不等式证明的常用基本方法

1、证明不等式的基本方法导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法 .2. 会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式.自主梳理1 .三个正数的算术一几何平均不等式：如果a, b, c>0,那么,当且仅当a=b=c时等号成立.2 .基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a, a2,，an,它们的算术平均不小于 它们的几何平均，即ai+a2+ aTaia .a n,当且仅当 时等 号成立.3 .证明不等式的常用五种方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是 与0比较大小或 与1比较大

2、小.(2)综合法：从已知条件出发，利用定义、 、性质等，经过一系列的推理、 论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法.(3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的 条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义、公理或已证明的定理、性质等 )，从而得出要证的命 题成立为止，这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法.(4)反证法反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等， 进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、 性质、明显成立的事实等)矛盾的结 论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立

3、，我们把它称为反证法.反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾， 这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾.放缩法定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 或，简化不等式， 从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键.题型一用比差法与比商法证明不等式1 .设t = a+ 2b, s = a+ b2+ 1,则s与t的大小关系是( A )>t>t< t <t【解析】: s t = b 2b+1=(b 1) >0,，s>t.【答案】A2 .设 a=

4、(m2+1)(n 2+4) , b=(mn + 2)2,则( D )A. a>b B . avb C . a< b D . a>b解析：a b= (m2+1)(n 2+4) (mn+2) 2=4m2+n24mn= (2m n)2>0, 1. a> b.答案:D 3.设a,b C R,给出下列不等式：lg(1+a 2)>0;a2+b2>2(a-b-1);a2+3ab>2b2;，其中所有 恒成立的不等式序号是.?【解析】a=0时不成立；: a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1) 2>0,成立；a=b=0时不成立；a=2,b=1时

5、不成立，故恒成立的只有.题型二用综合法与分析法证明不等式14 .(1)已知x, y均为正数，且 x>y,求证：2* 十三12荷工y>2y+3;(2)设 a, b, c>0 且 ab+bc + ca= 1,求证：a + b + c>"/3.证明 (1)因为 x>0, y>0, x y>0,2X+ x2-2xy + y2_ 2y = 2(x -y) +匹中=乜一”?八3 c11八八r?xv?亡q=3,所以 2x+x2-2xy + y2冷+ $(2)因为 a, b, c>0,所以要证 a+b+c>q3,只需证明(a + b+c)2>

6、;3. 即证：a2+ b2 + c2+ 2(ab +bc + ca) >3,而 ab+bc+ca=1, 故需证明：a2+ b'+ c2+ 2(ab + bc + ca) > 3(ab + bc + ca).即证：a2+b2 + c2>ab+ bc+ ca.而 ab+ bc+cawa2+b2b2+c2c2 + a2= a2+b2+c2(当且仅当a= b= c时等号成立)成立.所以原不等式成立.5 .已知a、b都是正实数，且 ab=2.求证：(1 +2a)(1 +b) >9.证明：法一 因为a、b都是正实数，且 ab=2,所以2a+ bR2 2ab= 4.所以(1+

7、2a)(1 +b) = 1 + 2a+b + 2ab>9.+ b) = (1 +2a) 1+占=5+2 a + 占.Ja a =2.所以(1 + 2a)(1 +b) >9.b b(1 + 2a)(1 + b) = (1 + a+ a) , 1 + 2+ 221法二 因为ab=2,所以(1 +2a)(1一， ，1因为a为正头数，所以a + ->2 a法三因为a、b都是正实数，所以3 23.b23 a2b2 p>3 - Ra 3 、/"4 = 9,、/-4-.又 ab= 2,所以(1 + 2a)(1 + b) >9.思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”

8、，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时， 往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相 互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野. 题型三放缩法证明不等式,1 一 11a b 一 6 .已知0<a<b，且 止不 + =，N= 帝 ,则M N的大小关系是(A. M>NB. M<N C. M =N D.不能确定1解析：- 0<a<b， -1 + a>0,1 +b>0,1 -ab>0,.M- N=1

9、- a 1 - b+ =1+ a 1 + b2 2ab?1 a?1 b?>0.答案:7.若a, bC R,求证:证明 当|a + b|=0时，不等式显然成立.当|a + b| wo 时,11由 0<|a +b| <|a| + |b|?A|a+b| |a| +|b|a| 十|b|1+|a| 十|b|a +b| _1?1所以 1 + |a + b| 1'1|a + b| 十 ,JaL_ + -IbL + |a + b| 1 + |a|1 + |b| 1 + |a| +|b|=+ <-IOL+ JbL1 + |a| +|b|1+ |a| +|b|1 + |a|1 +

