几何基础总结1

1、1.任意一个长方形可以有限剖分等价于一个正方形。解释：设矩形的长为x宽为1.当1x2时，做法如右图.当x2时，将长n等分，一条边为x/n，一条为n；那么：nxn2n。或者xnn2xn.得到x在n2, 2n2或n22，n2中。我们发现任一个实数都在某一区间内。2、梅涅劳斯定理: 如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AFFBBDDCCEEA =1。证明: 过点A作AGBC交DF的延长线于G， 如图1.则AFFB = AGBD, CEEA =DCAG。 所以AFFBBDDCCEEA= AGBDBDDCDCAG=1。 图1 图23、塞瓦定理： 在ABC内任取一点G

2、，直线AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，则 AFFBBDDCCEEA =1。ADC被直线BGE所截，由梅涅劳斯定理得CBBDDGGAAEEC =1 而由ABD被直线CGF所截，梅涅劳斯定理得 BDDCDGGAAFFB =1 :即得：AFFBBDDCCEEA =1。4、托勒密定理指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。证：如上图，四边形ABCD内接与圆。连接对角线AC、BD。过点C作2=1，交线段BD于E。由1=2；3=4；CDA=CEB。从而CEBCDA。ACBC=ADBE 那么AC*BE=AD*BC （1）由5=6；DCE=ACB；CED=CBA。从而ACBDCE。ACD

3、C=ABDE 那么AC*DE=AB*DC （2）（1）+（2）得AC（BE+DE）=AC*BD= AD*BC+ AB*DC.5、西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线如图三角形ABC内接于圆。过点G作GDAB，GEAC，GFBC。证明D、E、F三点共线。证：因为ADC=AEG=90A、D、E、G四点共圆；DAG+DEG=180而DAG+BCG=180DEG=BCG （1）因为GEC=GFC=90G、E、C、F四点共圆；GEF=GCF （2）（1）+（2）DEG+GEF=GCF +BCG=180D、E、F三点共线。6、折弦定理：AB和BC是O的两条弦（即A

4、BC是圆的一条折弦），BCAB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足G是折弦ABC的中点，即CBBGAB。证明：过点M作MECB交于点E。因为EBM=BCM+BMC=MAC+BAC=MAC=MCA=MBG；又MB=MB；MGB=MEB均为直角。所以MEBMGB。所以：BE=BG ； ME=MG又MAG=MCE MGA=MEC所以MAGMCE。所以：AG=CE=CB+BE=CB+BG。7、蝴蝶定理：圆O，M是弦PQ的中点，过M作AB、CD连AD，BC交X、Y。证明MX=MY。证：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接 OX， OY，OM，SM，MT。 AMDCMB AM/CM=

5、AD/BCAS=1/2AD，BT=1/2BCAM/CM=AS/CT又A=CAMSCMTMSX=MTYOMX=OSX=90OMX+OSX=180O，S，X，M四点共圆同理，O，T，Y，M四点共圆MTY=MOY，MSX=MOX MOX=MOY 。OMPQXM=YM。8、笛沙格定理：如果两个三点形对应顶点的连线共点, 则其对应边的交点共线。如图G是三角形ABC与三角形DEF的3对顶点连线的公共点，点H、I、F分别为三对边的交点。证明H、I、J三点共线。 证明：直线DJF截三角形GBC。由梅涅劳斯定理：GDDB*BJJC*CFFG=1；直线DEI截三角形BGA。由梅涅劳斯定理：BDDG*GEEA*AI

6、IB=1；直线FHE截三角形GCA。由梅涅劳斯定理：GFFC*CHHA*AEEG=1；三式相乘得到：BJJC*CHHA*AIIB=1；由由梅涅劳斯逆定理（三角形ABC）的J、H、I三点共线。9帕普斯定理： 如图，两直线相交于点O，A，B，C和A，B，C分别为两直线的三个点，若 相交于L， 相交于M， 相交于N，则L，M，N三点共线。证:要证N，M，L 三点共线，只需要证 。NMD+DML=1800.如图，以M点为射影中心，由射影变换交比不变性得：(B, D, N,A)= (B,C, L,E).由定义：(B, D, N,A)=（BDN）（BDA）=BN*DADN*BA=SBMN*SDMASDMN

7、*SBMA=sinBMN*sinDMAsinDMN*sinBMA;(B, , L,E)=（BCL）（BCE）=BL*CECL*BE=SBML*SCMESCML*SBME=sinBML*sinCMEsinCML*sinBME;所以。又因为：sinDMA=sinCME； sinDMA=sinAMP=sinBME。从而得到：sinBMNsinDMN=sinBMLsinCML；（1）而又：sinBML=sin（PMC+CML）=sinPMC*cosCML+sinCML*cosPMC。（2）sinBMN=sin（DMN+DMB）=sinDMN*cosDMB+sinDMB*cosDMN。（3）将上面（2）

