数列通项、数列前n项和的求法例题+练习

1、v1.0可编辑可修改22通项公式和前n项和一、新课讲授:求数列前N项和的方法1.公式法(1)等差数列前n项和:S n(a1 an)Snna1 3d' 2特别的，当前n项的个数为奇数时，S2k 1 (2 k 1iak1，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。(2)等比数列前n项和: q=1 时，Sn na q 1, Sn at，特别要注意对公比的讨论。1 q(3 )其他公式较常见公式:仁SnSnnk2k 1护 1)(2n 1)3、Snnk3k 122n(n 1)例1已知log3 xlog 2 3，求x2x3的前n项和.例2设 S= 1+2+3+ +n, n N,求

2、f (n)Sn(n 32)Sn1的最大值.a n -bn的前n项和，其中分别是等差数列和等比数列例3求和:Sn3x5x27X3(2n 1)xn 1例4求数列6尹,尹2n前n项的和.2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列练习:2求：Sn=1+5x+9x + - +(4n -3)x n-1当x=1时,当X工1时,答案:2$=1+5+9+(4n-3) =2n-n牛n)+1-( 4n-3) xn 1-X L 1-X3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个 g

3、 aj.例 5求sin21 sin2 2sin2 32 2sin 88 sin 89 的值4. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列,若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等例6求数列的前1n项和：11,'a练习：求数列1 1 112,24,38，?,(n1班）,？的前n项和。比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可14,p 7,a5. 裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)anf(n 1)f(n)sin 1cos n cos(n 1

4、)ta n(n 1)tan nan1n(n 1)an(2n 1)(2n1)ann(n 1)(n 2)2n(n 1)(nann 2n(n 1)12n2( n 1) nn(n 1)12n1n 2n 1(n 1)2n,则 Sn11(n 1)2n例91求数列-1的前n项和.例 10在数列an中，an例 11求证:解:n P，又 bn12一 ,求数列bn的前n项的和.anan 1cos1cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos89111cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos89si n1-tan(n 1) tan nsn cos(n 1)111cos0 cos1cos1 c

5、os2cos88 cos891(tan 1 sin1tanO ) (tan2tan1 ) (ta n31 (tan 891tan 0 )一cos1cot 1 2sin 1si n1sin 1原等式成立1 丄丄丄3153563之和。111设S- Stan2 ) tan89练习：求sin21（裂项）（裂项求和）tan88 6.合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S.例 12 求 COS1 ° + COS2 ° + COS3+ COS178 ° + COS179。的值.例14在各项

6、均为正数的等比数列中，若a5a69,求log 3a1log 3 a2log 3 aio 的值.7.利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n项和，是一个重要的方法例 15求 1 11 1111111之和.n个1练习：求5, 55, 555,，的前n项和。使其能以上一个7种方法虽然各有其特点， 但总的原则是要善于改变原数列的形式结构,进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决,要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。、公式法（定义法）求数列通项公式的八种方法根据等差

7、数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法1、累加法适用于:an1 an f(n)a2ai若an 1 an f(n) (n2），则a3IIIana2anf(1) f(2) IK f(n)两边分别相加得 an 1aif(n)例1已知数列an满足an 1an2n 1,1，求数列an的通项公式。解：由 an 1 an 2n 1 得 a. 1an2n 1则an(an an 1) (an 12(n 1) 1 2(n 2) 1 2(n 1) (n 2) | 2( (n 1) 12(n 1)(n 1) 12nan 2) III 3a2)(2 21) 11 (n所以数列an的通项公式为ann2。例2已知数列a

8、n满足an 1an2 3n1，a1解法一：由 an 1 an 2 3n 1 得 an 1an2 aj1) (2 13，求数列2 3n 1 则a11) 1an的通项公式。an(an an 1) (an 1 (2 3n 1 1) 2(3n1 3n2 23(1 3n1)(2)I I (a3 a2) (a21) III32 31) (nan 23n 2c2(21)所以解法二:(n1) 33n3nanan3n1.3an2 3n1两边除以3n32 1)(2aj a1311) 3a3n3n则引13nan2尹3an3(anan因此则an(I2(n(an 1an 11盯1an 2)(an 2(尹an 3 )II

