37微分在近似计算中的应用7481975105440

1、导数与微分1计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值3.7 3.7 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用相关变化率相关变化率计算函数的近似值计算函数的近似值误差估计误差估计相关变化率相关变化率一、计算函数增量的近似值, 0)()(00很小时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若xxfxxfy 例例1 1?,05. 0,10问面积增大了多少问面积增大了多少厘米厘米半径伸长了半径伸长了厘米的金属圆片加热后厘米的金属圆片加热后半径半径解解,2ra 设设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdaa 205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 二、计算函数

2、的近似值;)(. 10附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 例例1 1.0360coso的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为弧度为弧度xxxf ,360,30 xx.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 ;0)(. 2附近的近似值附近的近似值在点在点求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令常用近似

3、公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例2 2.计算下列各数的近似值计算下列各数的近似值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 三、

4、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差.定义：定义：.,的绝对误差的绝对误差叫做叫做那末那末为为它的近似值它的近似值如果某个量的精度值为如果某个量的精度值为aaaaa .的相对误差的相对误差叫做叫做的比值的比值而绝对误差与而绝对误差与aaaaa 问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对

5、误差无法求得?办法办法: :将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内. .,的相对误差限的相对误差限叫做测量叫做测量而而的绝对误差限的绝对误差限叫做测量叫做测量那末那末即即又知道它的误差不超过又知道它的误差不超过测得它的近似值是测得它的近似值是如果某个量的精度值是如果某个量的精度值是aaaaaaaaaaa 通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误绝对误差差与与相对误差相对误差.例例3 3.,005. 041. 2误差误差并估计绝对误差与相对并估计绝对误差与相对求出它的面积求出它的面积米米正方形边长为正方形边长为 解解则则面积为面积为设正方形边长为设正方

6、形边长为,yx.2xy ,41. 2时时当当 x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 241. 22 xxxy.82. 4 ,005. 0 x 边长的绝对误差为边长的绝对误差为005. 082. 4 y 面积的绝对误差为面积的绝对误差为).(0241. 02m yy 面积的相对误差为面积的相对误差为8081. 50241. 0 %.4 . 0 四、相关变化率四、相关变化率.,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而变量都是

7、可导函数都是可导函数及及设设dtdydtdxyxtyytxx 相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?相关变化率解法三步骤相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t 求导求导相关变化率相关变化率求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率0),( yxftytxdddd和和之间的关系式之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)例例解解?,500./140,500率是多少率是多少观察员视线的仰角增加观察员视线的仰角增加米时米时当气球高度为当气球高

8、度为秒秒米米其速率为其速率为上升上升米处离地面铅直米处离地面铅直一汽球从离开观察员一汽球从离开观察员则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为秒后秒后设气球上升设气球上升, ht500tanh 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米时米时当当h)/(14. 0分分弧度弧度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500例例解解?,20,120,4000,/803水面每小时上升几米水面每小时上升几米米时米时问水深问水深的水槽的水槽顶角为顶角为米米形状是长为形状是长为水库水库秒的体流量流入水库中秒的体

9、流量流入水库中米米河水以河水以则则水库内水量为水库内水量为水深为水深为设时刻设时刻),(),(tvtht234000)(htv 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhhdtdv 38000,/288003小时小时米米 dtdv小时小时米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米时米时当当 h四、小结求导求导两边关于两边关于方程方程tyxf0),( 近似计算的基本公式近似计算的基本公式.)0()0()(xffxf 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,很很小小时时当当 x ,0时时当当 x相关变化率的求法相关

10、变化率的求法个。个。由一个变化率求出另一由一个变化率求出另一的关系式的关系式和和得出得出,dtdydtdx一、一、填空题：填空题： 1 1、 利用公式利用公式)()()(000 xxxfxfxf 计算计算)(xf时，要求时，要求_很小很小. . 2 2、 当当0 x时 ， 由 公 式时 ， 由 公 式dyy 可 近 似 计 算可 近 似 计 算_)1ln( x； _tan x，由此得，由此得_45tan ；_002. 1ln . . 二二、 利利用用微微分分计计算算当当x由由 45变变到到0145 ,时时，函函数数xycos 的的增增量量的的近近似似值值( (017453. 01 弧弧度度)

11、). .三三、 已已知知单单摆摆的的振振动动周周期期glt 2，其其中中980 g厘厘米米/ /秒秒2 2，l为为摆摆长长（单单位位为为厘厘米米） ，设设原原摆摆长长为为 2 20 0厘厘米米，为为使使周周期期t增增大大 0 0. .0 05 5 秒秒，摆摆长长约约需需加加长长多多少少？练练 习习 题题四四、 求求近近似似值值：1 1、 136tan；2 2、 5002. 0arcsin； 3 3、3996. .五、设五、设0 a，且，且nab ，证明，证明 1 nnnnababa，并计算，并计算101000的近似值的近似值 . .六、已知测量球的直径六、已知测量球的直径d有有 1%1%的相对

12、误差，问用公式的相对误差，问用公式 36dv 计算球的体积时，相对误差有多大？计算球的体积时，相对误差有多大？七、 某厂生产七、 某厂生产 （教材（教材 2-182-18 图） 所示的扇形板， 半径图） 所示的扇形板， 半径r=200=200 毫米，要求中心角毫米，要求中心角 为为 55产品检验时，一般用测量产品检验时，一般用测量 弦长弦长l的办法来间接测量中心角的办法来间接测量中心角 ，如果测量弦长，如果测量弦长l 时的误差时的误差l = =0.10.1 毫米，问由此而引起的中心角测量毫米，问由此而引起的中心角测量 误差误差 是多少？是多少？ 一一、1 1、0 xx ； 2 2、002. 0,01309. 0, xx. . 二二、0021. 02160