解析几何答案解析廖华奎王宝富第二章

1、第二章直线与平面3 ,习题2.11.求通过两点A(2,3,4)和B(52 1)的直线方程。z 45"uuLr解：直线的方向向量为AB (3, 1, 5)，所以直线的方程为2.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的普通方程和参数方程。(1)过点(1,2,0),(2, 1,4),(3,1,5)；(2)过点(3,12)和 z 轴;过点(2,0,1)和(1,3,4)，平行于 y 轴;(4)过点(1, 5,4)，平行于平面3x 2y 5(4, 1, 5)，所以平面的参数方程解：(1)平面的方位向量为 V1( 1, 3,4), V2平面的普通方程为0,即 19x11y13z 30.(2)平面的方位向

2、量为V1(3,1, 2), V2(0,0,1)，所以平面的参数方程3 3 ,1,因为过z轴，所以也可选经过的点为(0,0,0),那么参数方程也可以x写为 y平面的普通方程为0,即 x 3y0.(3)平面的方位向量为 Vi(3,3,5), V2(0,1,0)，所以平面的参数方程平面的普通方程为0,即 5x3z 70.(4)平面的方位向量平行于平面3x2y 50 ,方位向量(X,Y,Z)满足3X 2Y0 ,因此可以选为V1(2, 3,0), V2(0,0,1)。所以平面的参数方程平面的普通方程为0,即 3x 2y 70.3.在直角坐标系中，求通过点(1,0,2)并与平面均垂直的平面方程。解：平面1

3、:2x y z2的法向量分别是n1(2,1, 1), n2(1, 1, 1)，所求平面与垂直，所以它的法向量n与片，门2均垂直，因此nn1 n2(2,1, 1) (1, 1, 1)( 2,1, 3),平面的方程为2(x 1) y3(z 2)0,即 2x y 3z 60.4.在直角坐标系中，求经过点Mi(3,1,4), M2(1,0, 3),垂直于平面2x 5y z 10的平面方程。解：设平面的法向量为则它与MM垂直，它又与平面2x 5y z 10的法向量(2,5,1)，故 n ( 2,1, 7)(2,5,1)12(3, 1, 1).所以所求平面的方程为3(x3) (y 1) (z 4)0,即

4、3x y z 60.5.在直角坐标系中，设平面的方程为Ax By CzD 0,其中ABCD 0。设此平面与三坐标轴分别交于M 1, M2, M3，求三角形M1, M 2,M 3的面积和四面体OM 1M2M3的体积。解：由于 ABCD 0，所以平面的三个截距分别为D,。因此四面体ABC0M 1M 2M 3的体积为V16(D7)(D D?)( 6)1 |d6 ABC三角形M1,M 2,M3的面积UUJLUULM1M2ULULUUrM1M3期山3D而 M1M 2 M 1M 3(,AD，0)(烈D d2 C) D ( BC ' CA AB1 1 1 )丿,所以s 2d2Ja2 b2 c2ABC

5、 I6.设平面:Ax ByCz D0 与连接两点 M1(X1, y1, Z1)和 M 2(X2, y2,Z2)的线段相交于点M，且MJLULUJ1MkMM 2，证明Ax1 By1 Cz, DAx2 By2 Cz2 DULULUJ证明：因为MjMkMM 2，所以由定比分点的坐标公式得到点M的坐标x1 kx2x -nr,yz kz1 k ,z 人，将它们代入平面方程中得y1 ky2AX1 kx2"1 Ryi ky20,整理即得k 丛Ax2DBy2 Cz2 DByi Czi习题2.21.求经过点(2,1,3),并且通过两平面2x7y 4z 30 与 3x5y4z 110 的交线的平面方程。

6、解：经过交线的平面束方程为1(2x 7y4z 3)2(3x 5 y4z11)0，其中2不全为零。所求平面经过点(2,1,3)，将它代入上式得到16, 21，因此平面的方程为15x47y28z 70.2.判断下列各对平面的相关位置。(1)2y0与3x2z 1(2)3x9y6z20 与 2x6 y 4z40 ；2y解：(1)平面的法向量分别是 (1,2,1),(3,1,2)，它们不共线，所以两平面相交。(2 )两平面的系数之比的关系为2-，所以两平面重合。43(3 )第二个平面的方程化为X2y0 ,所以两平面的系数之比的关系为2 1 121 T，所以两平面平行。3.将下列直线的普通方程化为标准方程