9、I垮an3n2(n31)2、累乘法若ann 3n适用于:f(n),则两边分别相乘得,)(f1丄) 3n2)JIII (|III 13nana2a1an 1a1例3已知数列an满足an解：因为 an 12(n1)5n3n1)2n3f (n )anf(1),a3a2f(2)，Ml f(n)ana12(nf(k)1)5nan，印 3，求数列an的通项公式。an，a1a3，所以an 0，则亠 2(n 1)5n，故ananan 1an 21) (n 2) IIIa3 a2a1a2 a2(n 1 1)5n 12(n 2 1)5n 2 2n 1n(n 1)卅 3 2 5(n(n 1)3 2n 1 5F n!

10、2(2 1) 522(1 1) 51 321 3所以数列an的通项公式为ann(n 1)52n!.三、待定系数法适用于an 1 qanf(n)解题基本步骤：1、确定f(n)2、设等比数列an1 f (n)，公比为23、列出关系式an 11f (n)2an/(n)4、比较系数求1， 25、解得数列an1 f (n)的通项公式6、解得数列an的通项公式例4已知数列an中，a1 1,an 2an 11(n 2)：It解法一：* an2an 11(n2),an12(an1 1)1 *又ta112, an 1是首项为2,公比为an12n，即 an2n1It解法二：* an2an 11(n2),，求数列

11、an的通项公式。2的等比数列2an分析：通过凑配可转化为an 11 f (n)if( n);an 1 2an 1两式相减得an 1 an2(anan 1)( n 2)，故数列 a. 1an是首项为2,公比为2的等比数列，再用累加法的例5已知数列an满足an 1 2an 4 3n1，a11，求数列an的通项公式。解法一：设an 113n,J 1、2(an3)，比较系数得14, 2则数列an 43n 1是首项为ai4 31 15，公比为2的等比数列,所以an 4 3n15 2n 1，即 an4 3n 1 5 2n 1解法二：两边同时除以2 a 43扌于，下面解法略注意：例6已知数列an满足an 1

12、2an3n24n5，ai1，求数列an的通项公式。解：设an 1x(n 1)2 y(n 1) z2(anxn2ynz)比较系数得x 3,y10,z18，所以 an 13(n1)210(n 1) 182(an3n210n18)由 a13 12 10 1181 31320，an3n210n18 0则 an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18an 3n2 10n 182，故数列2an 3n 10n18为以a13 12 10 1 18 13132为首项，以2为公比的等比数列，因此2an 3n 10n 18322n1，则 an 223n 10n 18。注意：形如an 2pan 1qan时将an作为

13、f(n)求解分析：原递推式可化为an 2an 1 (p)(an 1an)的形式，比较系数可求得，数列an 1 an为等比数列。解：设an 2an 1(5)(an 1an)2，求数列an的通项公式。例 7 已知数列an满足 an 2 5an 1 6an,a11,a2比较系数得则 an 2 2an3(an 12an)，则 an 12an是首项为4，公比为3的等比数列an 1 2an4 3n 1所以an4 3n 15 2n 1四、迭代法例8已知数列an满足an 1 a3(n 1)2ai5，求数列an的通项公式。解：因为an 13(n 1)2nan所以3n2n 1anan 1anv2，a3(；1)23

14、 32 (n 1) n 2(2 ,3n2n 132(n 1) n 2(an 2,(n 2) (n 1)n 2) (n 1)2，不妨取an3na13na1n(n 1)1 n!2 233 (n 2)( n 1)n 2(n 3) (n 2) (n 1)312 3|川(n 2) (n 1) n21(n 3) (n 2) (n 1)n(n 1)又 a15，2 n 1 n I n 2 所以数列an的通项公式为an 5!。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式例9已知数列an满足an 12 3n a5 ，ai 7，求数列an的通项公式。解

