持时间为2s喊停车方能把停车信息转达到司机，那么题如果10m/s，当然是车的速度也是10m/s的时候，距离最小。意就是当距离为20m后，再经过2s，距离仍然不超过这个范围。相当于人追赶了车40m所以有，vt-1/2at

12、2=40同时 v(t+2 ) -1/2a (t+2)2=40-得t=v/a+1将代入得最小速度v = 9m/s.所以最小距离 =60-10*10-1/2*102=10m方法三、因为人在离车距离小于20m.持续时间为2s喊停车.才能把信息传给司机经过时间t后人与车相距为 20m即 1/2at 2 +60-v ot=20此时车速为at，接下来2s内保持20m 距离即2衣vo=at衣2+1/2a衣22.解得 t=8s.vo=9m/s方法四、根据题意，要在汽车的速度达到V之前，人与车的距离小于20m，因为如果在汽车速度达到V的时候人车的距离还大于20m，那汽车在加速，速度变得比人快，人车的距离就在变大

13、了，永远超都追不上了，同时也不能等于，因为人在叫的时候要 2秒，那会儿，汽车还在行进，我们的目标是要使人在叫的过程中人车的距离都要小于20m,既然这样那就分析当人叫完两秒的时候的情况。人距车的距离关于 t=v/a对称，也就是说t=v/a+1 也就是t=v+1 (因为a=1 )时, 人距车必须小于 20米，有60+1/2*(v+1)A2-v*(v+1)<=20,解出v就o 了方法五、根据判别式等于零来求解。作业:1 . 一辆值勤的警车停在公路边。当警员发现从他旁边以 v=8m /s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶。经2.5s ,警车发动起来，以加速度a=2m /s2做匀加速运

14、动，试问:(1 )警车要多长时间才能追上违章的货车？(2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多大？解析：方法1、利用速度相等这一临界条件求解，警车和货车速度相等时相距最远。v 警=at , v 货=v 0，由 v 警=v 货得 at 1=v 0即相距最远时警车所用的时间为tw “ =1 =4s此时货车和警车前进的距离分别为x货=v 0 (to+t i) =8m /s x 5s+4s ) =52m1 3 1-ats 警=一 =二 X2m /s2x(4s ) 2=16m两车的最大距离为 xmax=x货一x警=52m 16m=36m两车的位移分别为 x警=-，x货=v o (t+t o)1 a召

15、耳追上时两车位移相等 x警=x货，即-=v 0 (N +t 0)解得追上时所用时间t2=10s o方法2、利用二次函数的知识求解。1 n-at货车和警车的位移分别为x警=二 ，x货=v 0 ( t+t 0 )，两车的位移之差为1 2-atAx=x 货一x 警=v 0 (t+t 0) -= t2+8t+20= ( t 4) 2+36当t=4s时，Ax有最大值36m，即追上之前相距最大为36m。当t=l0s时，A x=0，即相遇。2 .客车以20m/s的速度行驶，突然发现同轨道前方 120处有一货车正以5m/s的速度同向匀速行驶，于是客车紧急刹车，若以0.9m/s2的加速度匀减速前进，问：(1)

16、客车是否会撞上货车？若会撞上货车，将会在匀减速前进多久时撞上？(2) 若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时距离货车至少多远？(3) 若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时的加速度至少多大？3 .甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，甲车以V1=10m/s 的速度做匀速运动，经过车站A时关闭油门以a1=4m/s 2的加速度匀减速前进。2s后乙车与甲车同方向以 a2=1m/s 2的加速度从同一车站 A出发，由静止开始做匀加速直线运动。问乙车出发后经多长时间追上甲车？解析： 解法一(公式法)：甲、乙两车自同一地点于不同时刻开始运动，乙车出发时甲车具有的速度为v1t v1 a1t010m/s 2 4 m/s

