信号在正交函数集中分解

1、§3-1 引 言 l l         线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。l l         在上一章介绍的时域法中，将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。l l         在本章以及下一章将要介绍的频域法中，将

2、信号分解为一系列正弦函数的和（或积分），通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应。l l         频域在工程中也有很重要的意义。很多信号的特性与频域都有很重要的关系。研究频域可以得到很多具有实用价值的结论。l l         在进行频域法时,，首要问题就是如何将信号分解为一系列正弦信号的和（或者积分）。这就是本章要讨论的信号分析问题。 §3-2 信号在正交函数集中的分解 为了形象地说明信号的

3、分解，首先我们复习矢量的分解。一、 矢量的分解1）     矢量的一维分解：用一个标准矢量乘以一个标量得到的新矢量，去近似近似矢量，并要求误差尽可能小，应该取多少？下图通过几何方法表示了的确定方法。  l l         从几何或者解析角度，都可以得到使误差最小的系数为：其中的称为矢量和的相似系数。l l         如果（或），则表明和相垂直（又称为正交）。 1） 2

4、）     矢量的二维分解用两个标准矢量、的线性组合，去近似近似矢量，并要求误差尽可能小，、各应该取多少？下图通过几何方法表示了、的确定方法。 l l         在上图表示的情况下，、的取值都同时与、有关，计算公式可能比较复杂。如果标准向量、相互垂直（正交），计算就很简单了：容易得到此时的系数计算公式为：，此时每一个系数只与其相关的标准矢量有关，系数计算公式与一维情况下的计算公式相似。 l l     

5、;    上图中表示的是用两个矢量表示一个二维的矢量，误差为零。如果用两个矢量表示一个二维以上的矢量，误差就不一定等于0了。但是可以证明，在这种系数情况下误差最小。l l         显然，如果知道了标准矢量、和相应的系数、，就可以确定任意矢量。l l         这实际上就是我们在平面几何中见到的笛卡尔坐标系。  2） 3）     矢量

6、的多维分解：上面二维的情况可以推广到任意维，可以将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组合：² ²        显然，如果知道了标准矢量和响应的系数，就可以确定任意矢量。² ²        如果矢量两两正交，可以证明相应的最佳系数的计算公式为：² ²        如果标准矢量基的长度都为1，则，上面的公式可以简化为：&#

7、160;3） 4）     标准矢量基的几个限制条件：为了便于计算系数，实际使用的标准正交矢量集最好满足以下几个条件：1） 1）     归一化：标准矢量的模等于12） 2）     正交化：标准矢量两两正交3） 3）     完备性：可以不失真地组合出任意矢量其中归一化和正交化是为了计算系数时比较方便；而完备性则是为了保证可以完整、没有误差地表示任意矢量，使这种分解更有实用性。 二、   信号的分解

8、60;与矢量分解相似，我们也可以推导出信号分解。1、     单个标准信号下的分解：在时间区间内，用近似任意函数，并使误差进可能小。（这里假设所有函数都是实数函数）误差： l l         如何衡量函数误差的大小？可以采用方均误差： l l         取什么值的时侯何时误差最小？或者何时系数最佳？最佳系数：也称为函数和的相似系数。最佳系数的证明最佳系数的证明：误差：方均误差：

9、为了求使最小的，将上式对求偏导并令其为零，可以得到：由此可得： l l         如果（或），则称和正交。这个正交的含义与矢量中的正交类似。l l         如果和是复函数，则方均误差的定义应该改为：相应的最佳系数计算公式为： 例题3-2-1例321： 试用sint 在区间（0，2p）来近似f(t) 分析：在使这近似式的方均误差最小的条件下，可以导得在函数中的分量系数为 解： 2、&#

10、160; 多个标准信号下的分解：将信号表示为多个标准信号的线性组合：l l         这里的同样难以确定。但是如果标准函数之间两两正交，则可以证明：l l         我们实际上在高等数学等前期课程中已经见到过几个这样的标准信号集了。例如：泰勒级数使用的是：l l         在本章中将要用到的标准函数集为三角函数集： 2、 3、&#

