一元二次方程根的分布练习及答案

1、【定理11 xi0 , x2推论：x10 , x20上述推论结合二次函数图象不难得到。【例1】若一元二次方程(m 1)x2围。2(m 1)x m 0有两个正根，求m的取值范一元二次方程根的分布一 一元二次方程根的基本分布一一零分布所谓一元二次方程根的 零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根 分布在零的两侧。设一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的两个实根为x1, x2，且x1 x2。b2 4ac 00 (两个正根)b ，x x20acx 一 0a22b 4ac 0 b 4ac 0a 0或

2、a 0f (0) c 0 f (0) c 0b 0b 024(m 1)4m(m 1) 0分析：依题意有2(m 1) 00 m 3)5【定理3】x1 0 x2- 0a【例3】k在何范围内取值，一元二次方程.2kx 3kx k 3 0有一个正根和一个负根 k 3分析：依题忌有 0 k3b【止理4】xi 0, X20 c 0且一 0；ab . x1 0, x2 0 c 0 且 一 0。a【例4】若一元二次方程kx2 (2k 1)x k 3 0有一根为零，则另一根是正根还 是负根分析：由已知k-3=0, . k =3,代入原方程得3x2+5x=0,另一根为负。.一元二次方程的非零分布k分布,2_b 4

3、ac 0【定理U k xi x【定理2 x1x2k设一元二次方程 ax2 bx c 0 ( a 0)的两实根为 x1, x2，且x1 x20k为常 数。则一元二次方程根的 k分布(即x1, x2相对于k的位置)有以下若干定理。af (k) 0bk2ab2 4ac 0oaf(k) 0b2a【定理3】x1 k 推论1 xi 0 x2 推论2 xi 1 x2 【定理4】有且仅有x2af(k) 0。ac 0。a(a b c) 0。i xi (或 x2) k2f(ki)f(k2)0【定理 5】kixik2 pi x2P2此定理可直接由定理 4推出，请读者自证。【定理6】kixiX2 k2三、例题与练习【

4、例5】已知方程x2 iixi2 m股)4次方程“2mx (ma 0a 0f (ki)0f (ki)0f (k2)0 或f(k2)0f(Pi)0f(Pi)0f(P2)0f(P2)02-b 4ac 0a 0f (ki)0f(k2) 02-b 4ac 0a 0或 f (ki) 0f(k2) 0kib2ak2kib2ak20的两实根都大于的取值范围。i)x 30的两个实根都大于 -I ,求m的取值范围。(m 2或m 5 246 )(3)若例6.次方程1中一或m2已知方程2mx (m 1)x2 J6)范围。(2)已知方程(1 2(3)已知方程式：改为较小实根(4)若方程x2(5)若方程x2求k的取值范围

5、。0的两实根都小于2 ,求m的取值范围。2mx 2m2(m 2)x2)3222m0有一根大于2,另一根比2小，求m的取值二)20有一实根在0和1之间，求m的取值范围。(m2)x2m0的较大实根在0和1之间，求实数m的取值范围。(不可能;m 2)(k2)x2 .3(k(6 )已知关于xk1一)220的两实根均在区间(1、1)内，求k的取值范围。2)x2k 1/ 1.(k2的方程(m0的两根中，一根在2、一)31)x2 2mx m20和1之间，另一根在1和2之间,1 ，求m的取值范围。m 6 0的两根为J7 或 2mJ7 )且满足【例7】 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方

6、程有两根，其中一根在区间(一1, 0)内，另一根在区间(1, 2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0, 1)内，求m的范围.本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所 具有的意义.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线 内，画出示意图，得f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间 (一1, 0)和(1, 2)f(0) f( 1) f(1) f(2)2m24m6m10,20,0,012 R,1256(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0, 1)内，列不等式组f (0) 0,

7、 f(1) 0, 0,0 m 11 m , 2m 1(这里0m1是因为对称轴x= m应在区间(0, 1)内通过)2，m 1 . 2或m 1 . 2, 1 m 0.呵:1 .若方程4x (m 3)?2x m 0有两个不相同的实根，求m的取值范围。提示：令2x = t转化为关于t的一元二次方程有两个不同的正实根。答案： 0Vm 122 . 若关于x的万程lg(x 20x) lg(8x 范围。6a 3) 0有唯一的实根，求实数a的取值提示：原方程等价于x2 20x 02x 20x 8x 6ax 2(M x 0即3x2 12x 6a 3 02令 f (x) = x +12x+6a+311(1)若抛物线

8、y = f(x)与x轴相切，有 =144 4(6a+3)=0即a= 2将a = 11代入式有x =-6不满足式，.aw11。22(2)若抛物线y = f (x)与x轴相交，注意到其对称轴 为x = - 6,故交点的横坐标有且仅有一个满足式的充要条件f( 20) -f(0) 0 业163.当 是0解得6另法：原方程等价于1631ao621a “一时原方程有唯一解。22x +20 x=8 x 6a 3( x 0)d问题转化为：求实数a的取值范围，使直线y =8 x -26 a 3与抛物线 y = x +20 x (x 0)有且只 有一个公共点。虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且 只有一个公共点却不明显，可将变形为x2+12 x+3=6 a ( x 0),再在同一坐标系中分别也作出2抛物线y= x +12 x+3和直线y = -6 a ,如图，显然当一163136aw163即 a 一时直线y = 6a与抛物线有且只有一个公共点。623 .已知 f (x) =( x - a )( x - b ) - 2( a b ),并且 ， 是方程 f (