1-5极限运算法则07304

1、第五节极限运算法则极限运算法则求极限方法举例小结一、极限运算法则定理 设 1 im/(x) = A,limg(x) = 则(1) lim/(x) ± g(x) = A±B;(2) lim/(x).g(x) = A.B;(3) = 其中BhO g(x) B推论1如果limy存在，而c为常数，则limc/*(x) = clim f(x).常数因子可以提到极限记号外面.推论2如果lim/存在,而兀是正整数，贝IJlim/(x)r =lim/(x)r.二、求极限方法举例r3 _例1求鹦不"解 91im(x2-3x + 5) = limx2 -lim3x + lim5F32

2、xt2x2=(limx)2 -31imx + lim5x-2x->2x-2=22 3-2 + 5 = 3工0,”3_limx3 -liml 刃 1 u Hm一=322= / _丄 _ >_x->2 x2 -3x + 5 lim(x2 -3x + 5)3332小结：1设 f(x) = aoxn +a1xn1 +A +a“,则有 lim /(x) = «0(lim x)nx)nl +A +an兀_兀0X->X0兀 T 兀()= aoxon +a1xon1 + A +an =f(x0).2S）需，且 g。,则有P(兀 0)2U0)=/（兀o）lim P(x)lim/

3、(x)= 3%lim Q(x)若0（必）= 0，贝!I商的法则不能应用4* 例2求悝齐商的法则不能用解 9 lim(x2 + 2兀一 3) = 0,XT1又 ) lim(4x -1) = 3 工 0,兀？ + 2x 3兀 ti 4x -1由无穷小与无穷大的关系，得兀 +厶兀一»例彳求卿n解兀T1时,分子,分母的极限都是零.（十型）先约去不为零的无穷小因子兀-1后再求极限2宀1 =limx + 2x 3 (x + 3)(x 1)(兀+ 1)(1)limX->1si x + 32（消去零因子法）例4求limX-OO2x + 3x + 57x3+4x2-1解 兀Too时,分子，分母的

4、极限都是无穷大（°°型）00先用兀法除分子分母，分出无穷小，再求极限.C 3 5XT002兀彳+ 3兀2 + 57x3 +4x2 -1X->0021兀 兀r7 + 二_二（无穷小因子分出法）小结:当仇工0,%丰0,加和为非负整数时有limX>00討当T=0，当 >maxm +aixml +A +%bQx" +blxn1 +A +bn无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幕除分 子，分母，以分出无穷小，然后再求极限求 lim（t + 三 + A + $）is n nn解 T 8时，是无限多个无穷小之和.先变形再求极限.z 12n .1 + 2 + A

5、 + nH2lim（飞 + 飞 + A + r） = lim 死TOO nLnn川TOO+i）nco= lim-（l + -）川一8 2nX->00例7设于（兀）=1 一兀，兀vO亠 宀1,小0求姣小）Ox解兀=0是函数的分段点，两个单侧极限为lim /(x) = lim(l-x) =1，xtO一xt(tlim /(x) = lim (x2 +1) = 1,x>0+x>0+左右极限存在且相等，故 lim/(x) = 1.x0定理(复合函数的极限运算法则)设函数U = g) 当兀-»必时的极限存在且等于a,即lim(p(x)=a,X-Xq但在点必的某去心邻域卩 勺0(

6、兀)州Xlim/(M)= A,u>a贝|J复合函数f(p(x)当兀时的极限也存在，lim= lim f(u) = A.x-»x0u>a意义:lim f(p(x)lim/(w)u>a令眈=(p(x)a = lim(p(x)x->x0请看课本第49页的例题9、例题10三、小结1、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法;氐多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限；C.无穷小因子分出法求极限；d. 利用无穷小运算性质求极限；e. 利用左右极限求分段函数极限.3、复合函数的极限运算法则思考题在某个过程中，若于(兀)有极限，g(巧 无极限，那/(x) + g(x)是否