11、160; 对标准信号集的要求：与矢量分解中的情况一样，这里对于用于分解函数的标准函数集也有以下的要求：1） 1）     归一化：2） 2）     正交化：，3） 3）     完备性：可以用其线性组合表示任意信号。 l l         正交性标准函数集的首要条件。只有在这种情况下系数才可以用上美的公式计算，而且可以保证方均误差最小。其他两个条件都会受到实际应用的限制，可能难于达到

12、。l l         完备正交函数集一般都包含无穷多个函数，例如：三角函数集，沃尔什函数集等。l l         但在实际应用中不可能用无穷多个，只可能用有限个函数，只能近似表示任意函数。 函数与矢量的运算与分解有很大的相似性，很多函数分解中的概念（例如正交等）也是从矢量运算中引用过来的。这里用一个表格作比较： 矢量函数加法标乘乘法正交归一误差误差代价函数系数§3-3 信号表示为傅利叶级数 

13、;傅利叶级数是最常用的一种正交函数集。它在工程中有很广泛的用途。一、 三角函数形式的傅利叶级数1、三角正交函数集其中：或将正交函数集表示为： l l         可以证明该函数集满足正交性：函数集中的函数两两相正交。2、任意信号在三角函数集中的分解可以将任意函数f(t)在这个三角函数集中展开（表示成该正交函数集函数的线性组合）： 其中的系数可以根据前面的公式计算出：l l         这个公式中的的表达不太方

14、便。为此将分解式改写：则系数为：l l         通过这种分解，可以将信号可以表示成为直流信号和一系列正弦信号之和。 3、任意信号在仅余弦三角函数集中的分解 在原来的信号分解公式 中，利用三角函数公式，令，则可以将上式表达成：它可以看成是下列正交信号集：的平移后的线性组合。 l l         从系数计算公式可以看出，如果f(t)是实数信号，则：Ø Ø   

15、      和是n的偶函数；Ø Ø         和是n的奇函数。l l         上面的分解等式的左右两边的函数是否相等，没有误差？或者，是否随着n趋向于无穷大，等式右边的函数收敛于左边的函数？Direchlet证明，只要满足下面三个条件，等式就一定收敛：1） 1）     f(t)绝对可积，即：2） 2） 

16、    f(t)在区间内有有限个间断点；3） 3）     f(t)在区间内有有限个极值点。 这个条件被称为Direchlet条件。实际信号大都满足这个条件，所以都可以这样分解。 l l         这个分解等式中，等号右边是多个周期为T的函数的和，它仍然是周期为T的函数。显然，如果本身也是一个周期为的函数，则如果它可以在一个周期内用上面的公式分解，则它同时也可以在整个时间区间内分解。 l l 

17、0;       这种分解可以用在两个场合：1） 1）     研究任意函数在区间内的分解2） 2）     研究周期为T的函数在整个时间区间内的分解。 本课程中讨论的主要是后一种情况。 l l         如果f(t) 周期为T的函数,为了方便讨论，一般函数的主值区间取l l      

18、60;  在函数的分解中： 称为信号的直流分量； 、或称为信号的基波分量； 、或称为信号的n次谐波分量； 一般情况下，n无法计算到无穷大，只能取有限。这时，这种正交展开是有误差的。n越大，误差越小。下面通过一个实例进一步讨论傅里叶级数的一些特性。 例：求方波的傅利叶级数。解：按照定义公式，可以计算出： 下图给出了根据这个公式，分别用一个、两个和三个正弦脉冲逼近方波的实际效果。 l l         从图中可以看到，随着n的增大，函数的逼近效果逐步得到改善，效果越来

19、越好。l l         但在信号的间断点附近，误差函数出现了一个尖刺状的突起。这个突起是否会随着n的增加而减小？ Ø Ø         Gibbs现象：随n趋向于无穷，在函数的间断点附近至少存在一点，其函数的分解误差收敛于函数在这点上的跳变值的8.948987%.Ø Ø         这实际上就是说