15、：因为 an 12 3n a；, a17，所以an0, an 1两边取常用对数得Ig an 1 5lgan nlg3 Ig 2设 Ig an 1 x(n 1) y 5(Ig a.xn y)(同类型四)比较系数得,Ig3 ，yIg376Ig24由 Iga,Ig34Ig316Ig24Ig7罟4lg3 lg2160，得 Igan竽器晋0，所以数列Ig anIg3To则 Ig anIg34Ig3 Ig 216Ig an(Ig 7Ig(7Ig(72、Ig34Ig3 Ig3 Ig 2g2是以Ig 74(Ig716Ig316 为首项，以5为公比的等比数列,4)5n 1，因此4Ig361316 2刁)1Ig(

16、34 3花 2刁)12厂)Ig3 Ig3 Ig 2)5n 141641 1 134 3花 24)5n11 15n 134 316 2刁)I /-ySn 1Ig(75n 4n 13-5n 1nIg(34nIg3 n41Ig245n 4n 15n 1an753倒数变换法10 已知数列解：求倒数得丄1(nan 2165n 1 12F。适用于分式关系的递推公式，分子只有一项an满足 an 12aan,ai 1，求数列an的通项公式。2an 11),anan 1an12'1111 一为等差数列，首项 1，公差为 一，an 1ana12a1an3、换元法适用于含根式的递推关系例11已知数列an满足

17、an 1116(14an J1 24an), 6 1，求数列an的通项公式。解：令bnJ124an，则 an”)代入an 11 (1 4an J124an)得164£(bn 1) bn即 4bn 12(bn 3)243.则 2bn 1bn3，即 bn1 2bn可化为bn3 2(bn3),所以bn3是以b 3J1 24ai 3J1 24 1 3 2为首项,丄为公比的等比数列，因此2bn3n 1(l)n2，则 bn (l)n243n(1)n3，得3n|(1)n (2)n 1。六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项,猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。例12已知数列a

18、n满足3n 1 3n8(n 1)2(2n1)2(2 n 3)2，318,求数列an的通项公式。9解：由3n 13n(2n8(n 1)2 21) (2 n 3)及3-18，得a2318(11)3332(2 1 1)2(2 1 3)28(2 1)89248922582425334332 2(2 2 1)(2 2 3)8(3 1)(2 3 1)2(2 3 3)225484925 498 449 81484980812由此可猜测3n (2n 0 J，下面用数学归纳法证明这个结论。(2n 1)22")当n 1时，4冒晋9，所以等式成立。v1.0可编辑可修改2)6324(2)假设当n k时等式成

19、立，即akk 1时,aa8(k 1)ak 1 ak22(2k 1) (2k 3)(2k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1)(2 k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 3)2 1(2 k 3)22(k 1) 12 12(k 1) 12由此可知，当n k 1时等式也成立。根据(1), (2)可知，等式对任何 n都成立。七、阶差法1、递推公式中既有Sn ,又有an分析：把已知关系通过 anS,nSn Sn 1, n2转化为数列an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。例13已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn1

20、6(an 1)(an 2)，且 a2'a4'a9 成等比数列，求数列an的通项公式。1)(an 2)解：对任意当 n=1 时,S1a11-(ai1)(a162)，解得a11或ai2当nA2时,Sn 11：(an 11)(an 1-整理得:(an an 1 )( anan 13)0 an各项均为正数， an an 1v1.0可编辑可修改28当 a11 时，an 3n 2 ,此时a：a2a9成立当 a12 时，an 3n 1 ,2此时a4a2a9不成立，故a12舍去所以an 3n 22、对无穷递推数列例14已知数列an满足ai 1，an ai Za：3a3 卅(n1)an i(n 2)，求an的通项公式。解：因为 an a1 2a2 3a3(n 1)an i(n2)所以 an 1 a1 2a2 3a| (n 1总 1 na.用式-式得an 1annan则an 1(n 1)an(n 2)故ann 1(n2)所以anIIt a2 n(n 1)1(|43a2n!尹.由 an a1 2a2 3a31(n 1则a21，代入得an13 4 5所以，an的通项公式为n! an 2八、不动点法anan 1an 1an 21(n不动点的定义：函数f (X)的定义域为2)，取 n2得a2a1 2a2