初中数学方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案

1、初中数学方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案一、选择题1.今年深圳的房价平均 20000元/平方米，政府要控房价预计后年均价在16000元/平方米，若每年降价均为 x%,则下列方程正确的是()_ 2_ 2A.20000(1x%)16000B. 20000(1 x%)16000_22C.20000(12x%)16000D. 20000 1 x %16000【答案】B【解析】【分析】已知今年房价及每年降价率，可依次算出降价后明年及后年的房价【详解】解：根据每年降价均为 x% ,则第一次降价后房价为20000(1-x%)元，第二次在20000(1-x%)元基础上又降低 x%,变为 20000

2、(1-x%)(1-x%)元，即 20000(1-x%)2, 进而可列出方程：20000(1 x%)2 16000故选B【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率与下降率问题，关键是公式a(1 x%)n b的应用，理解公式是解决本题的关键.2.对于一元二次方程 ax2+bx+c= 0 (aw(),下列说法：若b=2j£,则方程ax2+bx+c= 0 一定有两个相等的实数根； 若方程ax2+bx+c= 0有两个不等的实数根，则方程x2 - bx+ac= 0也一定有两个不等的实数根； 若c是方程ax2+bx+c= 0的一个根，则一定有 ac+b+1 = 0成立； 若x0是一元二

3、次方程 ax2+bx+c= 0的根，则b2-4ac= ( 2axO+b) 2,其中正确的( )A.只有B.只有C.D.只有【答案】B【解析】【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式 b24aC的值的符号就可以了. 难度较大，用到了求根公式表示x0.【详解】解：若b 2 ,方程两边平方得 b2= 4ac,即b2 - 4ac= 0,所以方程ax2+bx+c= 0 定有两个相等的实数根； 若方程ax2+bx+c= 0有两个不等的实数根，则b2-4ac>0方程x2- bx+ac= 0中根的判别式也是 b2- 4ac>0,所以也一定有两个不等的实数根; 若c是方程ax2+bx+c=

4、0的一个根，则一定有ac2+bc+c= 0成立，b . b 4ac52a当cwo时ac+b+i= 0成立；当c= 0时ac+b+1 = 0不成立； 若x。是一元二次方程 ax2+bx+c= 0的根，可得x0把 x0 的值代入(2ax0+b) 2,可得 b2- 4ac= (2aR+b)2, 综上所述其中正确的 .故选：B.【点睛】此题主要考查了根的判别式及其应用.尤其是难度较大，用到了求根公式表示x0,整体代入求 b2 4ac (2ax0 b)2 .总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1) 0 方程有两个不相等的实数根；(2) 0 方程有两个相等的实数根；(3) 0 方程没有实数根.x2

5、+x -1 = 0的一个根是(B.【答案】D【解析】【分析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断.【详解】,. a= 1, b= - 1, c= - 1,.= b2 4ac= 12 4X ( 1) =5,则x=所以xi-1一七5x2 =2故选：D.【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，解题关键在于掌握运算法则.4 .某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有 x名同学，根据题意，列出方程为()A. x (x+1) =1892 B. x (x-1 ) =1892 X2C. x (x-1 ) =1892 D, 2x (x+1) =189

6、2【答案】C【解析】试题分析：.全班有X名同学，每名同学要送出(x1)张；又是互送照片，总共送的张数应该是 x(x 1)= 1892.故选C.点睛：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组.计算全班共送多少张，首先确定一个 人送出多少张是解题关键.5 .方程x2 5x 0的解是()A. x 5B. x 5C. X 0,x25D. X 0,x2 5【答案】D【解析】【分析】提取公因式x进行方f算.【详解】提取公因式x得：x (x- 5)=0,所以x1 0 , x2 5 .故本题答案选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的计算，掌握提取公因式这一知识点是解题的关键6 .用配方法解方程x2 6x 4 0

7、时，原方程变形为()2222.A. (x 3)2 9 B. (x 3) 13 C. (x 3)2 5D. (x 3)2 4【答案】C【解析】【分析】方程整理后，配方得到结果，即可做出判断.【详解】解：方程配方得：x2+6x+5+4-5=0,即(x+3) 2=5.故选：C.【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.7 .如图，AC± BC, AC： BC 3:4, D是AC上一点，连接BD,与/ ACB的平分线交于点八8 c32E,连接 AE,若 S ADE Sbce 工，则 BC=()338【答案】B【解析】【分析】C. 53D. 10过E作EFBC,