20、：无论n多大，在间断点附近一定有一个点，在这个点上误差值一定接近间断值的9。Ø Ø         这个结论是否与上面提到的收敛条件矛盾？两个论断并无矛盾。这牵涉到两个收敛的概念：逐点收敛和方均收敛。具体地说，逐点收敛一定方均收敛，但是方均收敛不一定逐点收敛。这里对其原理不再讨论，有兴趣的读者可以参阅有关数学书籍。 二、    复指数形式的傅利叶级数  另一种常用的傅里叶级数展开式是从复指数正交函数集将函数展开为：其中使用的正交函数集为复指数函数或者复正弦

21、函数：或者记为：根据前面的公式，可以得到其中的系数为： l l         复指数形式的傅利叶级数的另外一种推导方法是从三角函数函数形式的傅利叶级数入手：令：，可以得到：令： 通过上式也可以看出，函数可以分解为一系列的线性组合，其中的系数为：而：>>,  l l         两种推导过程得到的答案应该相同。对比两个系数计算公式，可以得到：这个等式反映了与、或、之间的关系。 例：

22、根据前面推导的方波的傅里叶级数的计算结果，  很容易得到复指数情况下的傅里叶级数为：  ² ²        表示一种复正弦信号。其中n可以为正，也可以为负，这时就会出现频率小于零的负频率。这在物理上并没有意义，只是在数学上可以带来方便。² ²        复指数形式的傅利叶级数虽然在物理上难于理解，但是它计算简单，在数学上可以带来很多方便之处，所以应用广泛。 例3

23、31例：根据前面推导的方波的傅里叶级数的计算结果，  很容易得到复指数情况下的傅里叶级数为：  ² ²        表示一种复正弦信号。其中n可以为正，也可以为负，这时就会出现频率小于零的负频率。这在物理上并没有意义，只是在数学上可以带来方便。² ²        复指数形式的傅利叶级数虽然在物理上难于理解，但是它计算简单，在数学上可以带来很多方便之处，所以应用广泛。

24、0; 例331 例331: 一周期矩形脉冲信号,高度为A,周期T，其此信号的傅立叶级数解结论：（此结论具有一般性） 1 收敛性:n增加,an,bn总体趋势减小的。2 Gibbs现象：n增加，间断点的误差还是很大 3 信号变化快的部分高频分量；信号变化慢的部分低频分量三、   函数的奇偶性与其傅利叶级数关系  函数的奇偶性对于傅里叶级数的系数有一定的影响。掌握这些性质有利于傅里叶级数系数的计算。1、 1、     如果函数是偶函数，则其傅利叶级数中只有直流和余弦分量。 或：偶函数之和仍然是偶函数。 

25、;2、 2、     如果函数是奇函数，则其傅利叶级数中只有正弦分量。 或：奇函数之和仍然是奇函数。 ² ²        任意的函数都可以分解为一个奇函数和一个偶函数的和这一点可以从傅利叶级数展开式中看到，也可以从下面的分解得到： 例如，锯齿波信号：就可以分解为一个偶信号：和一个奇信号：之和。3、     奇谐函数的傅利叶级数² ²    

26、60;   奇谐函数：满足的周期为T的函数。例如：² ²        奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。 例如前面的周期性方波的傅里叶级数中，只有1、3、5、7、等奇次谐波分量。4、     偶谐函数的傅利叶级数² ²        偶谐函数：满足的周期为T的函数。例如：² ²   

27、0;    偶谐函数实际上是周期为的函数。² ²        偶谐函数的傅利叶级数中只有直流和偶次谐波分量。 l l         通过函数的奇偶谐波特性，可以使我们对函数的傅利叶级数中包含的成份进行快速判断，有利于我们的计算。  例332: 选择题：如图所示的信号中，含有谐波分量为A 直流、正弦及余弦项 B 只有直流、正弦项 C 只有直流、 余弦项 D 只有直流