10、|b| .思维升华(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：11111212变换分式的分子和分母如产丽千浮尿而方而乃加诉k.上面不等式中kCN , k>1;利用函数的单调性； 真分数性质“若03b,m>0则（2）在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.8.设n是正整数，求证:2 n+1 n+21卜十 <1.2n证明 由 2n>n+ k>n(k = 1,2 ,，n),得111w<.2n n+ k n111一 111一 111当k=1时，赤W不<n;当k = 1111212 大（缩小），如送<?,下>

11、;? 7胃+.（k * N且k>1）时，2nW1<n；，当k=n时，汨w-<-,-=<z2 2n n+1 n + 21 n .g.3.、卜+ =<-= 1. .原不等式成乂.2n n题型四 用反证法证明不等式9 .设 a>0,b>0,且 a+b=.证明: (1)a+b >2; (2)a 2+a<2与 b2+b<2不可能同时成立.【解析】由a+b=,a>0,b>0,得ab=1.（1）由基本不等式及 ab=1,有 a+b>2=2, IP a+t）>2.（2）假设a2+a<2与b2+b<2同时成立，则由a

12、2+a<2及a>0得0<a<1;同理得0Vb<1,从而ab<1, 这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.10 .若 a>0, b>0,且；+（ = 0. 求a3+b3的最小值；（2）是否存在a, b,使得2a+3b=6?并说明理由. 112【解】（1）由yOb = al bn=,得ab>2.当且仅当a=b=y2时等3成立.故a3+b3>2<0底>4/，且当a= b=，2时等号成立.所以 a3+b3的最小值为442.（2）由（1）知，2a +3b>2 q6M>4q3.由于 4。

13、3>6,从而不存在 a, b,使得 2a+3b=6.1 .证明不等式的常用方法有五种，即比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法.2 .应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：（1）分清命题的条件和结论；（2）作出与命题结论相矛盾的假设；（3）由条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；（4）断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真.3 .放缩法证明不等式时，常见的放缩法依据或技巧主要有：（1）不等式的彳递性；（2）等量加不等量为不等量；（3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较.缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩

14、大分母，分式值减小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小， 但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放 缩有时需便于求和.1 31 4 .放缩法的常用措施：（1）舍去或加上一些项，如a + 2 +-> a + - ; （2）将分子或分母放1.设a、b是正实数，给出以下不等式： Ob2ab； a>|a - b| - b;a2+b2>4ab-3b2; a+b2abH->2,其中恒成立的序厅为 (D ) abA. B. C. D. 一2、情2ab 一 答案D解析: a、b C R 时，a+ b>2 -ab, 1- - & 1,

15、 aZjT_bwyab,不恒成立,排除A、B; ,ab +马>2 J2>2恒成立，故选D. ab 11112.设 M= yo+ a，4 1 + 2丈+ 2 + + Z," 1，则( B )A. g1 B , M<1 C . M>1 D . M与1大小关系不定 【解析】1°+1>210, 21°+2>210,，2斛析：当 0Vx<1 时，lg x +BT<0,镐庆;-1>21°,.1 .1.1,11,1, 1 10 , M= 严+ 2付+ 1 + 2付+ 2 + 2/_ 1 <尹+ 20+ 22

16、个=1.【答案】 B3.若不等式t t +2aw 2-在t C (0 , 2上恒成立，则a的取值范围是(【解析】由已知9 t+t对任意t e(°, 2恒成立，于是只要当t e(°, 2时,a> t+9max记 f(t),9=t +pg(t) =11+2 1 2,可知两者都在(0, 2上单调递减,1a< -+ 2f(t)min= f(2)2min13-2, g(t)min= g(2) = 1 ,所以aC2,113【答案】B12 11 一4 .已知a, b为头数，且a>。，b>0.则a+b + z a +b + 的取小值为( C )A. 7 B8 C .

