中心集中荷载下简支斜板弯曲问题的解析解

1、 中心集中荷载下简支斜板弯曲问题的解析解葛风光1,彭嘉炜21河海大学土木工程系,江苏南京(2100982黄河科技大学工学院,河南郑州(450053E-mail:gefengguang摘要:本文利用斜坐标系下斜板的弯曲方程及边界条件,以及荷载与挠度的傅立叶无穷级数展开形式,导出了中心集中荷载作用下简支斜板弯曲问题的解析解。这种方法求解思路清晰,数值收敛性好,结果准确可靠,方法简单实用。关键词:斜板,简支,弯曲,中心集中荷载,傅立叶级数中图分类号:TU311.41.引言目前工程建设突飞猛进,基本结构矩形板和圆形板已经不能满足现实工程的需要,斜板得到了广泛的应用。例如在建筑结构楼盖,刚性混凝土路面,

2、斜交板桥,飞机的机翼,船舶结构中都有应用,因此对斜板弯曲理论进行分析有很大的实用价值。斜板由于缺乏矩形板的边界正交性,因此数学处理十分困难,工程上大多采用有限元方法进行分析计算,而有关斜板的解析解一直缺乏研究。本文在文献1的研究基础上,利用斜坐标系下斜板的弯曲方程及边界条件,将荷载与挠度采用傅立叶级数展开的形式,从而推导出中心集中荷载作用下简支斜板各点的挠度及内力,其结果与已有文献比较,吻合较好,可以在实际工程中加以好好利用。2.基本方程及公式2.1 斜板弯曲控制方程由于斜板的边界互不垂直,与直角坐标系不能完全对应,使得斜板的边界问题复杂化。o:为便于求解,采用图1所示的与斜板边界相对应的无量

3、纲坐标系 图1 简支斜板Fig.1 Skew plate simply supported其斜板弯曲方程为: 42234(,42(124as q W pcW p c W p cW p W D+=(1 其中:sin ,cos ,a s c p b=,32(/12(1D E h µ=××,D 板的弯曲刚度,E 板的弹性模量,µ材料的泊松比,斜板的斜角,h 板厚。2.2 边界条件简支边:0W = (2 ; 0n M = (3,可知: AB 、CD 边:0W = 2222(20(n DM c s W pcW p W as µ=+= (4 BC 、AD

4、边:0W = 22222(0(n DM W pcW p c s W as µ=+= (5 2.3 齐次解,(hW 齐次解采用两个分别沿斜坐标、方向的单傅立叶级数展开式,由于荷载与边界条件均关于中心对称,因此利用对称性,并叠加得到:224441234n 1(,(sin cos (sin cos n n h n n n n n n n n W A A A A p e P Q e R S += (6112212312412sin cos sin cos n n n n n n n n n n n n n n P e C ch C sh C sh C ch =+ 112212312412co

5、s sin cos sin n n n n n n n n n n n n n n Q e C ch C sh C sh C ch =+512612712812sin cos sin cos n n n n n n n n n n n n n n R e C ch C sh C sh C ch =+ 512612712812cos sin cos sin n n n n n n n n n n n n n n S e C ch C sh C sh C ch =+其中:12,n n n n n n n ch cosh sh sinh n sK cK K p =12,nn n n n n sH c

6、H H p=,1n C 8n C 均为待定常数。由于对称性,因此只有四个独立的边界条件,当截断级数最大项数取N 时,可以产生8N+4个方程,联立方程正好求解全部8N+4个独立的待定常数。2.4 特解(,pW 中心集中力0P 可认为是均匀分布在以点00(,为中心的微小面积22×上的局部均载(,q ,则按二重傅立叶级数展开2,可以得到:00001111(,cos cos cos cos 422mn mn mn m n m n P P P P q B m D n G m n abs abs abs abs =+1mn B = 1mn D = 1mn G =特解(,p W 取相应二重傅立叶级

7、数形式,即: 42200000221100011(,(cos cos 32(1222(cos cos sin sin pmn mn m n mn mn m n P P P as W B m D n D absp c abs abs P G m n H m n abs =+44441mn mn B B m m =4444441mnmn D D p n p n = 422224442222440422224424422224424(2(122(12(2(12(2(12mnmnm c m n p n p G m c m n p n p Gm c m n p n p m c m n p n p +=+

8、 22222204222244244222244244(4(2(12(2(12mnmncmnp m n p G cmnp m n p H m c m n p n p m c m n p n p +=+ 所以方程(1的通解:(,(,(,hpW W W =+ (73.算例分析为便于与已有资料进行比较,取泊松系数µ=0、边长为2a×2b ,采用mathematica 语言编制程序进行计算3。表1列出了各种边长比值下挠度的计算系数,挠度=表中数值×P 0 (2a2 /D 。表1 中心集中荷载作用下中心挠度的计算系数表Tab.1 Flexibility factor of

