利用导数研究函数的极值(高中数学人教A选修2-2)（课堂PPT）

1、1.3.2 函数的极值与函数的极值与导数导数学习目标学习目标1.结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件的必要条件和充分条件2.会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值、极小值的极大值、极小值复习复习:aby=f(x)xoyy=f(x)xoyab如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)( xf)(xf单调性的判断方法有哪些？单调性的判断方法有哪些？单调性与导数有何关系单调性与导数有何关系? ?f (x)0f (x)0，则，则f(x)在此区间为增函数；在此区间为

2、增函数；如果如果f (x)0，则，则f(x)在此区间为减函数；在此区间为减函数；如果如果f (x)=0，则，则f(x)在此区间为常数函数；在此区间为常数函数； 练习:判断函数f(x)=2x3-6x2+7的单的单调性调性。 函数函数 y=f (x)在点在点x1 、x2 、x3 、x4处的处的函数值函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点近旁各点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：观察图像： yxOaby f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)5yxaob yf x(图一图一)

3、0)( xf0)( xf0)( xf0)( af0)( bfxy yf xohgfedc(图二图二)极大值极大值f(b)点点a a叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值点极小值点，f(a a)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值极小值.点点b b叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值点极大值点，f(b b)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值极大值.极小值点极小值点、极大值点极大值点统称统称极值点极值点，极大值极大值和和极小值极小值统称为统称为极值极值.极小值极小值f(a)观察与思考：观察与思考：极值与导数有何关系？极值与导数有何关系？在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。在极值点处

4、，曲线如果有切线，则切线是水平的。 f (x1) 0 f (x2) 0 f (x3) 0 f (b)=0y f(x) yxOabx1x2x3c结论：设结论：设x=x0是是y=f(x)的极值点，且的极值点，且f(x)在在x=x0是可导的，则必有是可导的，则必有f (x0)=0 f (x)0 yxOx1aby f(x) f (x)0 f (x)0 1、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0，右侧，右侧f (x)0，则则f (x0)是极大值；是极大值； 2、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0， 则则f (x0)是极小值；是极小值；已知函数已知函数f(x)在点在点x0处是处

5、是连续连续的，且的，且 f (x0)=0则则二、判断函数极值的方法二、判断函数极值的方法x2导数为导数为0的点不一定是极值点；的点不一定是极值点；若极值点处的导数存在，则一定为若极值点处的导数存在，则一定为0点评：可导函数点评：可导函数)(xfy , 0)(oxf且在点且在点x0左侧和右侧，左侧和右侧， f (x)异号异号.在点在点x0取得极值的充分必要条取得极值的充分必要条件是件是yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf 观察上述图象观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小

6、值点.9102.2.下列函数存在极值的是（下列函数存在极值的是（ ）（A A）y= y= （B B）y=x-ey=x-ex x （C C）y=2 y=2 （D D）y=xy=x3 3提示：提示：选选B.y= B.y= 在定义域上不连续在定义域上不连续, ,且且x0 x0时单调递减时单调递减,x,x0 0时时也单调递减也单调递减, ,因此因此y= y= 不存在极值不存在极值;y=x;y=x3 3是单调函数也不存在极是单调函数也不存在极值值. .1x1x1x注意注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是的，是局部性质局部性质。因此一个函数在其整个定义区间

7、。因此一个函数在其整个定义区间上可能有上可能有多个极大值或极小值多个极大值或极小值，并对同一个函数来，并对同一个函数来说，在某说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值一点的极大值也可能小于另一点的极小值。例例.判断下面判断下面4个命题，其中是真命题序号为个命题，其中是真命题序号为 。可导函数必有极值；可导函数必有极值；函数的极值点必在定义域内；函数的极值点必在定义域内；函数的极小值一定小于极大值。函数的极小值一定小于极大值。（设极小值、极大值都存在）；（设极小值、极大值都存在）；函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极小值（或极大值）不会多于一个。xy2 如如例例1 求函数求函数 的

8、极值。的极值。44xx31y3 x-22 y00y解解：定义域为：定义域为R，y=x2-4由由y=0可得可得x=-2或或 x=2当当x变化时，变化时，y, y的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，当因此，当x=-2时，时， y极大值极大值=28/3 当当x=2时，时， y极小值极小值=4/3(-，-2）(-2，2）(2，+）+极大值极大值28/3极小值极小值 -4/31、求可导函数、求可导函数f(x)极值的步骤：极值的步骤：(2)求导数求导数f (x)；(3)求方程求方程f (x）=0的根的根,得到极值点的可疑点；得到极值点的可疑点； (4)把定义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格

9、部分区间，并列成表格检查检查f (x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号如果如果左正右负左正右负（+ -），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值值如果如果左负右正左负右正（- +），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小小值；值；(1) 确定函数的确定函数的定义域定义域；练习练习1求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf解解: , 112)( ) 1 (xxf令令 解得解得 列表列表:, 0)( xf.121xxf (x)0f (x)+单调递增单调递增单调递减单调递减 )121,(),121(

10、1212449所以所以, 当当 时时, f (x)有极小值有极小值121x.2449)121(f求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf解解: , 0273)( )2(2xxf令解得解得 列表列表:. 3, 321xxx(, 3)3(3, 3)3( 3, +)f (x)00f (x) +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增5454所以所以, 当当 x = 3 时时, f (x)有极大值有极大值 54 ;当当 x = 3 时时, f (x)有极小值有极小值 54 .练习练习2 1、可导函数的极值点概念及与导数的关系。、可导函数

11、的极值点概念及与导数的关系。2、求极值的方法步骤。、求极值的方法步骤。3、极值与最值的联系与区别。、极值与最值的联系与区别。4、求最值的方法步骤。、求最值的方法步骤。5、注意：不可导函数也可能有极值点、注意：不可导函数也可能有极值点.例如例如函数函数y=|x|,它在点它在点x=0处不可导处不可导,但但x=0是是函数的极小值点函数的极小值点.故函数故函数f(x)在极值点处不在极值点处不一定存在导数一定存在导数.小结1718193.3.函数函数f f（x x）=x=x3 3+x+x2 2+x+a+x+a的极值点个数为（的极值点个数为（ ）（A A）0 0 （B B）1 1 （C C）2 2 （D D）3 3【解析】【解析】选选A.A.因为因为ff（x x）=3x=3x2 2+2x+1+2x+10 0，所以，所以f f（x x）在）在R R上上是增函数，故是增函数，故f f（x x）不存在极值点）不存在极值点. .20例例2 求函数求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。的极值。x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y00+0+y无极值无极值极小值极小值0无极无极值值解解：定义域为：定义域为R， y=6x(x2-1)2。由由y=0可得可得x