7、。(1) 3X y 2 0, ( 2)y 14y 3z 1 0;z 20,0.11解：(1)方程可写成3x4(yy 2,2)3(zx所以标准方程为一3),1x(2 )标准方程为-1y 10z 204.求通过点No(1,4,2)且与两平面:6x 2y 2z 30,2 : 3x 5y 2z均平行的直线方程。解：直线的方向向量v (X,Y,Z)与已知两平面均平行，所以6X 2Y 2Z3X 5Y 2Z0,得到x：Y：z 1：3:( 6),于是直线的方程为5.判断下列各对直线的位置。z 2"T"x(2)解:0,0,0,0.x(1 )直线石2经过点M1 ( 1,1,2)，方向向量是V1

8、(3, 3,1)，直宁经过点M2(O,6,5)，方向向量是V2( 1,2,3)。ULULULU混合积(14124,2)1060,所以两直线异面。x y z(2)直线 yy z 10, x0, x0 x 1'方程可分别化为 0. 01571-.经过的点分别是M ", 1,0),1 1M2(1,0,0).方向向量分别是V1(0,1,1),V2( 1,1,1).混合积uuLuuur(MMnz)以两直线异面且互相垂直。x z 26.求直线与平面xy 1 3z2y70的交点。解：将直线方程代人平面方程得到z 22(1(3, 2,1)。7.求通过直线3x 4 y 5z11 ： 2x 2y

9、 3z100且与直线0解：通过直线11的平面方程可设为(3x 4y 5z 10)(2x由于平面与直线12平行，所以6(3430 ,故平面方程为x20 y 27z148.在直角坐标系中，求直线l：2LJ2直投影直线的方程。解：垂直投影直线在过直线且垂直于平面方程为所以垂直投影直线方程是x 2y8x 4y10,且 V1gV20,所3z)12 : x2y3(0,所以z 1，故交点为2y3z 4)z 3在平面43z平行的平面方程。2(53 )0，即:x 2y 60上的垂:x 2y 60的平面 1中，平面 1的6 0,5z 30.8x4y 5z 30,9.在仿射坐标系中，求过直线I:x y2x y 2z

10、 14z 20且在y轴和z轴上有相同的非零截距的平面方程。解：通过直线l的平面方程可设为（2xy 2z1)(X y 4z 2)0，由于平面在y轴和z轴上有相同的非零截距，所以4 ，即故平面方程为7x 2y 2z 10.10.在 ABC中，设P,Q,R分别是直线 AB,BC,CA上的点，并且uLur APuLurPB,uuuruuur uuu uuuBQ QC,CR RA。证明三线 AQ ,BR , CP共点的充要条件是uuur uuur证明：取仿射标架A; AB, AC，则点 A,B,C, P,Q,R标分别是1A(0,0), B(1,0), CM P(厂,0),Q厂1厂）,R（0,厂）.直线A

11、Q,BR,CP 的方x y x 1 y x y 1 程分别为 1 -, 1 "7(1）.三线AQ,BR,CP共点的充要条件是AQ, BR的交点在直线 CP上。AQ, BR的交点为（1,-1 1），将该点的坐标代人直线CP的方程中化简得到11.用坐标法证明契维定理：若三角形的三边依次分割成，其中，均为正实数，则此三角形的顶点与对边分点的连线交于一点。证明：由于一旷厂 1，由上题的结论知道三角形的顶点与对边分点的连线交于一点。12. 证明A1xB1 y C1z D1A2xB2y C2z D20,与直线0A3x B3y C3Z D30,交于一点，那么A4X Bqy C4Z D4 0A1xB

12、"C1ZD10,A2xB2yC2zD20,有解(x0A3XBsyC3ZD30,A4xB4yC4ZD40,证明：由于两直线Ii,l2交于一点，所以方程组,yo,zo)，A1A2A3A4B1B2B3B4C1C2C3C4D1D2D3D4解的条件得到A1A2A3AA1xB1yC1ZD1wA2xB2yC2zD2wA3XBsyC3ZD3WA4xB4yC4ZD4W则齐次方程组B1B2B3B4D1D2D3D4C1C2C3C40,0,有解(x0, y0,z0,1)，由齐次线性方程组有0,0,13.在直角坐标系中,x 1给定点 M1(1,0, 3)和 M 2(0, 2,5)，直线 I :2解:M1,M2

