第八章7方向导数与梯度

1、方向导数与梯度方向导数与梯度实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、方向

2、导数的定义一、方向导数的定义 讨论函数讨论函数 在一点在一点p沿某一沿某一方向的变化率问题方向的变化率问题),(yxfz 引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lppuyxpyxfz)(),(),( ).(),(,puplyyxxplx 上的另一点且上的另一点且为为并设并设为为的转角的转角轴正向到射线轴正向到射线设设 oyxlp xyp |pp,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且, z 考虑考虑当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，p pl ),(),(lim0yxfyyxxf 是否存在？是否存在？的方向导数的方向导数沿方向沿方向则称这

3、极限为函数在点则称这极限为函数在点在，在，时，如果此比的极限存时，如果此比的极限存趋于趋于沿着沿着当当之比值，之比值，两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量定义定义lpplpyxppyxfyyxxf 22)()(),(),( 记为记为.),(),(lim0 yxfyyxxflf 依依定定义义，函函数数),(yxf在在点点p沿沿着着x轴轴正正向向0 , 11 e、y轴轴正正向向1 , 02 e的的方方向向导导数数分分别别为为yxff ,；沿沿着着x轴轴负负向向、y轴轴负负向向的的方方向向导导数数是是 yxff ,.方向导数的几何意义方向导数的几何意义 ),(),(lim),(00000

4、00yxfyyxxflyxfx yyyxxx 00过直线过直线 作平行于作平行于 z 轴的平面轴的平面 与曲面与曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲线记为所交的曲线记为 c c上上考考察察在在 对对应应的的方方向向与与lpp0 ),(),(0000yxfyyxxf 表示表示c 的割线向量的割线向量 的的交交角角的的正正切切值值与与lpp0即即的斜率的斜率关于关于lpp0时时当当0 ),(),(0000yxyyxx 即即割线转化为切线割线转化为切线上式极限存在就意味着当点上式极限存在就意味着当点),(00yyxx ),(00yx趋于点趋于点 曲线曲线c在点在点 p0 有唯一的切线有唯一

5、的切线它关于它关于 方向的斜率方向的斜率l就是方向导数就是方向导数),(00yxlf lcm0tp0pml定理如果函数定理如果函数),(yxfz 在点在点),(yxp是可微分是可微分的，那末函数在该点沿任意方向的，那末函数在该点沿任意方向 l l 的方向导数都的方向导数都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 为为x轴到方向轴到方向 l l 的转角的转角证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 两边同除以两边同除以,得到得到 )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向导数故有方向导数 l

6、f ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf cossin例例 1 1 求求函函数数yxez2 在在点点)0 , 1(p处处沿沿从从点点 )0 , 1(p到到点点)1, 2( q的的方方向向的的方方向向导导数数.解解这这里里方方向向l即即为为1, 1 pq,故故x轴到方向轴到方向l的转角的转角4 .; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向导数所求方向导数 lz)4sin(2)4cos( .22 例例 2 2 求函数求函数22),(yxyxyxf 在点在点（1，1）沿与沿与x轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射

7、线l的方向导数的方向导数.并并问在怎样的方向上此方向导问在怎样的方向上此方向导 数有数有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf ,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）当）当4 时，时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;（3）当）当43 和和47 时，时，方向导数等于方向导数等于 0.推广可得三元函数方向导

8、数的定义推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数对于三元函数),(zyxfu ，它在空间一点，它在空间一点),(zyxp沿着方向沿着方向 l的方向导数的方向导数 ，可定义，可定义为为,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf （ 其中其中222)()()(zyx ）设设方方向向 l 的的方方向向角角为为 ,cos x,cos y,cos z 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向沿任意方向 l的方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有.coscoscos zfyfxflf 例例 3 3 设设n是曲面是曲面632222 zyx 在点

9、在点)1 , 1 , 1(p处的指向外侧的法向量，求函数处的指向外侧的法向量，求函数2122)86(1yxzu 在此处沿方向在此处沿方向n的方向的方向导数导数.解解令令, 632),(222 zyxzyxf, 44 ppxxf, 66 ppyyf, 22 ppzzf故故 zyxfffn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦为方向余弦为,142cos ,143cos .141cos ppyxzxxu22866 ;146 ppyxzyyu22868 ;148 ppzyxzu22286 .14 故故ppzuyuxunu)coscoscos( .711 二、梯度的概念二、梯度的概念?

