等差数列性质（1）

1、或或a an n+1+1=a an n+d+d等差数列等差数列 几何意义几何意义通项通项公差公差定义定义AAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAA 每一项与每一项与它前一项的它前一项的差差 如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起，项起，等于同一个常数等于同一个常数. . . . . . . . . . .【说明说明】 数列数列 a an n 为等差数列为等差数列a an n+1+1- -a an n=d=dd d=a an n+1+1- -a an n公差是公差是 唯一唯一 的，是一个常数。的，是一个常数。等差数列各项对应的等差数列各项对应的点都在同一条直线上点都在同一条直线上

2、. .知识回顾知识回顾an=a1+(n-1)d一、判定题：下列数列是否是等差数列？. 9 ，7，5，3，, -2n+11， ；. -1，11，23，35，,12n-13，；. 1，2，1，2，；. 1，2，4，6，8，10， ；. a, a, a, a, ， a， ；：复习巩固复习巩固 (1)等差数列等差数列8，5，2，的第，的第5项是项是 AA AAAAAAA (2)等差数列等差数列-5，-9，-13，的第的第n项是项是A -4an = -5+(n-1).(-4)10【说明说明】 在等差数列在等差数列an的通项公式中的通项公式中 a1、d、an、n 任知任知 三三 个，个，可求出可求出 另外

3、一个另外一个二、填空题：二、填空题：简言之“知三求四知三求四”(3)已知已知an为等差数列，为等差数列，a1=3，d= 2 ，an=21，则，则n =（1 1）数列：）数列：-2-2，0 0，2 2，4 4，6 6，8 8，1010，12345678910123456789100P39例4等差数列的图象等差数列的图象1（2）数列：）数列：7，4，1，-2，12345678910123456789100等差数列的图象等差数列的图象2（1）数列：）数列：4，4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100等差数列的图象等差数列的图象3例1 已知数列的通项公式为已知数列的通项公

4、式为a an n=pn+qpn+q，其中，其中p,qp,q是常数，且是常数，且p0p0，那么这个数列是否一定是等，那么这个数列是否一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看要看a an na an-1n-1(n2)是不是一个与是不是一个与n无关的常数就行了无关的常数就行了解：取数列中的任意相邻两项解：取数列中的任意相邻两项a an-1n-1与与a an n(n2)(n2)a an na an-1n-1=(pn+q)-p(n-1)+q(pn+q)-p(n-

5、1)+q =pn+q-(pn-p+q =pn+q-(pn-p+q) ) =p =p它是一个与它是一个与n n无关的常数，所以是等差数列，且公差是无关的常数，所以是等差数列，且公差是p p在通项公式中令在通项公式中令n=1n=1，得，得a a1 1=p+qp+q, ,所以这个所以这个等差数列的首项是等差数列的首项是p+qp+q，公差是，公差是p p, ,等差数列的性质等差数列的性质P P38382 2，3 3在一个数列中在一个数列中, ,从第从第2 2项起项起, ,每一项每一项( (有穷数列的有穷数列的末项除外末项除外) )都是它前一项与后一项的等差中项都是它前一项与后一项的等差中项. .如果如

6、果a,A,ba,A,b成等差数列成等差数列, ,那么那么A A叫叫a a与与b b的等差中项的等差中项. .如如: :数列数列:1,3,5,7,9,11,13,:1,3,5,7,9,11,13,中中, ,1532 3752 5972 593111137222 3719522 241532aaaaa 35261742aaaaaaa 即：即：P P3737例例5 5等差数列的性质等差数列的性质思考题思考题:已知三个数成等差数列的和已知三个数成等差数列的和是是12，积是，积是48，求这三个数，求这三个数. :, ,.12484422ad a adadaadadaadaadd 解 设这三个数为解 设这

7、三个数为或或设数技巧设数技巧已知三个数成等差已知三个数成等差 数列，且和已知时常数列，且和已知时常利用对称性利用对称性设三数为：设三数为：a-d , a , a+da-d , a , a+d四个数怎么设？四个数怎么设？26 ,21,179.(1),;(2),10AB BC CDADcmcmAB BC CDAB BC CD 3838P P 例正方形边长分别为的长成例正方形边长分别为的长成等差数列 且其面积之和为等差数列 且其面积之和为求的长求的长以的长为等差数列的前三项以的长为等差数列的前三项以第项为边长的正方形的面积是多少？以第项为边长的正方形的面积是多少？3,7,11.cmcmcm21521

8、cmP P39396 6，7 71a111(1)(1)2(2)mnaaamdandamndmnpq mnpqaaaa d na Nqpnm,qpnmqpnmaaaa 在等差数列在等差数列中，中，为公差，若为公差，若且且求证：求证： 证明：证明： 设首项为设首项为，则，则例例2.111(1)(1)2(2)pqaaapdaqdapqd等差数列的性质等差数列的性质P P393911 11a amm+ +a an n=a ap p+ +a aq q上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项，否则不成立。如的项，否则不成立。如a a1 1+ +a a2 2=a a3

9、3 成立吗？成立吗？ 【说明说明】 3.3.更一般的情形，更一般的情形，a an n= = ，d d= = 1. 1. a an n 为等差数列为等差数列 2. 2. a a、b b、c c成等差数列成等差数列 a an n+1+1- - a an n=d=da an n+1+1=a=an n+d+da an n= a a1 1+ +( (n-n-1) 1) d da an n= = kn + bkn + b（k k、b b为常数）为常数）a amm+ +( (n n - - mm) ) d dmnaamnb b为为a a、c c 的等差中项的等差中项2cab 2 2b= a+cb= a+c4

