第九篇解析几何方法技巧2圆锥曲线的综合应用

1、方法技巧2圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题【考情快递】最值问题是高考的热点，可能出选择题、填空题和解答题.方法1：定义转化法根据圆锥曲线的定义列方程；将最值问题转化为距离问题求解题步骤解.解析如图所示,|.又|PA|+ |PF' |AF'匸5,将|PF| 4= |PF '|代入，得 |PA| + |PF| 4>5,适用情况此法为求解最值问题的常用方法，多数题可以用.22【例1】？已知点F是双曲线X4 iy2= 1的左焦点，定点A的坐标为（1,4）, P是双曲线右支上的动点，贝U |PF| +|PA|的最小值为即 p F| 4= |PF'即|PA+|

2、PF|>9,等号当且仅当A, P, F'三点共线,即P为图中的点Po时成立，故|PF| + |PA|的最小值为9.故填9.答案 9方法2:切线法解题步骤 求与直线平行的圆锥曲线的切线； 求出两平行线的距离即为所求的最值.适用情况当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时用此 法.2【例2】？求椭圆X" + y2= 1上的点到直线y= x+厶/3的距离的最大值和最小值,并求取得最值时椭圆上点的坐标.解 设椭圆的切线方程为y=X+ b, 代入椭圆方程，得3x2 + 4bx + 2b2 2 = 0.由= (4b)2 4X 3X (2b2 2)= 0,得 b=

3、77;3.当b=/3W,直线y= X+V3与y= x+ 2筋的距离di = ¥，将b=/3代入方程3x2+ 4bx + 2b2 2 = 0,解得x=攀此时=¥，即椭圆上的点攀普”直线y=x+2羽的距离最小，最小值是 並当b=/3时，直线y=X羽到直线y= x+ 2羽的距离d2= 326,将b=羽代入方程 3x2+ 4bx + 2b2 2= 0,解得x=警，此时y=警,即椭圆上的点3,普卜直线y=x+23的距离最大，最大值是方法3:参数法解题步骤 选取合适的参数表示曲线上点的坐标； 求解关于这个参数的函数最值.适用情况可以用参数表示某个曲线并求得最值的问题.2【例3】？在平面

4、直角坐标系xOy中，点P(x, y)是椭圆号+ y2= 1上的一个动点,则S= x+ y的最大值为.2解析 因为椭圆+y2= 1的参数方程为|x= geos ©（©为参数）.：y= sin 6故可设动点P的坐标为(73cos(，sin(D,n,所以，当A6h /31、牙cos ©+ 2si n ©厂 2sin其中 0 W ©< 2 n.因此 S= x+ y=73cos ©+ sin 片 2时，S取最大值2.故填2.答案 2方法4:基本不等式法解题步骤 将最值用变量表示. 利用基本不等式求得表达式的最值.适用情况最值问题中的多数问

5、题可用此法【例4】？设椭圆中心在坐标原点，A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点，直线y= kX(k >0)与椭圆相交于E, F两点，求四边形AEBF面积的最大值.2解 依题设得椭圆的方程为4+y2= 1.直线AB, EF的方程分别为X+ 2y= 2, y= kx(k>0).设 E(X1, kXl) , F(X2, kX2),其中 X1 < X2,且 X1, X2满足方程(1+ 4k2)x2= 4,故 X2= X1 = =21 + 4k根据点到直线的距离公式和式, 得点E，F到AB的距离分别为h _ |X1 + 2kX1 2|_ 21 + 2k+/1 + 4k2)h1r_

6、5(1 + 4k2)，|X2+ 2kX2 2| 2(1 + 2kp 1 + 4k2)h2_V5_51+5，又AB|_722+ 1 _/5,所以四边形AEBF的面积为11 厂 4(1 + 2k)2(1 + 2k)S=2AB|(h1+h2)=沙r/1+4k2 + 4k -匚=叫一+厂2血1当2k= 1,即k= 2时，取等号.所以四边形AEBF面积的最大值为2慣.、圆锥曲线的范围问题【考情快递】 圆锥曲线中的范围问题是高考中的常见考点，一般出选择题、填空题.方法1：曲线几何性质法【例1】解题步骤由几何性质建立关系式；化简关 系式求解.适用情况利用定义求解圆锥曲线的问题.X y?已知双曲线孑一bM 1

