二重积分的计算方法精选.docx

1、下,积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决.在直角坐标系 被积分函数f（x, y）在积分区域D上连续时，若D为X型区域（如图 Q < <（X, y） 1（X）X1),即<< )<p cp2(X), a"X !> ,其中 1( X), 2(X)在a, b上连续，则有b¥(x)JJ f(X, y)d b = J dx b f(X, y)dy ；Da1(X)(1)若D为y型区域（如图_ 屮 、2),即 D ( X, y) I ( y)yV - '2(y),c-y-d 其中 Ky)

2、,笃(刃在C, d 上连续，则有图1屮(2)H f ( X, y)d 0 = J dy G " f ( x, y)dx c' I (y)D例1计算J/ydxdy,其中D是由x =2 , y = x ,及xy = 1所围成. D x2分析积分区域如图r J3所示，为X型区域D= （x,yp二心宁4确定了积分X区域然后可以利用公式（1）进行求解.解积分区域为X型区域Fx,y| x2,yxx则1.2积分区域非X型或Y型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的 X型或y型区域，不 能直接使用公式(1)或者(2)进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若

3、干X型(3)或y型区域，然后利用公式n f( X, y)db = /J f(x, y)cP + J/ f( X, y)旳 + JJf ( x, y) WDDiD2D3进行计算,例2计算二重积分jjdb ,其中D为直线y =2x, X =2y及x+尸3所围成的区域.D但是将町分析：积分区域D如图5所示，区域D既不是X型区域也不是y型区域,D划分为rDi = 2fx, yrX1幺 x<l,-<y < 2x'2丿均为Dz =(x, y j X -3,2 y-y -3 "x)区域，进而通过公式(3)和(1)可进行计算.解D划分为rD "(x, y)Ow1

4、Xc !X<1,- <y < 2x,2 JD2 = Qx, y i 1- 3,2 y-y - 3xy=2xx=2y0X型1.3被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算.例3计算二重积分JJ Jy -x?Ddxdy ,其中D为区分析由于被积函数含有绝对值，其原函数不能得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函身，不难发现当我们把积分区域划分为< y < 2 r f 任 y < x2D,

5、=5， U2 = s两部分后，被积函t'l-x- 1Ll-x- 1直接求数本X数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得.解区域D如图6町分为Di UD2，其中兰2, D2J0 令第一戶X 3一1全章由公式（3）则2利用变量变换法计算定理1 设f（x, y）在有界区域D上可积，变换T : x=xCi. V ） y = y（u，v ）将u,v平面按段光滑封闭曲线所围成的区域 一对一地映成x,y平面上的区域D,函数x£vy（u,v穽内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式Jup ）=字也e（u, V）(u,v 则J/ f ( X, y)da 二 fjf (xp,

6、v u(v )jj (u,v jdudv DA(4)式叫做二重积分的变量变换公式，2.1根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算.X牛例4求JJeXpdxdy,其中D是由x = 0, y =0, x卞尸所围曲线（D分析由于被积函数含有e的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函 数，如果做替换T： U X y =v ?y.在变换h作用下区域D的原像如图8所浪 根据二重积 分的变量变换公式，积分计算就简单了.L =l/U+vI 9 '解做变换T;彳|y所以XTf

7、e 啪 dxdy = JJe'" _ dud= f duj e"dii D22 0 V2.2根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有u = fCy乂 =g（x,y）Mm<un,« <v<P ,则把xy平面上的积分区域D对应到uv平面上简单的矩形区域A,然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算.例5求抛物线y2 = mx, y2 = nx和直线y =ctx, y = x所围区域D的面积卩（D ）分析D的面积卩（D）=JJdxdy实际是计算二重积分/Jdxdy,其被积函数很简单,但是

8、积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现m=于I,n=昇；a =y,P=丄，如果XXXX则有 m 岂 <n,a <v < P ,解D的面积卩（D ）= /JdxdyD作变换f ujx =T : V 2， = tm,n lot, P 】I Vy I u所以updv口(D )= JJ dxdy= fjzrdudv = f - DNv叭.n("-n?! p3 一a、'udu=mg P例 6 求 H dxdy . D : xy=l, xy =3, y2 = x, =3x 所围区域. Dy xy分析积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换 T： U =2=4 它把xy