10、.4.在在等差数列等差数列 a an n 中，由中，由 m+n=p+q m+n=p+q 注意：注意：上面的命题的逆命题上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的；的； 等差数列的性质等差数列的性质P P39398 8，10105 5. . 在等差数列在等差数列 a an n 中中a a1 1+ +a an n a a2 2+ + a an-n-1 1 a a3 3+ + a an-n-2 2 =例例2 .在在等差数列等差数列an中中(1) 已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20(2）已知）已知 a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8(3) 已知已知 a4+a

11、5+a6+a7=56，a4a7=187，求，求a14及公差及公差d.分析：由分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及及 a6+a9+a12+a15=20，可得可得a1+a20=10分析：分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=1523分析：分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又又 a4a7=187 ， 解解 、 得得a4= 17a7= 11 a4= 11a7= 17 或或d= _2或或2, 从而从而a14= _3或或31例题分析例题分析1 1. .等差数列等差数列 an

12、 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，2 2a -5-5，-3-3a +2 2，则则 a 等于（等于（ ) ) A . -. -1 1 B . . 1 1 C . .-2 -2 D. 2B2. 在在数列数列an中中a1=1，an= an+1+4，则，则a10= 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6-6)提示提示1:提示：提示：d=an+1an=4 -353. 在在等差数列等差数列an中中 (1) 若若a59=70，a80=112，求，求a101； (2) 若若ap= q，aq= p ( pq )，求，求ap+qd=2,a101=154d= -1, ap+q =0课堂练习课堂练习3

13、00 5004. 在在等差数列等差数列an中中, a1=83，a4=98，则这个数列有，则这个数列有 多少项在多少项在300到到500之间？之间？ d=5,提示：提示：an=78+5n52845244 nn=45，46，84402.已知已知an为等差数列，若为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求，求a 3 ?1. 若若a12=23，a42=143， an=263，求，求n.3. 三数成等差数列，它们的和为三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的，首尾二数的积为积为12，求此三数，求此三数. .d= 4n=72a 3= a 10 +(3-10)d a 3=27设这三个数分别为设这三个

14、数分别为a-d a，a+d，则，则3a=12，a2-d2=126，4，2或或2，4，6研究性问题研究性问题练习练习 梯子的最高一级宽梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽，最低一级宽110 cm，中间，中间 还有还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽.项数（上） 123456789101112数列的项数列的项33110项数（下）121110987654321分析：分析： 解法一解法一: 用用an题中的等差数列，由已知条件，有题中的等差数列，由已知条件，有 a1=33 ，a12=110 ，n=12 又又a12=a1+(121)d即即11033

15、11d 所以所以 d=7 因此，因此， a2=33+7=40 a3=40+47 a11=96+7=103 答：梯子中间各级的宽从上到下依次是答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm、 47cm、 54cm、 61cm、 68m、 75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.a amm+ +a an n=a ap p+ +a aq q上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项，否则不成立。如的项，否则不成立。如a a1 1+ +a a2 2=a a3 3 成立吗？成立吗？ 【说明说明】 3.3.更一般的情形，更一般的情形，a an n= = ，d d

16、= = 1. 1. a an n 为等差数列为等差数列 2. 2. a a、b b、c c成等差数列成等差数列 a an n+1+1- - a an n=d=da an n+1+1=a=an n+d+da an n= a a1 1+ +( (n-n-1) 1) d da an n= = kn + bkn + b（k k、b b为常数）为常数）a amm+ +( (n n - - mm) ) d dmnaamnb b为为a a、c c 的等差中项的等差中项2cab 2 2b= a+cb= a+c4.4.在在等差数列等差数列 a an n 中，由中，由 m+n=p+q m+n=p+q 注意：注意：

17、上面的命题的逆命题上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的；的； 等差数列的性质等差数列的性质5 5. . 在等差数列在等差数列 a an n 中中a a1 1+ +a an n a a2 2+ + a an-n-1 1 a a3 3+ + a an-n-2 2 =前前100个自然数的和：个自然数的和：1+2+3+100= ； 前前n个奇数的和：个奇数的和：1+3+5+(2n-1)= ；前前n个偶数的和：个偶数的和：2+4+6+2n= .思考题：思考题：如何求下列和？如何求下列和？5050n2n(n+1)二、学习新课二、学习新课等差数列前等差数列前n 项和项和Sn = = .2)(1n

18、aan dnnna2)1(1 =an2+bna、b 为常数为常数Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an (1)Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1 (2)(1)+ (2)得得2Sn=n(a1+ an)【说明说明】推导等差数列的前推导等差数列的前n项和公式的方法叫项和公式的方法叫 ；等差数列的前等差数列的前n项和公式类同于项和公式类同于 ；an为等差数列为等差数列 ，这是一个关于，这是一个关于 的的 没有没有 的的“ ” 倒序相加法倒序相加法梯形的面积公式梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项常数项二次函数二次函数（ 注意注意 a 还还可以是可以是 0）例例1 已知数列已知数列an中中Sn=2n2+3n， 求证：求证：an是等差数列是等差数列.等