7、(a>0, b>0)的左，右焦点分别为F1, F2,点Pe的取值范围是在双曲线的右支上，且PFi| = 4|PF2|,则此双曲线的离心率解析 根据双曲线定义|PFi|-|PF2|= 2a,设PF2匸r,则PF1匸4r，故 3r = 2a,g卩 r = y, |PF2匸y.根据双曲线的几何性质，P F2| > c- a,即yc-ac 55即3，即 ew3.又 e> 1,故双曲线的离心率e的取值范围是(1, 3故填(1, 1答案方法2:判别式法解题步骤 联立曲线方程，消元后求判别式； 根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解.适用情况当直线和圆锥曲线相交、相切和相离

8、时，分别对应着直线和圆锥 曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零.此类问题可用判别式法求解.【例2】？(2011浏阳一中月考)在平面直角坐标系xOy中，经过点(02)且斜率2为k的直线I与椭圆I + y2= 1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；设椭圆与X轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为 a, B,是否存在常数m,使得向量OP+OQ与AB共线？如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由.解(1)由已知条件，知直线I的方程为 尸kx+/2,2代入椭圆方程，得乡+(kx+羽)2 = 1,整理得(1+汙由直线I与椭圆有两个不同的交点P和Q, 得= 8k2 4+ k

9、2卜4k2 2>0, 解得k< ¥或k>¥， 设 P(xi, yi), Q(x2, y2),即k的取值范围为/OOX则OP+ oQ =(X1 + X2, y1 + y2).由方程，知X1+ X2= 1+2 ：2 .又 yi + y2= k(xi + X2)+ 2也=1+2. 由 A(U2, 0), B(0,1),得AB=(迈，1).所以OP+ oQ与AB共线等价于 X1 + X2= >72(y1 + y2), 将代入，解得k=¥.J22由(1)知k< 专或k*2， 故不存在符合题意的常数k.三、圆锥曲线的定值、定点问题【考情快递】 此

10、类问题也是高考的热点，圆锥曲线中的定值问题是指某些几何 量不受运动变化的点的影响而有固定取值的一类问题，定点问题一般是指运动变 化中的直线或曲线恒过平面内的某个或某几个定点而不受直线和曲线的变化影 响的一类问题.方法1:特殊到一般法解题步骤 根据特殊情况确定出定值或定点； 对确定出来的定值或定点进行证明.适用情况根据特殊情况能找到定值（或定点）的问题.2【例1】？已知双曲线C: X2 专=1,过圆0: X2 + y2= 2上任意一点作圆的切线l，若I交双曲线于A, B两点，证明：/ AOB的大小为定值.证明 当切线的斜率不存在时，切线方程为 x= ±2. 当x/2时，代入双曲线方程，

11、得 尸 ±2，即 A（a/2, >y2）, B（V2,V2），此时/ AOB = 90°同理，当 x=72时，/ AOB= 90°当切线的斜率存在时，设切线方程为 y= kx+ b,则，即 b2 = 2(1 + k2).V1+ k由直线方程和双曲线方程消掉y,得(2 jx? 2kbx (b? + 2) = 0,由直线I与双曲线交于A, B两点.故 2 k2 工 0.设 A(X1, y1), B(x2, y2).丽 I 丄2kb (b2+ 2)则 X1 + X2= 2 k2，X1X2=2 k2 ，2 2y1y2 = (kx1 + b)(kx2 + b) = k

12、 X1X2 + kb(X1 + X2) + b k2b2 2k2 2k2b2 2b2 k2b2 2b2 2k2二2k2+ 2?+二 T，挤b2 22b2 2k2 b2 2(1+ k2)故 X1X2 + yiy2= 2 k2 + 2 k2 =2 k2由于 b2= 2(1 + k2),故 X1X2 + yiy2= 0,即 OA OB = 0,/ AOB = 90°综上可知，若I交双曲线于A, B两点,则/ AOB的大小为定值90°方法2:引进参数法解题步骤 引进参数表示变化量； 研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点.适用情况定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变