13、在I上的垂足，求 Mj M2以及M 4 ,M2的坐标。ULULULU为向量M4M2( 1,2,2)在直线I的方向向量v(2,1, 3)的方向上的分UUUUULUM1 M2M 1M2g/|v过点Mi(1,0,3)作与直线量，故M1 M 26垂直的平面1，它的方程为2(x1) y3(z 3)0，过点M2(O,2,5)作与直线I垂直的平面2，它的方程为2x y 2 3(z5)0，将直线的参数方程x 12t, yt,z 3t分别代人2方程中，得t1|, t2号,所以14.求与三直线h：00,I2：00,I3：0都相交的直线所产生的曲面0的方程。解：与三直线都相交的直线设为I，交点可设为P(m,m,1)

14、, Q(n,n, 1), R(k,0,0),由于三点共线，所以m k mn-，即有m n k。 1x k直线l的方程m kymT，即x k, y kz,消去k得到直线I构成的曲面方程xz.15.证明:y包含直线l1 : bx，且平行于直线l2:0。若2d是l1,l2之间的距离，证明 Ad1的平面方程为y证明：包含直线h： bx1的平面方程可设为x1)0,它的法向量为(,?,?)，它又与直线l2：1平行，此直线的方向向量是V2(a,0, c)，所以2,0,04 ,-,7)0，得到0，于是平面方程为a b直线l1的方向向量是V1(0, b,c)，经过点P(0,0, c)。直线l2经过点Q(0,0,

15、 c)，所以两直线的距离为 2duLur(P Q,V1,V2)V1V2Iuuur(P Q,V1,V2)2c2abc，V1 V2(0, b, c) (a,0, c) (be, ac, ab)1因此，(bc)2(ac)24(abc)22，故-1d1 1a2 b2习题2.34.证明：空间中满足条件xyza(a 0)的点位于中心在原点，顶点在坐标轴1.在直角坐标系下，求下列直线方程。(1 )过点M0( 1,2,9)且垂直于平面3x 2y z 50 ；(2 )过点M0(2,4,1)且与三坐标轴夹角相等。解：(1)直线的方向向量是平面的法向量v (3,2,1)，所以直线的方程为(2)设直线的方向向量是v

16、(X,Y,Z)，由于直线与三坐标轴的夹角相等，所以vc(1,0,0)vgo,i,o)vc(0,0,1)2.在直角坐标系中，求平面 ax解：平面ax by z c,于是by zZ。因此直线有c 0与xOy面的夹角。的法向量为n (a,b, 1) ， xOy4条，方程为面的法向量为n1(0,0,1)，所以夹角的余弦为1cos 丁：，夹角为Va2 b21arcc0S；H 或arccos f=TO21b213.求到两个给定平面的距离成定比的点的轨迹。解：设点M(x,y,z)到两平面的距离之比为 k0。如果两平面平行,则选直角坐标系使得其中一个平面为xOy面，另一个平面的方程为z d 0,d0,于是 k

17、 z1时，得z-。当 k 1 时，得(1 k)z2如果两平面相交,则选两平面的角平分面为两坐标面xOy和xOz，则两平面的方程可设为y cz 0, ycz0, c 0 ,于是 k y czy cz ,即(1mk)y (1 k)cz 0.上，且顶点与中心距离为a的八面体的内部。证明：条件点对于平面 x个平面 x ya(a部。5.在仿射坐标系中，设上，且M1 M 2。证明:a(a 0)等价于八个不等式：x y z a(a 0)，这些a(a 0)来说都在负侧，即包含原点的那一侧。故它们位于由八0)构成顶点在坐标轴上，且顶点与中心距离为a的八面体的内Mi(xi, yi,zi)，M 2(x2, y2,Z

18、2)都不在平面:Ax By Cz D 0M 1与M 2在平面的同侧的充分必要条件是F1 Ax1 By1 Cz1 D 与 F2Ax2 By2 Cz2 D同号。UULILUUn证明：(1)M 1M2与平面:Ax ByCzD 0平行的充要条件是F1 F2 Ax 1 By1 Cz1D (Ax 2By 2Cz2 D)A(xi X2) B(yi y2)C(zi Z2)即 F1 Ax 1 By1 Cz1 D0与F2Ax2By 2 Cz2 D 0 同号。0不平行，则设直线 MiM 2与平面UUUUUJU(2)如果M4M2与平面 :Ax By Cz DUULULUUULUUr相交于点M，且 MjM kMM 2。