28、、奇次余弦项E 只有直流、奇次正弦项  分析：讲上图变成一直流分量和下图所示信号和即可判断解：只有直流和正弦项，选B 四、             信号的有效值和功率 1、     正交分解与信号功率：假设信号可以在正交函数集中分解为：则其功率为： 其中：，为第i个正交信号分量的功率。 由此可以得到Parseval定理：信号的功率等于信号在完备正交函数集中分解后各个子信号功率的和。 l

29、l         利用信号傅利叶级数分解后，信号功率：l l         信号在非正交函数集中分解后，信号的功率并不满足叠加性（如泰勒级数展开）。  2、 2、  信号有效值：信号的有效值定义为与信号有着相同的功率的直流信号的大小。其作用是方便信号功率的计算和表示。   l l         例如，正

30、弦信号的有效值： l l         按照信号功率分解公式，有： 即：信号的有效值不能叠加。 l l         利用信号傅利叶级数分解后的信号分量计算信号功率： §3-4 周期性信号的频谱 l l         周期性函数可以在傅利叶级数中展开。如果给定了各个频率分量的幅度和相位，就可以

31、确定信号。l l         频谱是信号的一种图形表示方法，它将信号各个频率分量上的系数关系用图形的方法表示出来。它可以说明信号的特性，而且可以给信号的变换和处理计算带来很多方便之处。 l l         频谱图有两个组成部分： 振幅频谱：表示信号含有的各个频率分量的幅度。其横坐标为频率，纵坐标各个对应频率分量的幅度。 相位频谱：表示信号含有的各个频率分量的相位。其横坐标为频率，纵坐标各个对应频率分

32、量的相位。 l l         频谱图有两种形式： 1、如果用正弦函数展开式形式的傅里叶级数，则相应的表达式为：则振幅为： 相位为： Ø Ø         按照这种定义做出的频谱，因为只有(或)时才有意义，做出的图只有的一边，所以又被称为单边频谱。 例：周期性方波的单边频谱。，所以：由此可以作出其频谱图 l l     &

33、#160;   单边频谱中，对于(或)点上的幅度频谱，有一些与其它频率点上的不同之处：1） 1）          如果认为幅度频谱表示的是是信号在各个频率上的信号分量幅度的大小，则信号真正的直流分量应该为，频谱在上的分量的大小应该减半。2） 2）          如果认为幅度频谱表示的是随频率变化的规律，则幅度频谱不用变化。2、如果用复数正弦函数展开式形式的傅里叶级数，则相应的表达式为：的傅里

34、叶级数表达式，则：Ø Ø         振幅为Ø Ø         相位为。Ø Ø         按照这种定义做出的频谱在n大于和小于零的两边都有意义，做出的图又被称为双边频谱。Ø Ø       

35、60; 由于对于实数信号而言，其频谱具有对称性，所以一般情况下对于双边频谱也只要作出(或)部分就可以了。这样一来的频谱与单边的频谱就有些相似，但是含义不同。在频谱形状上，两者的相位频谱相同，但是振幅频谱的幅度大小是单边谱的一半。Ø Ø         单边频谱在物理概念上容易理解，但是双边频谱对于后续的处理带来很大的好处Ø Ø         在后面的内容中，频谱往往都是用双边频谱。周期性信号的频

36、谱有下面三个特点：1、     离散性：它有不连续的线条组成；2、     谐波性：线条只出现在基波频率的整数倍点上；3、     收敛性：实际信号的幅频特性总是随频率趋向无穷大而趋向于零。 例：周期性方波脉冲的频谱：其中：，称为抽样函数。根据上面的公式可以画出信号的频谱。该例中信号的振幅频谱和相位频谱可以合二为一。根据周期性方波的频谱，我们可以得到关于信号特性的几个一般性结论：1、 1、     T增加>Sa()函数不

37、变>频谱的包络不变，收敛性不变。但是：1）谱线幅度降低；2）谱线密度加大。n n         信号周期加大，对振幅的收敛性没有影响，但会使谱线密度增加。n n         当T趋向无穷大时，信号成为非周期信号，这时，谱线幅度降低为无穷小，谱线密度加大，信号分量出现在所有频率上。2、 2、     下降>Sa()尺度扩大>收敛性变差，但是谱线间隔不变。n n &#