17、=2 m/s ，v1t2此时离甲车停止运动的时间t 一 s=0.5s。a14根据题设条件，乙车在0.5s内追不上甲车，也就是说乙车追上甲车时，甲车已经停止了运动。102m=12.5m，2丄a2t22 12.5 s=5s 。甲车停止时离车站 A的距离X甲 2a1设乙走完这段路程所需的时间为t,由x乙故乙车出发后经过 5s追上甲车。联想求解本题最易犯的错误是：根据追上的条件1 2 1 2 X甲X乙，有 V1（t to） -a1（t to）a?t ，2 2代入数据可得t=2.6s。错误的原因在于对汽车等运输工具做减速运动的实际规律理解不深。VA VB图 2 - 37本题中甲车在被乙车追上前已停止运动

18、。 上述计算的实质 是认为甲车速度减为 0后又反向加速运动，所以计算出与 乙车相遇的时间就短了。4 .在水平直轨道上有两列火车A和B相距s。A车在后面做初速度为 V0、加速度大小为 2a的匀减速直线运动；而 B车同时做初速度为 0、加速度大小为 a的匀加速直线运动，两车运动方 向相同。要使两车不相撞，求 A车的初速度V0应满足的条件。解析：要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最多只能与 B车速度相等。设 A、B两从相距s到A车追上B车时，A车的位移为xa,末速度为va，所用时间为t; B车的位移为xb,末速度为VB,运动过程如图2 37所示。现用四种方法求解。解法一一 (利用位移公式和速度公式

19、求解)：1 2对 A 车有 Xa Vot( 2a)t ，va Vo ( 2a)t。2_ 1 2 对 B 车有xBat ，vBat。2两车有 S Sa Sb，追上时，两车刚好不相撞的条件是Va Vb，由以上各式联立解得v06 as。故要使两车不相撞，A车的初速度V0应满足的条件是Vo W . 6as。解法二(利用速度公式和速度一位移关系式求解)：两车刚好不相撞的临界条件是:即将追上时两车速度相等。设此速度为v , A车追上B车前,A车运动的时间为VaVoV VoVoVaA2a2at AB车运动的时间为tVBt BaA车的位移Xa2 2Va Vo2a aV-,因为tAtB，所以a因为Xa S Xb

20、，所以2 2VoVB车的位移4a '2 22oVVos。即4a2aVo VV阳Vo即V2aa322VbVXb2a2a2亠 2Vo3vs4a两式联立解得v0- 6as。故要使两车不相撞，A车的初速度vo应满足的条件是vo w 6as 。解法三(利用判别式解)：1 2 1 2 由解法一可知 Xa s Xb，即v°t( 2a)t s at ,2 22整理得3at2v0t as 0。这是一个关于时间 t的一元二次方程，当根的判别式(2vo)2 4 3a 2s< 0时，t无实数解，即两车不相撞。故要使两车不相撞，A车的初速度vo应满足的条件是 vow . 6as。解法四(用速度图

21、象解)：如图2 38所示，先作 A、B两车的速度图象。设经过时间t两车刚好不相撞，则图 2 38对A车有Vav vo 2at，对B车有 vB v at ,由以上两式联立解得t3a经时间t两车的位移之差，即为原来两车间的距离s，它可用速度图象中阴影部分的面积表示，由速度图象可知21 丄1VoVoSVotVo -2 2 3a 6a故要使两车不相撞， A车的初速度vo应满足的条件是vow 6as。联想 分析解决两物体的追及、相遇类问题，应首先在理解题意的基础上，认清两物体在位 移、速度、时间等方面的关联，必要时须画出运动关联的示意图。这类问题的特殊之处是常与极 值条件或临界条件相联系。分析解决这类问

22、题的方法有多种，无论哪一种方法，分析临界条件、解决相关的临界条件方程或用数学方法找出相关的临界值，是解决这类问题的关键和突破口。5.甲、乙两车相距为s,同时同向运动，乙在前面做加速度为 ai、初速度为零的匀加速运动, 甲在后面做加速度为 a 2、初速度为vo的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速 度的关系。解析解法一（物理方法）由于两车同时同向运动，故有v甲=vo+ a2t, v乙=ait。（1 ）当ai a2时，ait a2t，可得两车在运动过程中始终有v甲 v乙。由于原来甲车在后，乙车在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然追上乙车。由于甲车追 上乙车时v甲