9、center point under central concentrated load角度项数N1/p = 1.0 1/p =1.1 1/p =1.6 1/p =2.0 1/p =3.0 N =11 0.01161 0.01268 0.01570 0.01652 0.01689 N =15 0.01160 0.01267 0.01570 0.01652 0.01691N =21 0.01160 0.01267 0.01570 0.01652 0.01692 N =23 0.01160 0.01267 0.01570 0.01652 0.01692 90°文献40.01160 0.0

10、1265 0.01570 0.01651 0.01690N =11 0.00912 0.00994 0.01206 0.01251 0.01265N =15 0.00911 0.00993 0.01206 0.01252 0.01268 N =21 0.00909 0.00992 0.01205 0.01252 0.01270 60°N =23 0.00909 0.00992 0.01205 0.01252 0.01270角度项数N1/p = 1.0 1/p = 1.1 1/p = 1.6 1/p = 2.0 1/p =3.0N =11 0.00650 0.00707 0.00826

11、 0.00841 0.00841N =15 0.00650 0.00705 0.00826 0.00842 0.00844 N =21 0.00646 0.00703 0.00825 0.00843 0.00846 45°N =23 0.00646 0.00703 0.00825 0.00843 0.00846对于弯矩的求解,当载荷接近集中力的情形时,弯矩的级数表达式收敛的很慢,因此对于数值计算是不适用的,但的确有较大的有限值存在,可以采用其他的计算方式来求解受载中心的弯矩。对于板内其他的点,仍可采用本文算法进行计算,取=0.5,=0.5处进行计算弯矩,见表2,弯矩=表中数值

12、5;P 0: 表2 中心集中荷载作用下=0.5,=0.5处弯矩的计算系数表 Tab.2 Moment factor in =0.5,=0.5 under central concentrated load1/p=1.0 1/p1.1 1/p2.0角度项数 NM xM yM xM yM xM yN 11 0.0352 0.0352 0.0413 0.0285 0.0522 -0.0080 N 15 0.0352 0.0352 0.0412 0.0285 0.0521 -0.0080N 21 0.0351 0.0351 0.0412 0.0284 0.0521 -0.0080 N 23 0.035

13、1 0.0351 0.0412 0.0284 0.0520 -0.0080 90°文献30.0351 0.0351 0.0411 0.0284 0.0520 -0.0080N =11 -0.0125 0.0490 -0.0118 0.0479 -0.0038 0.0255N =15 -0.0126 0.0488 -0.0118 0.0477 -0.0039 0.0255 N =21 -0.0126 0.0487 -0.0118 0.0476 -0.0039 0.0255 60°N =23 -0.0126 0.0487 -0.0118 0.0476 -0.0039 0.025

14、5 N =11 -0.0240 0.0431 -0.0244 0.0433 -0.0141 0.0244N =15 -0.0239 0.0428 -0.0243 0.0430 -0.0141 0.0244 N =21 -0.0239 0.0426 -0.0243 0.0429 -0.0142 0.024445°N = 23 -0.0239 0.0425 -0.0243 0.0428 -0.0142 0.0244 为了更直观地表达数据的准确性,下面用图象说明。取一组混凝土斜板,设弹性模量E=2.5×104MP a ,板厚h=200,泊松比µ=0,短边边长2a=300

15、0,采用本文计算数据,对参数角度、边长比p 分析如下图2、3所示5。 中心点挠度(m 中心集中力P 0(KN中心点挠度(m 中心集中力P 0(KN图2 斜角为60°时不同边长比下的挠度图 图3 边长比为1.6时不同斜角下的挠度图Fig.2 Deflection curve in =60° Fig.3 Moment curve in 1/p=1.6从上面的结果来看,本文方法收敛效果较好,其中挠度收敛效果最好。计算结果与已有文献中的数值吻合较好,完全能满足工程精度要求。本文将矩形板的研究拓展到斜板,可求得各种斜角、边长比p 、泊松比µ情况下四边简支斜板中心集中荷载下任

16、意一点的挠度及弯矩,有利于斜板的理论研究和工程设计。 参考文献1 曹朗.中心集中荷载作用下弹性地基上自由斜板的弯曲分析J.江苏建筑,1996,58(1:46-48.2 严宗达.结构力学中的富里叶级数解法M.天津:天津大学出版社,1989.9.3 丁大正.Mathematica5在大学数学课程中的应用M.北京:电子工业出版社,2006.6.4 S.铁摩辛科,S.沃诺斯基.板壳理论M.北京:科学出版社,1977.5 叶卫平,方安平,于本方.Origin7.0科技绘图与数据分析M.北京:机械工业出版社,2004.Analytic Solution on Skew Plate Bending with

17、 Simply Supported under Central Concentrated LoadGe Fengguang1, Peng Jiawei21 Civil Engineering College of Hohai University, Jiangsu Nanjing (2100982 Engineering College of Huanghe S&T University, Henan Zhengzhou (450053AbstractOn this paper,using the oblique coordinates system parallel to the edge of the plate and a form of infinite Fourier series to represented the deflection and load, the article obtain the deflection and the internal force for a skew plate simply supported under