圆锥曲线经典综合押题题型二：定点问题(含详解答案)

1、圆锥曲线经典综合押题题型二：定点问题1 .设M 2,1是椭圆 二 与 1上的点，Fi,F2是焦点，离心率e 乂2. a2 b22(1)求椭圆的标准方程；(2)设A,B X2,y2是椭圆上的两点，且 x x2 2J2 ,问线段AB的垂直平分线是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，说明理由12 .已知A -2,0 , B 2,0 ,点P在平面内运动，kpAgkpB-.(I)求点P的轨迹C的方程；3(n)若点Q(0,1) , M ,N为轨迹C上的两动点，kMQgkNQ-.问直线MN能否过定点，若能过定点，则求出该定点坐标，若不能过定点则说明理由.3 .已知抛物线C : y2 2 Px(

2、 p 0)的焦点为F ,直线l交C于A,B两点(异于坐标原点O). uuu uuu(1)右直线l过点F ,oa OB 12，求C的万程； ,uuu uuui(2)当OA OB 0时，判断直线l是否过7E点，右过7E点，求出7E点坐标；右不过7E点，说明理由. x y4 .已知椭圆C：f 、 1 a b 0的左、右焦点分别为 Fi, F2 ,点P是椭圆上任PF2I的最小值为点1 ,且该椭圆的离心率为旦3(1)求椭圆C的方程；(2)若A x1，y1 ,B x2,y2是椭圆C上不同的两点，且ygy20,若OF2AOF2B，试问直线AB是否经过一个定点？若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说

3、明理由. 一2 一一 一 .一 5 .已知抛物线C : y 2px p 0上一点P x0, 4到焦点F的距离PF 2x0.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l与抛物C交于A, B两点(A, B异于点P),且kAP kBP2，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由6 .已知动点 M到定点1,0的距离比到y轴的距离多1.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)设A, B是轨迹C在X 0上异于原点。的两个不同点，直线 OA和OB的倾斜角分别为 和，当， 变化且时，证明：直线 ab恒过定点，并求3出该定点的坐标.227 .椭圆C : 4 1 ( a b 0)的离心率等

4、于一，它的一个长轴端点恰好是抛物 a2 b222线y 8x的焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且直线 l与直线x a和x a分别交于M,N两点，试探究以线段 MN为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点， 若不恒过定点，请说明理由.x2 y228 .已知椭圆C: 1 1(a b 0)的焦距为2,过点 1, . a2 b22(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆的右焦点为 F ,定点P(2,0),过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于 A,B两点，以线段 AP为直径的圆与直线 x 2的另一个交点为 Q,试探究在x轴上是否存在一定点M ,使直线BQ恒过该定点

5、，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.9 .已知圆O过点A(1,1),且与圆M :(x 2)2 (y 2)2 r2(r 0)关于直线x y 2 0对称.(1)求圆。的方程；(2)若EF、GH为圆。的两条相互垂直的弦，垂足为 N(1 ),求四边形EGFH ，2的面积的最大值；1 (3)已知直线l:y -x 2, P是直线l上的动点，过P作圆。的两条切线 PC、PD,2切点为C、D,试探究直线 CD是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，请说明理由.22_10.设椭圆E: * 1 a b 0的右焦点到直线x y 2a 0的距离为3,且a b过点(1)求E的方程;(2)设椭圆E的左顶

6、点是 A,直线l：x my t 0与椭圆E相交于不同的两点 M,N(M , N均与A不重合)，且以MN为直径的圆过点 A,试判断直线l是否过定点，若 过定点，求出该定点的坐标 .22111 .已知椭圆C:xy yY 1(a b 0)的左、右焦点分别是 Fi,F2,且离心率为一， a2 b22点M为椭圆上的动点，F1MF2面积最大值为 J3.(1)求椭圆C的标准方程；1(2)M ,N是椭圆C上的动点，且直线 MN经过定点(0,-),问在y轴上是否存在定2点Q ,使得 MQONQO ?若存在，请求出定点 Q ,若不存在，请说明理由._1 _1 _12 .已知两定点A,0, B-,0，点M是平面内的