17、 9 D . 10【解析】因为a + b + a > 3-a x b x =3匹>0,a>0,b>0,所以同理可证:a2+b + >33/bX3A/-b = 9.【答案】C.当 x > 0 时，Jx + y > 2，一 1由及不等式的性质得 a+b+a5 .下列结论正确的是(B )A.当 x>0 且 xwi 时，lg x +->2 B lg xC.当x>2时，x + 1的最小值为2x一 1 一D .当0vxW2时，x无最大值 x1 . 5当X"时,x+x的最小值为2，错误.当0VXW2时,6.若 P=1x 一Xy是增函数，最

18、大值在 x=2时取得，错误.答案：B(x>0 , y>0, z>0)，贝U P与3的大小关系为P<3【解析】-1+x>0, 1 + y>0, 1 + z>0,x y zP-P-<1 + x 1 + y 1 + z1 + x 1 1 + y' 1+z 1 + x+1 + y+1 + z3.即 P<3.【答案】P<37.某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对其生产的某种型号的彩电降价销售,有四种降价方案：先降价a%再降价b% (2)先降价b%再降价a% (3)先降价a+ bh”，入 a+b%再降价-2 %(4) 一次性降价(

19、a + b)%.其中a>0, b>0, ab,上述四个方案中，降价幅度最小的是X3>X1= X2>X4.解析：设降价前彩电的价格为1,降价后彩电价格依次为则 X1 = (1 a%)(1 b%)= 1 (a + b)%+ a%- b%X2=(1 b%)(1 a%)= X1,Xi、 X2、 X3、 X4.X3= 1 -% = 1 (a + b)%+ 1(a +b)%2,X4=1 (a + b)%<1(a + b)%+ a%- b%= Xi = X2,a%+ b%2 X3 X1= -2 X3>X1 = X2>X4.a%- b%>08.已知两正数X,1y

20、 满足 X+y=1,贝U z= x + 一X1， y+y的取小值为254【解析】z=1 x+ -Xy + - =xy + !+ y + X=xy +y xy x y xy(x + y) 22xy 2=1+ xy - 2, xyXyx+ y 2 10<t =xyW -=-242 .1 . 1 .2 .一 .33由f(t) = t +-在0, 4上单倜递减，故当t =4时f(t) =t+t有取小值 了，所以当x = y=；时，z有最小值§.【答案】手 2449 .求证：+ 4<2(n C R ). 12 n证明: A< -:,k k (k 1)k- 1 k' .

21、2+ 泉+ 工<1+ (1 -1) +(1-1) + (7_) = 1 + (1 - 1) = 2-1<2. 12 n '223n 1 nn n10 .设 a、b、c 均为正实数，求证： , += + 1= + 1=>7_- + 二一+a b c ab #bc Vac b+c c+a a+b【证明】a, b, c均为正实数，1 124 , _,当a=b时等号成立a b ab a+b1 12；-1 R : Rb c bc1 12b+ ca c ac a+c当a = c时等号成立三个不等式相加即得当且仅当a=b=c时等号成立2 2 2222a+b b+c a+c-+ -

22、> t + > + Ia b c ab bc ac口 311111即一十 匚 + > -IH-7= >abcabbcaca+ b+ b+ c+a+ c.11.已知函数f(x) =m- |x -2| , mC R 且f(x +2) >0的解集为111.(1)求m的值；(2)右a, b, c大于0,且一 +六+f=m,求证： a 2b 3c【解】(1) . f(x + 2) = m- |x| , f(x +2) >0 等价于 |x| < m.由|x| <m有解，得 m>0且其解集为x| -m<xWm.-1,1 .a+2b+3O9.又f(x

23、 +2) >0的解集为1,1, (2)证明：由(1)知1+4+；=1, a 2b 3c11a+2b+3c= (a + 2b+ 3c) -+ + a 2b 3c>3+ 22b a 3cT 2b+27m= 1.a, b,=3+a 3c.金+2 2bc大于0,2b a3c aI+ Ia 2ba 3c3c 2b+12b 3c2b =9.3ca+2b+3O9.一，1 ,一， 一当且仅当a=2b=3c=a时，等号成立.因此312.设 a, b, cCR且 a+b+c=1,试求:- T + -7 + ；2a+1 2b+1 2c+1的最小值.解：= a+b+c=1, a, b, c 为正数，/ +

24、 罚+ K (2a + 1 + 2b+1 + 2c+1)9审十宁五.当且仅当2a+1=2b+1 = 2c+1.一一一一1 一即a=b=c时等万成立，.当 a= b=c = w时,32a+1+ 2b+ 1+ 2c+ 19 取最小值-.答案：方案(3)13.设 a>0, b>0, a+b=1,求证：ab+石4- ; (2)探索猜想，并将结果填在以下括号内:a2b2+ 4-2 a b(3)由(1)(2)归纳出更一般的结论，并加以证明.11 _2 2_解析：(1)证法一：ab+而 >44 ?4a b -17ab+4>0 ?(4ab -1)(ab -4) >0.ab = (Vab) &a+b24ab<1,而又知1 ab<-4<4,因此(4ab -1)(ab成立,-