10、:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题p定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 d 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点dyxp ),(，都可定出一个向量都可定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxp的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfixf .设设jie sincos 是是方方向向 l上上的的单单位位向向量量，由方向导数公式知由方向导数公式知sin,cos, yfxf sincosyfxflf eyxgradf ),(,cos| ),(|

11、 yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 当当1),(cos( eyxgradf时，时，lf 有有最最大大值值. 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数的最大值梯度的模为 22| ),(| yfxfyxgradf.gradfgradf p当当xf 不不为为零零时时，x轴到梯度的转角的正切为轴到梯度的转角的正切为xfyf tan),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),(

12、czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图oyx1),(cyxf2),(cyxfpcyxf),(),(yxgradf梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量等高线等高线等高线的画法等高线的画法例如例如,图形及其等高线图形图形及其等高线图形函数函数xyzsin 梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：向导数向导数的方的方于函数在这个法线方向于函数在这个法线方向模等模等高的等高线，而梯度的高的等高线，而梯度的值较值较值较低的等高线指向数值较低的等高线指向数从数从数线的一个方向相同，且线的一个方向相同，且在这点的法在这点的法高线高线的等的等的梯度的方向与点的梯度的方向与点在点

13、在点函数函数cyxfpyxpyxfz ),(),(),(此时此时 f ( x , y ) 沿该法线方向的方向导数为沿该法线方向的方向导数为2222yxyyyxxxffffffffnf 0 gradf 故应从数值较低的等高线指向数值较高的等故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。方向。梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 g 内具有内具有一阶连续偏导数

14、，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点gzyxp ),(，都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.类似地类似地,设曲面设曲面czyxf ),(为函数为函数),(zyxfu 的等量面，此函数在点的等量面，此函数在点),(zyxp的梯度的方向与的梯度的方向与过点过点 p的等量面的等量面czyxf ),(在这点的法线的一在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的

15、等量面指向数值较个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数向的方向导数.例例 4 4 求求函函数数 yxzyxu2332222 在在点点 )2 , 1 , 1 (处处的的梯梯度度，并并问问在在 哪哪些些点点处处梯梯度度为为零零？解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 p处梯度为处梯度为 0.例例5 求函数求函数)(12222byaxz 沿曲线沿曲

16、线12222 byax在点在点)2,2(ba处处的内法线方向的方向导数的内法线方向的方向导数解一解一用方向导数计算公式用方向导数计算公式 即要求出从即要求出从 x 轴正向沿逆时针轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角转到内法线方向的转角在在12222 byax两边对两边对x 求导求导02222 dxdybyax解得解得yaxbdxdy22 abdxdym 0（切线斜率）（切线斜率）故法线斜率为故法线斜率为ba tan内法线方向的方向余弦为内法线方向的方向余弦为22cosbab 22cosbaa 而由而由)(12222byaxz 得得222,2byyzaxxz byzaxzmm2,200 cosco

17、syzxzlz )(2()(22222baabbaba )( 2122baab 解二解二用梯度用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值值, 即梯度是函数在这点增长最快的方向即梯度是函数在这点增长最快的方向 从等高线的角度来看，从等高线的角度来看，f ( x , y ) 在点在点 p 的梯度的梯度 方向与过点方向与过点p 的等高线的等高线 f ( x , y ) = c 在这点在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向

18、数值较高的等高线指向数值较高的等高线)(1),(2222byaxyxfz 等高线为等高线为f ( x , y ) = c 即即cbyax 12222212111cccc 若若椭圆椭圆122221cbyax 222221cbyax 大于椭圆大于椭圆因此因此12222 byax在点在点)2,2(ba处的内法线恰好是梯度方向处的内法线恰好是梯度方向故故22)()(|yzxzgradzlz pbyax424244 )(2122baab 1),(cyxf 2),(cyxf 三、小结三、小结1、方向导数的概念、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）2、梯度

19、的概念、梯度的概念（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系.),(最快的方向最快的方向在这点增长在这点增长梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf思考题思考题讨讨论论函函数数22),(yxyxfz 在在)0 , 0(点点处处的的偏偏导导数数是是否否存存在在？方方向向导导数数是是否否存存在在？思考题解答思考题解答xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数, )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数22yxz 在点在点)2 , 1(处沿从点处沿