版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、精选优质文档-倾情为你奉上高斯波涅公式的应用邢家省,王拥军(北京航空航天大学数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京)摘 要: 考虑曲面上高斯波涅公式的应用问题,对有关结果给予直接的证明,并列举了一些实例.关键词: 高斯波涅公式,高斯曲率,测地曲率中图分类号: O186. 11 文献标识码: AThe Application of the GaussBonnet Formula Xing Jiasheng Wang Yongjun(Department of Mathematics, LMIB of the Ministry of Education, Beihang Uni
2、versity ,Beijing ,China)Abstract: Using the GaussBonnet theorem, we give a direct proof of some relevant results and listed some examples.Keywords: GaussBonnet formula , Gauss curvature, geodesic curvature高斯波涅公式是微分几何中的重要定理,它描述了曲面上多边形的内角和与曲面的高斯曲率及边界曲线上的测地曲率之间的关系.对该定理的证明和推广引起了人们持续不断的兴趣,定理结果的应用也被人们发掘出来
3、.我们对常见的能解决的问题结果给出整理,给予直接的证明,列举了一些实例,丰富高斯波涅公式的应用.微分几何中其它相关问题的研究可见文献5-12.收稿日期:基金项目:国家自然科学基金资助项目(),北京航空航天大学教改项目基金资助作者简介:邢家省(1964-)男,河南泌阳人,博士,副教授,研究方向:偏微分方程、微分几何.1. 光滑边界单连通区域上的Gauss-Bonnet公式的应用设曲面 是类正则曲面. 曲面上的高斯曲率为,曲面上的曲线的测地曲率为,曲面上的面积微元为,曲线的弧长微分为.区域的边界记为.定理1(Gauss-Bonnet 公式) 设区域是曲面上的一个单连通区域,如果是一条光滑曲线,则有
4、, (1) 推论1 设区域是曲面上的一个单连通区域,如果是一条光滑曲线,并且是曲面上的测地线,即曲线上的测地曲率,则有 .推论2 设曲面是一个单连通的封闭曲面,则有 .证明 用一条光滑的封闭曲线把曲面分成两个部分和,利用定理1,有,由于和的定向相反,把上两式相加后,得到.例1 设是半径为的球面,此时有,自然成立 .例2 设是椭球面 ,曲面上的高斯曲率为,求.解 由于椭球面是一个封闭地曲面,利用推论2,则有 . 推论3 在高斯曲率非正的单连通曲面上, 不存在光滑的闭测地线.证明 设曲面 是一高斯曲率非正的单连通曲面, 若其上存在一条光滑的闭测地线, 则的测地曲率, 设在曲面所围的区域为,由Gau
5、ss-Bonnet 公式(1),知,这与 上的高斯曲率 矛盾.注 推论3 中必须要求所围成的区域是单连通的, 否则命题不成立. 例如在旋转单叶双曲面上(它的高斯曲率 )存在着一条光滑闭测地线, 即曲面上的最小纬圆.2 分段光滑边界单连通区域上的Gauss-Bonnet公式的应用 定理2 (Gauss-Bonnet公式) 设是有向曲面上的一条由 段光滑的曲线组成的简单封闭曲线, 它由段光滑曲线 所组成, 而这些光滑曲线段在交接处的外角为, 曲线所包围的区域是曲面上的一个单连通区域, 那么成立, , (2)若用表示这些光滑曲线段在交接处的内角,则有 , (3) 推论4 如果曲线 中每段光滑曲线 是
6、测地线, 则在由测地线段所围成的单连通测地边形区域中, 成立如下公式 ; (4)若用表示测地边形的外角 所对应的内角, 则有, (5 )例3 当曲面是平面时, 因为 , 于是(5 )式即平面几何中多边形内角之和的公式. 如当 时就得到: 三角形三内角之和等于.推论5 如果是曲面上的一个测地三角形, 即三条测地线所围成的三角形,则有 , (6)例4 若曲面上的高斯曲率是常数,则曲面上的一个测地三角形三内角之和为,其中A是这个测地三角形的面积. 进而, 当是正常曲率曲面(如球面) 时, , 所在正常曲率曲面上的测地三角形三内角之和大于; 而当 是负常曲率曲面(如伪球面) 时, , 所以在负常曲率曲
