有限元法对悬臂梁分析--MATLAB

1、用有限元法对悬臂梁分析的算例算例:如下图所示的悬臂梁， 受均布载荷q = 1N/mm2作用。E= 2. 1 x 105N/mm2,科=0.3厚度h=10mm。 现用有限元法分析其位移及应力。ly梁可视为平面应力状态，先按图示尺寸划分为均匀的三角形网格，共有 8X10= 80个单元，5X11 = 55 个节点，坐标轴以及单元与节点的编号如图。将均布载荷分配到各相应节点上，把有约束的节点51、52、53、54、55视作固定较链，建立如图所示的离散化计算模型。程序计算框图：I （续左）处理根部约束，修改Ki LQ程序中的函数功能介绍及源代码1. LinearTriangleElementStiffn

2、ess(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym)该函数用于计算平面应力情况下弹性模量为E、泊松比为NU厚度为t、第一个节点坐标为(xi,yi)、第二个节点坐标为(xj,yj)、第三个节 点坐标为(xm, ym)时的线性三角形元的单元刚度矩阵.该函数返回6X6的单位刚度矩阵k.2. LinearTriangleAssemble(K,k,i,j,m) 该函数将连接节点 i,j,m 的线性三角形元的单元刚度矩阵k 集成到整体刚度矩阵K。每集成一个单元，t函数都将返回2NX 2N的整体刚度矩阵K.3. LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xi,yi,xj

3、,yj,xm,ym,u)-该函数计算在平面应力情况下弹性模量为E、泊松比为NU厚度为t、第一个节点坐标为(xi,yi)第二个节点坐标为(xj,yj)、第三个节点坐标为(xm, ym)以及单元位移矢量为u时的单元应力。该函数返回单元应力矢量。函数源代码：function y = LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym)A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj)/2;%三角形单元面积，单元节点应该按逆时针排序，保证每个三角形单元的面积都为正值(也可作为一个小函数：LinearTriang

4、leElementArea )betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi;B = betai 0 betaj 0 betam 0 ;0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;gammai betai gammaj betaj gammam betam/(2*A);%的应变矩B其中 betai=yi-ym,betaj=ym-yi,betam=yi-yj.gammai=xm-xj, gammaj=xi-xm, gammam=xj-xi.D = (E/(1-

5、NU*NU)*1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2;%时弹性矩阵，分为平面应力问题和平面应变问题对于平面应力问题D = (E/(1-NU*NU)*1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2;对于平面应变问题E1=E/( 1-NU*NU)，NU1=NU(/ 1-NU)y = t*A*B'*D*B;%单元刚度矩阵function y = LinearTriangleAssemble(K,k,i,j,m)K(2*i-1,2*i-1) = K(2*i-1,2*i-1) + k(1,1); K(2*i-1,2*i) = K(2*i-1,2*i) + k(

6、1,2);K(2*i-1,2*j-1) = K(2*i-1,2*j-1) + k(1,3); K(2*i-1,2*j) = K(2*i-1,2*j) + k(1,4);K(2*i-1,2*m-1) = K(2*i-1,2*m-1) + k(1,5); K(2*i-1,2*m) = K(2*i-1,2*m) + k(1,6);K(2*i,2*i-1) = K(2*i,2*i-1) + k(2,1);K(2*i,2*i) = K(2*i,2*i) + k(2,2);K(2*i,2*j-1) = K(2*i,2*j-1) + k(2,3);K(2*i,2*j) = K(2*i,2*j) + k(2,

7、4);K(2*i,2*m-1) = K(2*i,2*m-1) + k(2,5);K(2*i,2*m) = K(2*i,2*m) + k(2,6);K(2*j-1,2*i-1) = K(2*j-1,2*i-1) + k(3,1); K(2*j-1,2*i) = K(2*j-1,2*i) + k(3,2);K(2*j-1,2*j-1) = K(2*j-1,2*j-1) + k(3,3); K(2*j-1,2*j) = K(2*j-1,2*j) + k(3,4);K(2*j-1,2*m-1) = K(2*j-1,2*m-1) + k(3,5); K(2*j-1,2*m) = K(2*j-1,2*m)