9、平面X上的区域D对应到UV平面上的矩形区域在变换T作用卜，区域D的原像 = ( u, 1 u 3, v3 , J (u, V )=工03v2 3x 3 dxdy1D y xyAV uv 3vdudv dv du3知2.所以2.3利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有f（X2+y2）、f打或fly丿p 形式或积分区域的边界曲线用极坐标 lx丿方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换I =9T : 4 X r cos ,0 < 6 <,0§6<2兀=0vy r sin这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一

10、对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为（1）如果原点0疋D,且xy平面上射线e =常数与积分区域D的边界至多交于两点，则必可表示为r,(日)勺 02 (B)，a P则有P r2/Q(5)Jf f(X, y Qxdy = J d 0 f 丿 fljr cosQ, r sin 6 )rdr D0炉)类似地，若xy平面上的圆r =常数与积分区域D的边界至多交于两点，则 必可表示为01 (r )<8 <02 (r > ri <r 5那么(6)D，« )表示成(2)如果原点O为积分区域D的内点，D的边界的极坐标方程为rF=(6 ),贝陋可0<r

11、< r(0 ),0<0 <兀则有2江 *7珀Jf f( X, y jixdy = j 曲丿f p cos 0, r sinQ ydr D00(7)(3)如果原点O在积分区域D的边界上，则为0<r < r(9 ) , a <Q <P那么P r(Bf J f ( X, 9 dxdy= f dB J ' /f f cos ,r sin dr (8 )daD彳列7 i十算I = J J =,其中D为圆域：XD d F x2 - y2分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为f(x2+y2),且原点为D的内点,fx = r co® ,0 -

12、r-1故可采用极坐标变换T:(厂心店0知可以达到简化被积函数的目的解作变换j x= r cos。,。W -1< y = r sin日,0- ® - 2则有-f IsI (fi = r = Ztt.Jo 0例8计算二重积分fjydxdy ,其中D是由直线x =-2, y =0, y会，以及曲线D积分半圆区而2 2ydxdydxf dy = 4 ,2 *0故原式8 严7；-1 -2cos 2 B +1 + cos2.4利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换:并且雅可比行列式J 4 V ) = abr日 Xbrdrd ®同样有J7 fX, y

13、)dxdyfa£lco6 , br s§iDIfJ分析 根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换例 9 计算 Ic4 J/ J -rdxdy ,其中 Dx,州( Da bfx =ar cos QO <r <1T J兀，可以达到简化积分区域和被积函数的R的.jy =brsin Qo £ I2解作广义极坐标变换 =ar cos 60 <r <1T: J二I y =br sin 9,0 <0 < I2兀， J(u，v)=abr3某些特殊函数的计算3.1利用积分区域的对称性简化二重积分的计算如果D可以分为具有某种

14、对称性(例如关于某直线对称，关于某点对称) 的两部分D1和D2 ,那么有如果f(X, y在D1上各点处的值与其在D2上各对称点处的值互为相反数，那么如果f(X, y在D1上各点处的值与其在D2上各对称点处的值恒相等，那么Hf Ryd b =2用,yd)b = /£"DD|D2例10计算JJx? ydxdy,其中D为双曲线x? -y2 =1及y = 0,于1所围成区域.D分析首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到 (f X,庐x2 y为X的偶函 数，另一方面D关于y轴对称，且f (x,y在D1在D2上各点处的值与其在D2上各对称点 处的值恒相等，然后再化为累次积分计算.

15、解积分区域如图11所示：D1为D在第一象限内的部分，f(x, y庐y为X的偶函数，由对称性有宜选择先对X后对y的积分次序D关于y轴对称,故原式f dy = (1 爼15V=-(153.2分段函数和带绝对值函数的二重积分分段函数：首先画出被被积函数和积分区域 形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成 个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论.被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号， 域，使每个子区域上被积函数的取值不变号.例11求HD同样也将积分区域划分成若干个子区x2+“2寸-4 dxdy ,其中D为X2+y 2-9围成的区域.分析被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得x2 + y2 - 40及x2+y2-4勺的两部分，在两部分上分别积分后，再相加.计算 的图 若干解 为去绝对值号，将D分成若干个子区域，即在D1内2 + y2 4 =4 好在D2内故原式2+y2_4Jf(4-x2 _y2)dxd 旷口(x2 + y 24 担xdy,DID2利用