8、，（3）带入（1）整理得到：tanDMN=tanCML。所以：DMN=CML。而又：CML+DML=1800.所以：NMD+DML=1800.故得证。代数形式证明怕普斯定理证明：在平面上选择射影坐标系，使O（0,0,1）在l1和l2的交点上，O1（1,0,0）和O2（0,1,0）分别为l1和l2上的无穷远点，则所给的六个点的坐标可以分别写为A1（1,0，a1），B1（1,0，b1），C1（1,0，c1）,A2（0,1，a2），B2（0,1，b2），C2（0,1，c2）。B1C2的方程为b1x+c2y+z=0，B2C1的方程为c1x+b2y+z=0解得B1C2与B2C1的交点为N（c2-b2，c

9、1-b1，b1b2-c1c2）同理易得C1A2与C2A1的交点M（a2-c2，a1-c1，c1c2-a1a2）A1B2与A2B1的交点L（b2-a2，b1-a1，a1a2-b1b2）若用符号(n),(m),(l)来表示N、M、L的坐标，就得到(n)+(m)+(l)=0。所以就得到三点的det=0，由定理3.2得N、M、L在同一条直线上，证毕。10、原本关于正多面体有且只有5个的证明。 析:正多面体的每个顶点至少是3条棱的交点，那么每个顶点处的立体角至少是由三个正多边形围绕而成，而且这些多边形角之和要小于360o。证：设正多面体的每个顶点有n条棱，则n3；立体角是由正m边形围绕而成，每个内角为：

10、180o-360om。那么可以得到：n（180-360m）360.显然m3。当n=3时，由n（180-360m）60o，m=3、4、5；当n=4时，由n（180-360m）90o，m=3；当n=5时，由n（180-360m）108o，m=3；当n=6时，由n（180-360m）120，m为空集。由此知n7时， m亦为空集。故正多面体只有5中情况：nM顶角正多面体33三个正三边形围成正四面体34三个正四边形围成正六面体35三个正五边形围成正十二面体43四个正三边形围成 正八面体53五个正三边形围成正二十面体2、用简单多面体的欧拉公式重新证明上述命题。（欧拉公式：简单多面体的顶点数 V、面数 F及

11、棱数E 有关系式：V+F-E=2）证：正多面体的每个顶点有n条棱，立体角是由正m边形围绕而成。由于每条棱通过两个顶点故2E=mV，而又每条棱又被两个面公用，故nF=2E，从而得到mV=2E=nF。已经知道m3、n3。E6.故可得到： V+F-E=2；mV=2E=nF；m3、n3。 所以：2Em+2En-E=2 1m+1n=12+1E12。若m与n均3，则m4、n4，1m+1n12不成立。故m、n至少有一个等于3。当n=3时，由1m+1n12得m=3、4、5成立；同理当m=3时，n=3、4、5成立。此时得到与上面相同的结论，故得证。11、什么是“费马点”？试证明与其有关的性质。定义：在一个三角形

12、中，到三个顶点距离最小的点。性质：若三角形的三个内角均小于120度时，那么则在三角形内部对3边张角均为120的点，是三角形的费马点。 若三角形的有一个内角不小于120度时，那么这个钝角三角形的钝角顶点就是费马点。证：当有一个内角大于等于120度时，对三角形内任一点P，延长BA至C使得AC=AC，做CAP=CAP，并且使得AP=AP, PC=PC 则APCAPCBAC120PAP=180-BAP-CAP=180-BAP-CAP=180-BAC60等腰三角形PAP中，APPPPA+PB+PCPP+PB+PCBC=AB+AC所以A是费马点当3个内角均小于等于120度时做出ABC内一点P，使得APC=BPC=CPA=120， 分别过点A、B、C作PA,PB,PC的垂线，相交于D,E,F三点，如图，再作任一异于P的点P，过P作PH垂直EF于H。易知D=E=F=60，即DEF为等边三角形。设计边长为d，面积为S则有2S=d(PA+PB+PC)。PAPH2SEPFPAd。同理有2SDPFPBd2SEPDPCdS= SEPF+2SDPF+2SEPD。相加得2Sd(PA+PB+PC)即PA+PB+PCPA+PB+PC，当且仅当P,P重合时取到等号所以P是费马点。12、帕斯卡定理