椭圆知识点归纳总结和经典例题

1、椭圆典型例题例1已知椭圆mx2+3y2 6m =0的一个焦点为(0, 2)求m的值.22解：方程变形为上+y-=1 .因为焦点在y轴上，所以2m6 ,解得m3. 6 2m又c=2,所以 2m-6 = 22, m=5适合.故 m=5.例2已知椭圆的中心在原点，且经过点 P(3,0), a = 3b,求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运 用待定系数法，求出参数a和b (或a2和b2)的值，即可求得椭圆的标准方程.22解：当焦点在X轴上时，设其方程为 与+与=l(aAb0 ).a b由椭圆过点P(3,0),知_92+g=i.又a=3b,代入得b2=1,

2、 a2 =9,故椭 a b2圆的方程为a+y2=1 .922当焦点在y轴上时，设其方程为 4+xy=1(aAb0).a b由椭圆过点P(3,0 ),知乌十鸟=1.又a = 3b,联立解得a2 = 81, b2=9,故椭圆 a2 b222的方程为匕十二=1 .819例3 MBC的底边BC =16 , AC和AB两边上中线长之和为 30,求此三角形重 心G的轨迹和顶点A的轨迹.分析：(1)由已知可得GC+GB=20,再利用椭圆定义求解.(2)由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求 A的轨迹方程.解：(i)以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系.设 G点坐标为（X, y ）,由G

3、C + GB= 20,知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因a=i0, c=8,有b = 6,22故其方程为工十L=i(y,0 ).i00 36（2）设 A（x, y）, G（x，,寸）,则 L+匕= i（y0）.i0036x3代入，得A的轨迹方程为 y3900 324= 1(y#0),其轨迹是椭圆(除去x轴上两点).例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P到两焦点的距离分别为 迤3和竺，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程. 3解：设两焦点为F1、F2，且PFi =2V5，一 、，PF2 =2 .从椭圆定义知32a = PFi 十PF2 =2底.

4、即 a=J5.从PFi|PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在RtPFzFi中，sin PF1F2 =PF2 iPFi 2可求出. PFiF2 =一6,2c = PE cos= 62.52,从而b22 i0=a - c = 一3222所求椭圆方程为 工+3匕=i或丝5 i0i02+5b2=ia b 0),长轴端点为A,x2例5已知椭圆万程-2 + aP是椭圆上一点，/AiPA2=8, /FiPF2=a.求：AFiPF2的面积(用b、口表1分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 a的两邻边，从而利用S =absinC求 2面积.解：如图，设P(x, y),由椭圆的对称性，不妨设 P(x, y)

5、,由椭圆的对称性，不妨设 P 在第一象限.由余弦定理知：222-2F1F2 =PFi +PF2 -2PF1 PF2 cosot =4c2 .由椭圆定义知：|PFi +|PF2 =2a ，则2得PFiPF22b21 c o s1.故S与pf2 =2|PFi PF2Sinc(12b221 cos ;sin工2例6已知椭圆+ y2 =12，1 1(1)求过点P 1,且被P平分的弦所在直线的方程；【2 2；(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过A(2,1 )引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;解：设弦两端点分别为M(x1, y1 ), N(x2, y2 ),线段MN的中点R(x, y

6、),则X2 +2y2 =2, Jx； +2y2 =2, x1 x2 =2x, y y2 =2y,一得(x +x2 1x2 )+2(y1 + y2 加1 y2 )= 0 .由题意知x1#x2,则上式两端同除以x1-x2,有y1 y2(x1+x2 2y + y2 r= 0 ,x1 一 x2将代入得x + 2yX二& = 0.x1 - x2(1 )将x =1 , y =1代入，得y1 - y2 =，故所求直线方程为： 22xx222x+4y3=0.超11将代入椭圆万程x2+2y2 =2得6y2-6y- =0, A=36-4m6m a0符合题意,442x +4y -3 =0 为所求.(2)将 左2=2

7、代入得所求轨迹方程为: x1 -x2x + 4y=0.(椭圆内部分)(3)将出二至=1 代入得所求轨迹方程为：x2+2y2 _ 2x _ 2y = 0 .(椭xi - x? x - 2圆内部分)例7已知椭圆4x2 + y2 = 1及直线y = x + m .(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点？(2)若直线被椭圆截得的弦长为 空，求直线的方程.5解：(1 )把直线方程y = x + m代入椭圆方程4x2 + y2 =1得4x2 +(x +m 2 =1 ,即 5x2+2mx+m2 1 =0 . =(2m f 4 M 5M(m2 1 )= 16m2 + 20 之 0 , 解得(2)设直线与椭圆的

8、两个交点的横坐标为x1, x2,由(1)得x,+x2 =2m5，2.m Tx1x2 二5根据弦长公式得：不孑2m2m2-12府在万/日八一 4 父-=.斛行 m = 0 .方0, n0),且不必去考虑焦点在哪个坐标 轴上，直接可求出方程.解：设所求椭圆方程为mx2+ny2 =1(m0, n0),由A3 , - 2)和B(-2#，1)两点在椭圆上可得mg)2+n 0 .解得2 132.13:二 m-131313413(法 2)同解法 1 得出 n = -4 m ,xo = 13 (-4 m) = m,113113y0 = -x0 m = _ - m (-m) m = -3m ,即 M 点坐标为(

9、m, -3m).444422A, B为椭圆上的两点，M点在椭圆的内部，. (Zm_+a3m_1 .解得2.132,13:二 m 1313(法3)设A(x , y1)，B(x2 , y2)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M 的坐标为(x0 , y0).2222.A, B在椭圆上，汉+江=1 ,红+巨=1 .两式相减得 43433( x +x2)(x1 x?) +4(y1 +y2)(y1 y2) =0,即 3 2xo(x1 -x2)+4 2y0(y1 - y2)= 0 . /. y1 y2 = 一0(为丰 *2) .xx24y03x又直线AB_Ll,kABki= 1 ,-04 =1,即

10、yo=3x04yo又M点在直线l上，y0 =4x0 +m。由，得M点的坐标为(-m,-3m).以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点A, B关于直线l包对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线AB与椭圆包有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式 &A0,建立参数方程.22(2)利用弦AB的中点M (x0 , yO)在椭圆内部，满足 汉十也1 ,将x, y0利用参 a b数表示，建立参数不等式.22例11已知P(4,2)是直线l被椭圆人+以=1所截得的线段的中点，求直线l的方369程.分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题.

11、通常将直线方程与椭圆方程联立消去y （或x）,得到关于x（或y）的一元二次方程，再由根与系数的关系，直 接求出+x2 ,取2（或乂+丫2, 丫缶）的值代入计算即得.并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析 几何中是经常采用的.解：方法一：设所求直线方程为y-2 = k(x4) .代入椭圆方程，整理得(4k2 +1)x2 -8k(4k -2)x+4(4k -2)2 -36 = 0设直线与椭圆的交点为A(x1 , yi) , B(x2, y2),则x、x2是的两根，8k(4k-2)x1 x2 一 4k2 1x1 x2 4k(4k-2)1: P(4,2)为AB中点，4 =二一2=一二-,k = . .所求直线万程为 24k2 12x+2y8=0.方法二：设直线与椭圆交点 A(x1，y)，B(x2 , y2) .P(4, 2)为AB中点，x1+x2=