8、 + k(3,6);K(2*j,2*i-1) = K(2*j,2*i-1) + k(4,1);K(2*j,2*i) = K(2*j,2*i) + k(4,2);K(2*j,2*j-1) = K(2*j,2*j-1) + k(4,3);K(2*j,2*j) = K(2*j,2*j) + k(4,4);K(2*j,2*m-1) = K(2*j,2*m-1) + k(4,5);K(2*j,2*m) = K(2*j,2*m) + k(4,6);K(2*m-1,2*i-1) = K(2*m-1,2*i-1) + k(5,1); K(2*m-1,2*i) = K(2*m-1,2*i) + k(5,2);K

9、(2*m-1,2*j-1) = K(2*m-1,2*j-1) + k(5,3); K(2*m-1,2*j) = K(2*m-1,2*j) + k(5,4);K(2*m-1,2*m-1) = K(2*m-1,2*m-1) + k(5,5); K(2*m-1,2*m) = K(2*m-1,2*m) + k(5,6);K(2*m,2*i-1) = K(2*m,2*i-1) + k(6,1);K(2*m,2*i) = K(2*m,2*i) + k(6,2);K(2*m,2*j-1) = K(2*m,2*j-1) + k(6,3);K(2*m,2*j) = K(2*m,2*j) + k(6,4);K(2

10、*m,2*m-1) = K(2*m,2*m-1) + k(6,5);K(2*m,2*m) = K(2*m,2*m) + k(6,6);y = K; %寸号入座，如前所述，每集成一次都将返回2NX 2N的整体刚度矩阵 K.此题为110 X 110function y = LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u)A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj)/2;betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;gammaj

11、= xi-xm;gammam = xj-xi;B = betai 0 betaj 0 betam 0 ;0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;gammai betai gammaj betaj gammam betam/(2*A);D = (E/(1-NU*NU)*1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2;%平面应力和平面应变问题两种情况y = D*B*u; %单元应力计算主程序源代码E=21e7;NU=0.3;t=0.01;stifflike5=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.4,0.08,0.36,0.0

12、8,0.36,0.06,1)%选取2个基本单元，调用M文件stifflike1=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.4,0.08,0.36,0.06,0.4,0.06,1)K=sparse(110,110); %creat a xishu matrix for total stiff创建一个稀疏矩阵for i=1:49if rem(i,5)%模取余，bool 型变量，非零即为真j=i;K=LinearTriangleAssemble(K,stifflike5,j,j+5,j+6);%节点编号K=LinearTriangleAssemble(K,sti

13、fflike1,j,j+6,j+1);endend%等每个单元刚度矩阵集成到总刚中K=full(K);%转化稀疏矩阵k=K(1:100,1:100);k=K,zeros(100,10);zeros(10,100),eye(10);k=sparse(k);%利用边界条件简化基本方程Q=sparse(2:10:92,1,-200,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,110,1);%外部荷载，此处不包括约束条件，通过形函数确定，是不是可以理解为梁的两端为中间的一半呢？d=kQ; %高斯消元法，比克莱姆法则在计算速度上有绝对的优势！x=0:0.04

14、:0.4;plot(x,d(106:-10:6)%基本绘图命令grid %带网格y=zeros(80,3);q=0;for i=1:49switch rem(i,5)case 1j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2);u=u'xl=0.4;yl=0.08;xm=0.36;ym=0.06;xn=0.4;yn=0.06;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;cas

15、e 2j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2);u=u'xl=0.4;yl=0.06;xm=0.36;ym=0.04;xn=0.4;yn=0.04;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 3j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2);u=u'xl=0.4;yl=0.04;xm=0.36;ym

16、=0.02;xn=0.4;yn=0.02;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 4j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2);u=u'xl=0.4;yl=0.02;xm=0.36;ym=0;xn=0.4;yn=0;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'

17、xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;otherwiseq=q+3;endendq=4;for i=1:49switch rem(i,5)case 1j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12);u=u'xl=0.4;yl=0.08;xm=0.36;ym=0.08;xn=0.36;yn=0.06;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;c

18、ase 2j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12);u=u'xl=0.4;yl=0.06;xm=0.36;ym=0.06;xn=0.36;yn=0.04;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 3j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12);u=u'xl=0.4;yl=0.04;xm=0.

19、36;ym=0.04;xn=0.36;yn=0.02;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 4j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12);u=u'xl=0.4;yl=0.02;xm=0.36;ym=0.02;xn=0.36;yn=0;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;otherwiseq=q+3;endend