38、160;       信号时间宽度变小，将使信号能量向高频扩散，信号的频带增加。3、 3、     信号的频带：由于信号的频谱的收敛性，一般可以在一个信号分量主要集中的频率区间内研究信号的特性，而忽略信号其它部分的分量。响应的频率区间就是信号的频带。信号的频带有很多种定义方法：1） 1）     以信号最大幅度的为限，其它部分忽略不计；2） 2）     以信号振幅频谱中的第一个过零点为限，零点以外部分忽略不计；3）

39、 3）     以包含信号总能量的90%处为限，其余部分忽略不计； 4、 4、     信号的边沿对信号频带的影响信号的边沿变化越快，信号的频带越宽。例：三角脉冲函数的频谱：（t_rec_p.m） 例341 例342例341： 请画出下面周期信号的频谱图，并分析当不变而T改变 和T不变而改变频谱的变化情况  解： 该信号第n次谐波的振幅为 频谱绘制如下： 分析并分析当不变而T改变 和T不变而改变频谱的变化情况 由此可见，振幅数值与之比有关。  (a)周期矩

40、形脉冲在时的频谱图。(b)当脉冲连续时间不变,而重复周期增大为时(c)就是不变而减小一倍 所以1、T不变， t改变谱线间隔不变。t下降：1)Sa( )幅度变小；2)收敛速度减慢，3)信号的频带增加 2、T改变， t不变Sa()函数不变(频谱的包络不变，还是收敛）T增加：1）谱线幅度降低；2）谱线密度加大。 例342： 求如下图所示的矩形脉冲的傅里叶变换。分析：这个脉冲与矩形脉冲相比，只是延迟了一时间，因此它的傅里叶变换只要将矩形脉冲的乘以，解：=   显然，这函数的模量与矩形脉冲完全一样，但它的相位要矩形脉冲的滞后，如下图所示。 §3

41、-5 非周期性信号的频谱 非周期性信号可以看成周期信号在周期趋向无穷大时的极限。一、 从周期信号到非周期信号 从傅利叶级数到傅利叶变换 根据周期信号傅利叶级数展开公式，其各个频率分量的幅度为：当时，此时：1） 1）     频谱间隔趋进无穷小，信号在各个频率点上都有信号分量>频率取值变成连续的。2） 2）     在每一个频率点上的频率分量大小趋向零。 其中第二点给计算带来了麻烦，所以无法用傅利叶级数表示非周期信号。这时，为了消除系数公式中趋向无穷小的部分，定义：这时上式可以得到一个非零的

42、值。令，则，而成为一个连续的变量，假设其表示为连续的变量，则可以得到傅利叶变换公式：n n           因为该式有“单位频带内信号幅度”的量纲，所以被称为“频谱密度函数”。它表示信号在该频率点上的分量的相对大小，而信号在此频率点上的实际分量分量大小为零。n n           与傅利叶级数一样，如果f(t)是实数函数，的幅度是的偶函数，的相位是的奇函数。二、   傅

43、利叶反变换怎样用计算f(t)这个公式实际上也表示了将信号分解为一系列复数三角函数的子信号之和（积分）。这个公式也可以表达成为一个在物理上更容易理解的实数三角函数形式：三、   正反傅利叶变换 由此可以得到正反傅利叶变换公式为：FT：IFT： n n   和之间是一一对应的，根据其中的一个可以确定另外一个。可以认为，它们包含了相同的信息，只不过自变量不同，它们是相同信号的不同表达形式。正变换将以时间为自变量的函数变成了以频率为变量的函数，将信号从时域变换到了频域。所以建立在这种变换上的系统分析方法称为变换域法。这种变换通常经过积分计算得