7、动点，且33uuur | ABuuur uur uuiu-AM | |BA BM | 4 ,记M的轨迹是C .(1)求曲线C的方程；(2)过点F (1,0)引直线l交曲线C于Q, N两点，点Q关于x轴的对称点为R,证明直线NR过定点.参考答案221 .解：(1)椭圆的方程为之上 1；63(2)由题意知，当直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为y kx m ,则k 0.将直线AB的方程与椭圆方程联立y kx my22 得 2k2 1 x2 4kmx 2m2 6 0土 L 163由韦达定理可得x1 x22km2,2,22k2 12 kmT 22k2 1k x包 m m,则线段AB的中点坐标为

8、 22k 12km m2, 22k 1 2k 1则线段AB的垂直平分线方程为2k2 12 km2k2 1m2k2 1km2k2 11、2，八S -八，-x ，此时，线段 AB的垂直平分线过定点;k2当直线的斜率不存在时，直线AB的垂直平分线就是 x轴，也过点综上所述，线段 AB的垂直平分线过定点巨,022.解：（I）设 P（x，y）, x 2 ,则 K PAgK pb 厂与；，x 2 ,x 2 x 24C1 Cx2 c所以 y2（x2 4）, x 2 , y2 1 , x 2 ；44(n)若直线 MN的斜率不存在，则设直线MN的方程为xx nn,则 x22解得1kMQxykxy,显然不满足条件

9、;则kMQ gk NQ故设 M(Xi,yi) , N(Xi,y2), MN :m,代入22x 4y2八、2x 4(kx m)即(1 4k2)x2 8kmx 4m2 40,所以x1x28km21 4k2X1X24m2 41 4k2因为 kMQ gkNQy1 1X1y2X2kx1 m 1kx2XiX2 2k x1x2 k(m1)(X1X2)(m1)23-X1X2 ,4 (k23、 一)XX24k(m1)(X1X2)(m1)20,23)(也_4 1 4kT)k(m1)(-18 km4k2)(m 1)20,又2(4k3)(m1) k( 8km)(m21)(1 4k ) 0,4m0,，一，-1、 ，过

10、7E 点(0,) 23.解：设 A(X1, y1), B(X2, y2).(1)由题意知呜,。)，A(2,y1),B 2p2-,v2 .设直线l的方程为R),2y 由X2 Px得y22ptyp2 0,则2. 224 p t 4p 0,由根与系数的关系可得y22pt,y1y2uur uurp2 ,所以 OA OB2 2y y22-4py y2,uuu uuu /日由 OA OB 12,信12,解得P 4所以抛物线C的方程为y28x .(2)设直线|的方程为nym(n R,m0)，,y2 2pX/日 2由得y 2 pnyx ny m2 pm 0,由根与系数的关系可得乂丫22pm ,uuu 所以OA

11、uuuOB xix222yi y2V1V2 -4PV1V2( 2 pm) 2 Pm 0 ,解得 m 2 p . 4p2所以直线l的方程为x ny 2 p(nR), , uuu uur所以OA OB 0时，直线l过正点(2P,0).22_ _ x y4.解：(i)椭圆 C: i ;32(2)直线AB过定点3,0 ,证明：已知A k4 ,BX2,y2 且yigy20 ,可知点A, B同在x轴的上方或下方,由对称性可知，若动直线AB经过一个定点，则该定点在 x轴上,因为OF2Aof2b,所以点B关于x轴的对称点BiX2, y2在直线AF2 上,设直线AF2的方程为yk x 1 ,则直线BF2的方程为

12、y联立y k2x i2x2 3y2 6 0,消去y整理得2 3k2 x2 6k3k2 6 0又A xi, yi,Bx2, y2 ,所以由直线由y2所以xx2x1x26k22 3k23k2 62 3k2AB的斜率0,得:k x2xikx2KABX2y2yiX2xi,得直线AB的方程为yiy2yixx2xixiy2yiyixiX y2X2 yiy2yiix2k xy2yik 2xix2 xi x2y2yi2xix2 xik xi x2x22口丘2xix2 xi x2即 X i22,3k2 6 g2 3k26k22 3k2xi x2 23 ,所以直线AB过定点3,0 .6k222 3k25.解：(1

13、)由题可得:抛物线的方程为y2(2)设直线l的方程为2联立yXyiy2又kAP直线6.解:Q动点16 2px0PF8x.x my8X，消 X 得：y2my ny y28n ,Xon,kBPyy2 16l的方程为:(1)设 MM到定点8myQkAPo,x my 2 ,过定点,解得2x0K,y1 ，By1 4x1 22,0 .X02, pX2,y2322m2Vi互8yikBP1,0的距离比到y轴的距离多1,21 , x 0时，解得y 4x ,0时,解得y动点M的轨迹C的方程为y2 4x或y 0 x(2)证明：如图，设 A %,丫1 , B X2,y2 ,由题意得X1 X2 (否则)且 X1X20