13、量与参数没有关系的点（或值）即是定点（或定值）.【例2】？如图所示，曲线Ci： I + 8 = 1,曲线C2： 4x,过曲线Ci的右焦点F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线Ci, C2依次交于B, C, D , E四点.若G为CD的中点、H为BE的中点，证明iCDl GF2I|为定值证明 由题意，知 F1（ 1,0）, F2（1,0）,设 B（X1, y1）, E（x2, y2）, C（X3, y3）, D（X4,y4),2 2直线y= k(x 1)，代入X9 +卷=1,得 8 #+ 1)+ 9y2 72= 0,即(8 + 9k2)y2 + 16ky 64k2 = 0,2门“16k64k2

14、则y1+y2二-8+9?，y1y2二-8+泰.同理，将 y= k(x 1)代入 y2 = 4x,得 ky2 4y-4k= 0,4则 y3+ y4= k， y3y4= 4,1所以 |BE|GF2|= |y1 y2| 2|y3+Y4|CD| |HF21- 3-y4|2|y1+ y2|/(y1- y2f (y3+ wf(y1 + y2) iy3 y4).2 f（y1 + y2） 4y1y2（y3 + y4）（y1 + y2）（y3 + y4）-4y3y4/竺丫+4 X 64k2/（8 + 9k2 $8 + 9k2Ik丿(8 + 9k 2方法运用训练21.设P是曲线y2 = 4x上的一个动点，则点P到

15、点A( 1,1)的距离与点P到x= 1直线的距离之和的最小值为().A.承 Ba/3 C.張 D.V6A7A解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0), 准线是x= 1,由抛物线的定义知:点P到直线x= 1的距离等于点P到焦点F的距离;于是，问题转化为：在曲线上求一点 P,使点P到点A( 1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小；显然，连 AF交曲线于P点.故最小值为1,即为75.答案 C2.椭圆b2x2+ a2y2 = a2b2(a> b>0)和圆x2 + g+ c)有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆离心率e的范围为()B. 0<ev¥A巫 3A.

16、5 < e< 5C.5 < e< 5V3V5D.5 < e< 5解析 此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0, b)一个在圆外、一个在圆内即:空/C+Q吃>2aa> 2+ cr 21 22(aC)>4a -cbv b+ cc< 2c。乐 3 ? 5 V eV 5.答案 A2 23. (2011长郡中学1次月考)设F是椭圆Y+y6 = 1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i = 1,2,3,)，使|FPi|, FP2|, |FP3|,组成公差为d的等差数 列，则d的取值范围为.解析 若公差d>0,则|FPi|最小，|

17、FP1|=V71;数列中的最大项为'/7+1,并设为第n项, 则V7+ 1/7 1 + (n 1)d? n=d+ 1>21? d< 10,1 1注意到 d>0,得 0Vd< 10；若 dv0,易得10= dv0.- 1那么，d的取值范围为10 0 1答案 110,4过抛物线y2= 2px(p>0)上一定点P(X0, y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于 y1 + y2A(x1, y1), B(x2, y2),当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，则 匕厂的值为yo解析 设直线PA的斜率为kpA, PB的斜率为kPB, 22y1 y02P由 y1

18、= 2px1, y0 = 2px0, 得 kFA=,X1 X0 y1 + y0同理 kpB= 2P ,y2+ y0由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,因此匕-=-，即 y1 + y2= 2y0(y0> 0),y1 + y0y2 + y0y1 + y2那么2.答案 25.椭圆b2x2+ a2y2 = a2b2(a>b>0)的左焦点为F,过F点的直线I交椭圆于A, B两点，P为线段AB的中点，当 PFO的面积最大时，求直线l的方程.解 求直线方程，由于F( c,0)为已知，仅需求斜率k,yi + y2设 A(xi, yi), B(x2, y2), P(x0, y。)，贝U y0= 21c由于$ PFo= 2|of| |y0匸2|y0|只需保证|y0|最大即可,由 P 22(专2)22? (b2 + a2k2)y2 2b2cky b4k2= 0, lb x + a y = a by1 + y2b2ck.2 , 2 22b + a k|yo|=b2c V bC 带 + a2|k| 2a bc2b2b得：SapfoV ，此时 jkj= a2|k|? k=盲， 故直线方程为：y= ±"(x + c).a6.(长沙雅