44、出，所以也称为积分变换。n n   傅利叶变换所牵涉的两个函数都是连续函数，所以它完成的是从连续函数到连续函数的变换；而傅利叶级数则是完成从连续函数到离散函数的变换。n n   傅利叶变换存在的条件依然是Direchlet条件，只不过这时考虑的时间区间为。n n   这里，在频域中我们用作自变量，目的是为后面引入拉普拉斯变换打下伏笔。 四、   非周期信号的频谱这里同样可以用图的形式，在变换域中表示信号。响应的频谱图称为信号的幅频特性曲线和相频特性曲线。 例351例351： 求下面非周期信号的傅

45、立叶变换分析：我们既可以根据傅立叶变换的数学定义直接求得；也可以根据周期信号傅立叶级数来求。 解1： 解2：下面的周期信号的傅立叶级数    五、    傅利叶变换的另外几种形式：1、将频域中的自变量从变成，则：FT：IFT：或：FT：IFT：这种形式上正反傅利叶变换形式上比较对称。但是使用时并不方便。 2、一些文献上也可以见到另一种形式的傅利叶变换公式：FT：IFT：§3-6 常用信号的F.T 常用信号的FT见P125129表。现在将一些结论列举如下： 1、 1、 

46、;             冲激函数：例361例361 求单位冲激信号的傅里叶变换。 解 单位冲激信号的傅里叶变换为 即 1 单位冲激信号的频谱如图所示。这种信号中所有频率分量的强度均相等，因而频带具有无限宽度，这是脉冲宽度无限趋小后的意料之中的结果。现在考察一下反变换式，即 因为常数频谱1不满足绝对可积条件，因此从上式是积不出 的结果的。但如将=l看成是一双边指数函数频谱 在趋于零时的极限，即 =l= 则 由上面可见，上述极限除在t=0点有无穷大值外，其余t值时该极限俱为零

47、，因此具有冲激函数性质，其冲激强度可由下式确定。 因此上式右方函数的极限为强度是1的冲激函数。即  2、 2、              单边指数信号：例362例362 求单边指数信号(single-sided exponential signal)的傅里叶变换 分析：只有当0时傅里叶变换存在；当0时， 函数不符合绝对可积条件，傅里叶变换也不存在。  解 此信号的傅里叶变换为 即 由此得，函数的幅度频谱和相位频谱为  3、 3

48、、              双边指数信号：以上两个信号的FT只在时存在。例363 例363 求下图所示双边指数信号(two-sided exponential signal)傅里叶变换。解 根据定义可得 即   (b)频谱函数的模量与相位此即为的幅度频谱，其相位频谱0。同样，要其傅里叶变换存在，亦必需大于零。4、 4、          

49、0;   门函数：5、 5、              阶跃信号：例364例364 求单位阶跃信号的傅里叶变换 解 根据定义，阶跃函数的傅里叶变换应为 因为也不满足绝对可积条件，不能直接应用傅里叶变换式去进行变换。为解决这问题，仍用取极限的方法，可先求得单边指数函数的频谱函数，把它分写为实部和虚部，即 然后令，分别求其实部和虚部的极限A()和B() 且 由此可见，A()是一冲激函数，其冲激强度为，即 A()=又 因此得单位阶跃函数的频谱函数为 即

50、  6、 6、              直流：Ø Ø         阶跃信号和直流信号并不满足绝对可积条件，严格地说不存在傅里叶变换。但是通过引入冲激函数，也可以找到其傅里叶变换的表达式，从而也可以用傅里叶变换的方法进行分析；  §3-7 周期性信号的傅利叶变换 周期信号只是一个相对的概念。如果忽略其周期性，它应该

51、也可以被看成是非周期信号处理，进行傅里叶变换。但周期信号是功率信号，不满足绝对可积条件。但是通过引入冲激函数，一样可以找到傅里叶变换。 1、 1、              复正弦信号的傅里叶变换：n n         根据这个变换以及后面要证明的傅里叶变换的线性特性，可以推导出：2、 2、  周期性信号的傅里叶变换周期性信号可以展开成傅里叶级数：由此可以得到周期性