8、EG AC,垂足分别为F,G,由角平分线的性质可得：EF EG,利用a 8S ADE , 3程求解即可.【详解】一 32S BCE 可以求信3AD,进而求得S CDE , S BCD的面积，利用面积公式列方BC解：如图，过E作EFBC,EG AC,垂足分别为F,G.QCE 平分 ACB,EF EG,Q AC :BC 3: 4 ,设 AC 3x, BC 4x,S BCE325'1-AD ?EG28 1 -,-BC?EF323ADBCCDACADADx,2x,S CDE2sADE163S BCD16332316.16,1 - ?2x?4x2x 2,（负根舍去）BC 4x 8.故选B.【点睛

9、】本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间的关系，一元二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键.8 .已知，m,n是一元二次方程 x2 3x 2 0的两个实数根，则 2 m2 4mn 6m的值为 ()A. 8B. 10C. 8D.12【答案】D【解析】【分析】先根据一兀二次方程的解的定义得到m2-3m=-2 ,则2m2-4mn-6m=2 (m2-3m) -4mn=-4-4mn,再根据根与系数的关系得到mn=2,然后利用整体代入的方法计算.【详解】m是一元二次方程x2-3x+2=0的实数根，m2-3m+2=0, ' m2-3m=-2, 2m2-4mn-6m=2

10、(m2-3m) -4mn=-4-4mn , m, n是一元二次方程 x2-3x+2=0的两个实数根，mn=2,. 2m 2-4mn-6m=-4-4 x 2=-12故选：D.【点睛】此题考查根与系数的关系，解题关键在于掌握若xi, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw»的两根时， xi+x2=-xix2 -.a a9.若一元二次方程 x2- 2x- m = 0无实数根，则一次函数 y= (m+1)x + m 1的图象不经 过第()象限.A.四B.三C.二D. 一【答案】D【解析】【分析】【详解】一元二次方程 x2- 2x - m = 0无实数根， =4+4m<0,即 m

11、<-1 一次函数的比例系数m+1<0,图像经过二四象限截距m-1<0,则图象与y轴交与负半轴，图像过第三象限，一次函数y =(m+1)x + m - 1的图像不经过第一象限，故选 D.10.已知X1、X2是一元二次方程x2 2x 0的两个实数根，下列结论错误.的是()A.xix2B.x22xi0C.Kx22 D.xix22【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系 逐一进行分析即可.【详解】xi、x2是一元二次方程 x2-2x=0的两个实数根，这里 a=1, b=-2, c=0,b2-4ac=(-2)2-4 x 1

12、 x 0=4>0所以方程有两个不相等的实数根，即X x2,故A选项正确，不符合题意；2x12x 0,故B选项正确，不符合题意；b2八一、一八一八人口x1 x2 2,故C选项正确，不符合题意；a 1cX x2 - 0,故D选项错误，符合题意，a故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知 识是解题的关键.一 一 ，、一. 2311.若关于x的一兀二次方程 kx x -40有实数根，则实数 k的取值范围是(A. k 01B. k3C.11一且 k0 D. k一33k的不等式，解根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于

13、得即可，同时还应注意二次项系数不能为0.23关于x的一兀二次万程 kx x 0有实数根，4=b2-4ac>p即：1+3k>0, m1解得：k 一，3,关于x的一元二次方程 kx2-2x+1=0中kwQ故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方 程根的情况.12 .用配方法解方程：x2-2x-3=0时，原方程变形为()A. (x+1) 2=4B. (x- 1) 2=4C. (x+2) 2=2D. (x-2) 2=3【答案】B【解析】试题分析：将原方程的常数项-3变号后移项到方程右边，然后方程两边都加上1,方程左边利用完全平方公式变

14、形后，即可得到结果.解：x2- 2x- 3=0,移项得：x2-2x=3,两边加上1得：x2- 2x+1=4,变形得：(x- 1) 2=4,则原方程利用配方法变形为(x-1) 2=4.故选B.13 .关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是()A. a> 1B. a=1C. a< 1D. a<1 且 aw。【答案】D【解析】【分析】由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是awq然后再根据原方程根的情况，利用根的判别式建立关于 a的不等式，求出a的取值范围.【详解】解：由于原方程是二次方程，所以awq.原方程有两个不相等的实数根， =b2