23、 v乙，所以甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次。（2）当ai= a2时，ait= a2t，v甲 v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次。（3） 当ai a2时，ait a2t，v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增大而发生变化。刚开 始ait和a2t相差不大且甲有初速度 vo,所以v甲 v乙.。随着时间的推移，ait和a2t相差越来越大，当 ait-a2t= vo时，v甲=v乙，接下来 ait-a2t vo，则有 v甲vv乙。若在v甲=v乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v甲v乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；若在v甲=v乙时，两车刚好相遇，随后由于 v甲vv乙，甲车又要

24、落后乙车，这样两车只能相 遇一次；若在v甲=v乙之前，甲车已超过乙车，即已相遇一次，随后由于v甲v乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，则两车能相遇两次。方法二（数学方法）设经过时间t两车能够相遇，由于屏=vot2a2t2，Sz = -ait2,2相遇时有S甲S乙s，则2(ai a2)t2v°t 2s 0,所以2( aia2 )s。(1 )当ai<a2时，t只有一个解，则相遇一次。1 2 12S(2) 当 ai= a2 时，s甲s乙Vota2taitv°ts，所以 t.。t只有一个解，2 2Vo则相遇一次。2(3) 当ai>a2时，若vo 2(a

25、i a?)s，t无解，即不相遇；若v2 2(ai a2)s，t只有一个解，即相遇一次；若V2 2(ai a2)s，t有两个正解，即相遇两次。联想 以上两种解法，正好体现了解答物理问题的两种典型思路。方法一从比较两车的速度关系和位移关系出发，经过仔细而严密的逻辑推理，得出了不同条件下的不同结果。这种解法注 重物理过程的分析，物理情景比较清楚。方法二先假设两车相遇，由两车位移之间的关系列出求 解相遇时间的方程，然后再对方程解的个数展开讨论。这种解法的特点是将物理问题转化为数学 问题，充分运用数学规律和技巧使问题得以解决，论述简洁明了。6 .羚羊从静止开始奔跑，经过 si=50m 的距离能加速到最大

26、速度 vi=25m/s ,并能维持一 段较长的时间。猎豹从静止开始奔跑，经过 S2=60m的距离能加速到最大速度 V2=30m/s，以后 只能维持这个速度 4.0s。设猎豹距离羚羊 x时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后I.0s开始奔跑，假设羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，问：(1) 猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x值应在什么范围？(2) 猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应在什么范围？解析：(I)猎豹在达最大速度且尚未减速前追到羚羊，即猎豹的运动只能是先匀加速运动后匀速运动。设猎豹在维持最大速度的时间t内追到羚羊，由题意知 t W4.0S。现在我们首先探索的问题

27、是：当猎豹追上羚羊时，羚羊的运动情况如何？为此，我们可先分别求出羚羊和猎豹做加速运动的加速度和时间。羚羊做加速运动的加速度为羚羊做加速运动的时间为ai252m/s2=6.25m/s而猎豹做加速运动的加速度为2si2 50V|25t1s=4.0s ；ai6.25a22V22s2302m/s2 602=7.5m/s猎豹做加速运动的时间为30七2s=4.0s。a27.5若猎豹刚达到最大速度时追上羚羊,则羚羊只加速了t' =3s ，有1 +Xi S2 at2260 m -26.2532m=32m;若猎豹刚要减速时追上羚羊，则有X2 忍 V2it 佝v1t )60 m 30(50253) m=5

28、5m 。由此可知，猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊,x值应为32m Wx <55m 。 羚羊刚要开始奔跑时，猎豹已前进的距离1 .2 1 .2 _ _x3a2t 07.5 1 m=3.75m 。2 2由此可知。猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应为 3.75m <x<32m。联想：本题的求解告诉我们，研究物体的运动，首先要分析清楚物体的运动过程。特别是当物体有多个运动阶段时，必须明确问题所研究的是运动的哪一个阶段。当问题涉及多个物体的 运动时，应先分别独立研究各个物体的运动，然后找出它们之间的联系。7 .甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1=16m/s的初速度，a1=-2m/s 2的加速度作匀减速直线运动，乙车以V2=4m /s的速度，a2=1m /s2的加速度作匀加速直线运动，求两车 再次相遇前