19、因而M 1与M2在平面的同侧的充分必要条件是k 0。因为F1 0，F2Ax 4 By 4 Cz DAx2 By2 Cz2 D所以F1 Ax1 By1 Cz1D 与 F 2 Ax 2 By 2 Cz2 D 同号。6.在直角坐标系中，求与平面Ax By Cz D 0平行且与它的距离为 d的平面方程。解：设点M (x,y,z)到平面AxByCzD 0的距离为d，则Ax By Cz D因而所求平面的方程为 AxByCzdjA2 B2 C20.7.求点Mi(3,1,2)到直线2x解:直线方程的标准形式为0,0的距离。y 1 z1,所以直线经过点M (0,1,0)，向向量为v(0,1,1)，则ULUULr

20、MM 1V ( 2,3,3)，点M1(3,1,2)到直线的距离为uuuLurMM , V8.求下列各对直线之间的距离。(1)(2)z 1 x4y zy 0,10, x2x2y 3zy 3z0,0.两直线分别经过点M1( 1,1,5)，M 2(0,6,5)，方向向量分别是V1( 1,3,2), V2(3, 9, 6)，因此两直线平行,它们的距离为一直线的某点到另一直线UUUUUUU的距离，所以M1M2 V1(10, 2,8)，它们的距离为ULLJULUUM1M2V1砲 273.V1(2)两直线分别经过点M1(0,2,1)， M2(1,3,1)，方向向量分别是JLJUIAUV1(2,2, 1),

21、V2(4, 2, 1)，M1M2(1,5, 2), V1V2(4, 2,12),UUUUUUJUUUUUUJ(M1M2,V1,V2)M1M 2g(V1 V2)30，所以它们异面,它们的距离为3015uuLUJur(M 1M 2 ,V1 ,V2)V1 V2Ia/164441'0,(3 )两直线方程的标准形式可写为Z 1 x y z 2，一丄 ,两直线分别经过点M1(0,0,1) ， M2 (0,0,2)，方0 1 1 1uu LUULU向向量分别是V1(1,1,0), V2(1,1,1)，V1,V2 不平行，M1M2(0,0, 3),V1V2UUUJUUJ(1,1,0), (M 1 M

22、2,V1,V2)uuuuuujM 1M 2gv1 V2)0，所以它们相交，它们的距离为0。9.求下列各对直线的公垂线的方程。z2;x y 1(3)z 00,与 x z2y z0,0.解：(1)两直线的方向向量是V1(1,3,3), V2(2,1,2)，所以公垂线的方向向量为ViV2(3,8,7)。n1公垂线在过直线 x 1(3,8,7)(1, 3,3)y3(45,一且与向量V (3,8,7)3平行的平面上，平面法向量是2, 17)，所以该平面方程是 45(x1) 2y 17z0。x公垂线又在过直线-22；且与向量V (3,8,7)平行的平面上，平面法向量是n2(3,8,7)(2,1, 2)(2

23、3,20,13)，所以该平面方程是 23x20y13z0,因此公垂线的方程是45 x 2y 17z 45 23x20 y 13z0.(2 )两直线方程的标准形式可为n1(X所以公垂线的方向向量为X 1公垂线在过直线1(1, 1,0) ( 2, 2,1)X 1公垂线又在过直线2向量是 n21) 2y 2(zX y 4z 1y_1y_1(1,1,0) (2, 1,2) ( 2, 2,1)。-且与向量V ( 2, 2,1)平行的平面上，平面法向量是01, 1, 4)，所以该平面方程是 X y 4z 10。(2, 1,2) ( 2, 2,1)(3,2)0，因此公垂线的方程是0,X 2y 2z 30.1

24、0.求下列各对直线的夹角。(1) rJ 1 1 2X 126,V ( 2, 2,1)平行的平面上，平面6),所以该平面方程是X y z 10,(2)X y 2z 10,3x yy 3z0,0.解：(1)两直线的方向向量是V11,1,2), V2(2,4,3)，所以夹角满足cosV1g2jlV2V10,因此夹角为2。(2)两直线的方向向量是V1(1,1,0), V2(1,3,1)，所以夹角满足cos辰|v2旋 Ji?11V1g/2V1因此夹角为arccos姮或11arccos1111.求下列直线与平面的夹角。7x 2y 4z 10;x(2)l :2xy3y2 0,30,:2xz 10.解：(1 )直线l的方向向量为(2,1, 1),平面的法向量为n(1, 2,4),则vgn 4，所以夹角满足sinvlV11 |V2警，因此夹角arcsin241421(2 )直线丨的方向向量为v ( 3,2, 1)，平面的法向量为n(2,0,1)，则vgn 5，所以夹角满足sin12.已知两条异面直线l 1 与 l2是公垂线段的垂直平分面。V1 V2“0 ,因此夹角ar