15、-4ac=4-4a>0 ,解得 a< 1;综上，可得awq且a<1 ；故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式 的关系：(1)>0?方程有两个不相等的实数根；(2)A=0?方程有两个相等的实数根；(3)A< 0?方程没有实数根.14.已知xi、X2是关于x的方程x2- ax- 2=0的两根，下列结论一定正确的是()A. xiW2B. xi+x2>0C. xi?x2>0D. xiv0, x2< 0【答案】A【解析】分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出 q。,由此即可得出xiW2,结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出xi+

16、x2=a,结合a的值不确定，可得出 B结论不一定正确；C、根据根与系数白关系可得出xi?x2=-2,结论C错误；D、由xi?x2=-2,可彳#出xi< 0, x2>0,结论D错误.综上即可得出结论详解：A; = ( a) 24><iX( 2) =a2+8>0 , 1-xi2,结论A正确；B> -. xk x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，xi+x2=a,a的值不确定， .B结论不一定正确；C、xi、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根， xi?x2=- 2,结论 C 错误；D、 xi?x2=- 2, xi<0, x2>0,结论 D

17、 错误.故选A点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记 当4> 0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键i5 某种植基地20i6 年蔬菜产量为i00 吨， 20i7 年比 20i6 年产量增长8.i%， 20i8 年比20i7年产量的增长率为 x, 20i8年底产量达到i44吨，则x满足()A. i00 (i+x) 2=i44B. i00 (i+8.i%) (i-x) = i44C. i00 (i+8.i%) +x= i44D, i00 (i+8.i%) (i+x) = i44【答案】D【解析】【分析】由题意知，20i7 年蔬菜产量为：i00( i+8.i%)，20i8 年

18、蔬菜产量为：i00( i+8.i%)(i+x),然后根据20i8年底产量达到i44吨列方程即可.【详解】解：某种植基地 2016年蔬菜产量为100吨，2017年比2016年产量增长8.1%,2017年蔬菜产量为：100 (1+8.1%),2018年比2017年产量的增长率为 x, 2018年底产量达到 144吨， .2018 年蔬菜产量为：100 (1+8.1%) (1+x) =144, 故选D.【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键16.深圳沙井某服装厂 2017年销售额为8亿元，受中美贸易战影响，估计 2019年销售额 降为5.12亿元，设平

19、均每年下降的百分比为x,可列方程为()A. 8 (1-x) = 5.12B. 8 (1+x) 2=5.12C. 8 (1-x) 2=5.12D. 5.12 (1+x) 2=8【答案】C【解析】【分析】一般用降低后的量=降低前的量x (1-降低率)，降低前的价格设为1,则第一次降价后的价格是(1-x),第二次降价后的价格是(1-x) 2,可得出方程.【详解】设平均每次降价的百分比为x,则根据题意可得出方程为：8 (1-x) 2=5.12;故选C.【点睛】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为 x,则经过两次变化后的数量关系为 a(1±M 2=b (

20、当增长时中间的“军选“+,”当降低时中间 的“埒选产).17.已知关于x的一元二次方程ax2 bx c 0的根为2和3,则关于x的一元二次方程 ax2 bx c 0 的根为().A.2, 3B. 6,1C, 2, 3D,1,6【答案】B【解析】【分析】由2, 3是一元二次方程 ax2+bx+c=0的两个实数根，可以得到如下四个等式：2+3=-b=-5, 2X3=c=6；再根据问题的需要，灵活变形. aa【详解】bc因为2和3是万程ax2+bx+c=0的根，所以2+3=-，2X3=；aa2c _b b _故一兀二次方程ax-bx-c=0 的根满足 xix2=-=-6，xi+x2= =5；aa a

21、将A、B、C、D的值代入式中，只有B项满足.故答案选B.18 .方程x2-9x+14=0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( )A. 11B. 16C. 11 或 16D.不能确定【答案】B【解析】【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再分情况讨论求解可得.【详解】,/x2- 9x+14= 0,(x - 2) (x - 7) = 0,贝U x- 2=0 或 x- 7=0,解得x= 2或x= 7,当等腰三角形的腰长为 2,底边长为7,此时2+2V7,不能构成三角形，舍去；当等腰三角形的腰长为 7,底边长为2,此时周长为7+7+2=16,故选：B.【点睛】此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因 式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.19 .对于两个不相等的实数 a, b,我们规定符号 maxa, b表示a、b中的较大的数，如： max2, 4=4,按照这个规定，方程 maxx, - x