7、面上的测地三角形三内角之和小于.例5 在单位球面上若两条大圆相交于南北极且相交处的内角为, 试求其所围区域的面积. 解 由,利用(5)式,得,于是所围面积为 推论6 设是曲面上的一个四边形区域,其内角为,边界由光滑四边构成,则有 定理3 设有定了向的封闭曲面,且 能被剖分成几个四边形,而且各顶点正好聚集四个四边形,则成立 . 证明 设曲面被剖分成个四边形,曲面四边形的边界由四边组成,内角为,利用推论6,可得 ,由条件可知, 于是有,即成立 . 例6 设环面:,其中是正常数,参数。直接计算知, 对环面具有定理上的条件, 利用定理3,可得到, 直接验证 .例7 证明:在高斯曲率非正的单连通曲面上,
8、 不能有两条测地线交于两点.证明 设曲面 是一高斯曲率非正的单连通曲面, 若其上存在两条测地线交于两点,设内角为,所围区域为,利用公式,当时,则有,(若,这与过一点及一个方向的测地线的唯一性矛盾.)这与上的高斯曲率 矛盾.注:在曲面的高斯曲率为正的单连通曲面, 可以存在两条测地线交于两点.例如 球面上的任两个大圆,都是测地线,相交于两点. 例8 设曲面上的高斯曲率是正函数,且单连通的封闭曲面,证明曲面上的任何两个闭测地线至少有一个交点.证明 用反证法.假若曲面上的存在两条不相交的封闭测地线和,设和所围曲面上的区域为,用一条曲线段将曲线和连接起来,可看成一个四边形,其中被正向、方向各利用一次,利
9、用推论6的结果,可得,而这与高斯曲率矛盾,所以原结论成立.例9 利用高斯波涅公式证明:若曲面上存在两族夹角为定角的测地线,则它的高斯曲率处处为零,从而曲面为可展曲面. 证明 在曲面上任取由两组测地线所围的曲边四边形,由条件知,此种四边形的内角和为利用公式,当时,则得,于是必有. 假若存在某点,有,不妨设,存在的一个邻域,在上,;在内取一个四边是测地线弧段四边形,显然,矛盾. 故此曲面上的高斯曲率处处为零.定理4 ( Jacobi, 1842 ) 设 是曲率处处不为零的空间正则闭曲线,其中为弧长参数,如果它的主法线球面标线是单位球面上的一条简单光滑闭曲线. 则这条主法线的球面标线必定平分的面积.
10、证明 设 是的弧长参数, 是作为上曲线的测地曲率, 是上由围成的区域之一. 我们首先证明 .由Frenet 公式, 得,故有,因为 在球面 上, 故沿 , 的单位法向量,于是,因此,( 因为是闭曲线). 再由Gauss-Bonnet 公式得( 因为球面 的总曲率 ),即区域D的面积为, 又因为的面积为 ,故 平分的面积.参考文献:1梅向明,黄敬之.微分几何M.第4版.北京:高等教育出版社出版,2008,158-171.2.微分几何M.北京:,2006,284-293.3 彭家贵,陈卿.微分几何M.北京:高等教育出版社,2002,129-133.169-179.4马 力. 简明微分几何M.北京:清华大学出版社, 2004,85-90.5张立新 .测地线及其应用J. 鞍山师范学院学报. 2 0 0 5 , 7 ( 4 ) : 3 46闫德宝.球面上简单闭曲线的等周不等式J. 云南农业大学学报.2011,26(5):723-724.7王韶丽,闫淑芳.曲面上几种特殊曲线间的关系分析J.邢台学院学报.2011,26(4):174-175.8李金辉,徐爱华.挠率线的几个性质J. 邯郸学院学报.2007.17(3)27-29.9 王如山,刘渐和一般曲面曲线的曲率和挠率的关系式J安徽师范大学学报(自然科学版).2007,31(4):
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 《计算机组成原理教程》全套教学课件
- 《Proteus仿真平台单片机项目式教程》课件 项目5 定时器-2.“9分59秒”定时器
- 2024年业主委托民宿运营协议书范文
- 4兄弟分割宅基地协议书范文
- 0首付买房子欠款协议书范文
- 职业技术学院木业产品设计与制造专业人才培养方案(三年制)
- 城市轨道交通列车自动控制系统维护 课件 项目三 车站列车自动控制系统维护与检修
- 音乐创作的基本原理
- 分丝宽幅整经机编制说明
- 公司项目部负责人安全培训试题带答案(考试直接用)
- 2024年秋季新北师大版7年级上册生物课件 第2单元 生物体的结构 第3章 生物体的结构层次 第1节 细胞通过分裂而增殖
- 2024-2030年湿纸巾市场发展现状分析及行业投资战略研究报告
- 2024-2030年打桩机行业市场发展分析及发展趋势前景预测报告
- 12《总也倒不了的老屋》教学设计-2024-2025学年统编版语文三年级上册
- 数据治理平台建设方案
- 外研版初中英语单词一览表(音标版)
- 2.7 百家争鸣 课件 2024-2025学年统编版七年级历史上册
- 幼儿园 中班数学《会变的图形》
- 北京市2024年中考英语真题【附参考答案】
- 《绿色上网文明上网》主题班会教案
- 加油站经理合同模板
评论
0/150
提交评论