52、信号的傅里叶变换为: 可见，周期性信号的傅里叶变换是一系列间隔均匀的冲激序列。3、 3、  脉冲信号（FT为）按照周期T进行周期化后信号的FT：（这里假设周期化后各个脉冲没有重叠）f(t)周期化后可以表示成为傅利叶级数：所以：其中：所以： n n   通过查表，可以很方便地得到：1） 1）     非周期信号的FT2） 2）     周期信号的FT3） 3）     周期信号的傅利叶级数对照傅利叶级数和傅利叶变换的定义，可以得到： &#

53、160;4、 4、  均匀冲激序列：例371例371 求均匀冲激序列的傅里叶变换。 解 均匀冲激序列，是如图所示的向t的正负方向无限伸展的、间隔都等于T的冲激函数的序列，它常以符号表示，即  这是一个周期为T的周期信号。由图可见，在间隔-t内，=故 根据抽样性质 故。代入式(3-67)可得即 式中表示一个冲激序列，也就是在轴上每隔出现一个冲激。这种频谱如图所示。 由此可见，一个冲激序列的傅里叶变换仍是一冲激序列。 n n   引入奇异函数后，很多原来不存在FT的函数也可以有FT我们称之为广义傅利叶变换。n n  

54、如果函数的FT在处有冲激，则说明函数存在直流分量；如果函数的FT在处有冲激，则说明函数存在频率为的（复）正弦分量；  §3-8 傅利叶变换的性质1、 1、     线性特性：2、 2、     延时特性：例381例381： 利用傅立叶变换性质求下面信号的傅立叶变换解：  例382例382： 若单脉冲信号 f0(t) 的频谱为若有如下三脉冲信号 求其频谱 解：利用延时性质 例383例383： 已知直流 FT1=2()，求复指数函数的傅立叶变换解：利用延时性质

55、因为：FT1= 2()所以：3、     移频特性：移频特性与延时特性互成对偶。推论：例384例384： 求的傅里叶变换解：根据欧拉公式，正弦函数可以表示为复指数函数之和 所以：即 总结：一个信号在时域中与频率为的正弦函数相乘，等效于在频域中将频谱同时向频率正负方向搬移这种频谱搬移的情况如下图所示 4、     尺度变换：n n   信号的宽度沿时间轴压缩a倍，信号的频率宽度B沿频率轴扩展a倍。脉冲信号的宽度和频带宽度B的乘积等于常数。n n   数据传输中总希望信

56、号的脉冲宽度尽可能小，占用的信号频带同时也尽可能小。但从该性质可以看出，信号脉冲宽度的频带宽度是一对矛盾。 例385例385： 利用傅立叶变换的尺度变换性质求下列信号的傅立叶变换 分析： 根据尺度性质：解：  5、  5、  奇偶虚实性假设：其中：，为的实部；，为的虚部；，为的幅度；，为的相角； 1） 1）     a、 b、c、2） 2）     如果信号f(t)是实数信号，则：a、是的偶函数；是的奇函数； 或：b、是的偶函数；是的奇

57、函数； 3） 3）     如果是实偶函数，则也是实偶函数；如果是实奇函数，则是虚奇函数；4） 4）     思考：如果是虚函数，情况怎样？6、  对称特性如果，则：例386例386： 利用傅立叶变换的对称性质求1的傅里叶正变换分析：下图(a)表示作为一偶函数的单位冲激函数，经过傅里叶正变换，成为(b)所示的频谱函数1。现在将(a)中的变量改为，即把 = 改为=，成为(c)所示的频谱函数再把(b)中的变量改为，并考虑到反变换式中的乘数，把l改为 =，成为(d)所示的时间函数。经过这样把变量和进行对称的互易，从(a)到(b)的正变换就成解：FT1 2时间函数为一常数的信号表示一直流量，它的频谱函数是零频率处的一个冲激，这当然是意想中的事。 7、 微分特性如果存在并且满足Direchlet条件，则：推广： 8、 积分特性如果，或存在且有限，则上式可以简化为： 9、 频域微积分或：10、 卷积定理  利用这十个性质，结合傅利叶变换表，可以求解很多工程上的信号的傅利叶变换。 例387例3