14、,所以直线AB的斜率存在，设其方程为 y kx b,将y kx b与y24x联立消去X ,得ky2 4y4b0,由韦达定理知y14y2k y1y24bk2显然x1X4，X2tan - tan3tan tan1 tan tan将式代入上式整理化简可得:tan 3V24b 4k所以b-34k4.3此时，直线AB的方程可表不为y4k ，即y k x 4 迤,所以直线AB恒过定点3227.解：(1)椭圆C的方程为人上1 ；43(2)明显直线l的斜率存在，设l：y kx b ,y kx b则由 x2 y2,消去 y得 3 4k2 x2 8kbx 4b2 12x 0, 14364k2b2 4 3 4k2

15、4b2 120 ,整理得 b2 4k2 3,y kx b又由，得M (2,2k b),由x 2所以以线段MN为直径的圆为整理得 x2 4 y2 2by b2将b2 4 k2 3代入得x2 4x 2 x 24k2 0 ,y2 2by 3 0,y kx b，得 N ( 2, 2k b) , x 2y 2k b y 2x b 0,所以以线段MN为直径的圆恒过定点，且定点为1,0 , 1,02x 98.解：(1)椭圆C的方程为一y2 1.2(2)设A(x1,y1) , B(x2,y2),因为直线l的斜率不为零，令l的方程为：x my 1x my由X22122得(m 2) y 2my 1 012m则 y

16、y -，y vZm 2因为以AP为直径的圆与直线 x 2的另一个交点为 Q,所以 AQ PQ,则 Q(2,yi).则 kBQ y2 y ,故 BQ 的方程为：y yi y2 y1 (x 2). x2 2x2 2而y1所以0,y2myiy2yi(x2 2) xy2yiyi(my2 1)y2yimyi y2yiy2yi2mm2 2 yi y2m2 2mm2 2yi2y2yiy22yiy2yi故直线BQ恒过定点，且定点为3,029.解：(i)设圆心O(a,b),根据题意得:圆O方程为x2把A(i,i)代入得：r22,即圆O方程为2;(2)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d2 ,则 di2d22_

17、 2|ON |EF| 2 r2 di2 2 2 d； , |GH | 2, r2 d222 2 d2222当且仅当2di2 d2 ,即di d2立时取等号,2i_9S 一 |EF|gGH| 2j(2 di2)(2d22),2222di22 d；5则四边形EGFH的面积最大值为 一；2(3)直线CD过定点，定点坐标为 工，i ，理由为：2由题意可得：O、P、C、D四点共圆且在以 OP为直径的圆上,ii221设 P(t,2t 2),其方程为 x(x t) y(y 2t 2) 0 ,即 x tx y02t 2)y 0 ,又C、D在圆O:x2 y2 2上,1y得：直线CD的万程为tx （-t 2）y

18、2 0,即（x 2）t 2y 2 0,y1x 0x 1由 2 ，得 2 ,则直线CD过定点-,12y 2 0y 122210.解：（1）椭圆方程为1.42x my t 02,0 ,联立方程（2）设 M *, y1，N x2, y2 , A得到 m2 2 y2 2mty t2 4y1y20,故V1V22mtm2 2t2 4m2 2以MN为直径的圆过点 A,x1 2 x2 2y1 y2 0uuuu uur故 AM ANx1 2,y1x2 2,y222即 m 1yly2mt 2 yly2 t 4t 4 0,2化简整理得到：t 一或t 2 ,当t 2时，MN两点重合，舍去 3一2 一2 一故l:x my - 0过te点-,0 . 33. 11c c 111.解（1） F1MF2面积最大值为：S - F1F2b -2c b bc J3,又一一，22a2一b 、, 3三x2y2b J3c,解得：.即：a 2,b J3,所以方程为：一工 1.c 143(2)假设存在满足题意的定点Q ,设 Q（0, m）1设直线l的万程为，y kx -, M x1, y1 , N x2, y2222,43 由y kx1消去x ,得124k22x 4kx110.1 一由直线l过椭圆内一点