2.1-二次型－实对称方阵ppt课件

1、第二十五讲二次型实对称方阵方阵相合二次型平方和1,nFnxx定定义义：一一个个系系数数在在数数域域 中中的的个个变变数数的的二二次次齐齐次次多多项项式式2111 112 1 211222 2222(,)222nnnnnnn nQ xxa xa xxa xxa xa x xa x.Fn称称为为数数域域上上的的一一个个 元元二二次次型型1,nxx把把看看 成成 向向 量量的的 坐坐 标标 ，故故 也也 常常 记记 二二 次次 型型 为为Q Q( () ). .:例例1 1 平平面面解解析析几几何何中中，当当坐坐标标原原点点取取在在曲曲线线的的对对称称中中心心时时，一一个个有有心心二二次次曲曲线线的

2、的方方程程22( ,)2,fx yaxbxycydR这这 是是上上 的的 二二 元元 实实 二二 次次 型型 。例例2 2：空空间间解解析析几几何何中中，当当坐坐标标原原点点取取在在曲曲面面的的对对称称中中心心时时，一一个个有有心心二二次次曲曲面面的的方方程程211121322223233( , , )222,f x y za xa xya xzayayza zc.R这这是是 上上的的三三元元实实二二次次型型21113(,).nniijiij nQ xxxx xn 例例是是一一个个 元元二二次次型型：,ijjiijjiaax xx x令令1()(,)TijnTijjiAaXxxaaAA记记，1

3、211 1121211221212222211222(,)nnnnnnnnnnnnQ xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x,111()nnnijijiijji jija x xxa xTX AX11:,nnxxyy定定义义是是两两组组文文字字 表表达达式式det()0,ijc若若称称 为为 可可 逆逆 线线 性性 代代 换换 。(),:ijPcXPY记记则则 可可 写写 为为111112211211nnnnnnnnnxc yc yxc yc yxc yc y11,nnxxyy称称为为由由到到的的一一个个线线性性代代换换。, det0,XPYP作作可

4、可逆逆线线性性代代换换111(,)()()(,).TTnTTTnQ xxX AXPYA PYY P APYY BYQyy(),.TTTTTTBP APP A PP APBB仍仍是是对对称称阵阵,TBP AP这里这里以下重点讨论: 二次型在可逆线性代换下化为平方和的问题.:DAPPT问题对称方阵相合对角化的称为二次型的标准形:,P ,.TnABBP APBA定定义义 任任给给两两个个 阶阶实实对对称称阵阵 和和若若存存在在可可逆逆阵阵使使得得则则称称 与与 相相合合相合关系具有自返性, 对称性, 传递性. 是等价关系n阶实对称阵可以用相合这个等价关系进行分类7-3.二次型的标准型 方法1: 主轴

5、化方法29816.10:n,Q,.PAQ AQ由由定定理理对对任任阶阶实实对对称称阵阵总总存存在在实实正正交交方方阵阵使使得得是是对对角角形形111(,):A.nniiiiQ AQQTTTATT记记则则满满足足是是 的的特特征征向向量量(1); (2);(3).求特征值求特征向量求特征值求特征向量属于同一 特征值的特征向量要正交化属于同一 特征值的特征向量要正交化1 .TQQ这这里里所所以以是是正正交交相相合合对对角角阵阵:3,.n 几几何何意意义义当当时时 二二次次曲曲面面在在以以对对称称轴轴为为坐坐标标轴轴的的坐坐标标系系中中的的方方程程是是标标准准方方程程具体步骤：363P767二二次次

6、方方程程的的化化简简(1),.TX AX先先作作正正交交变变换换消消去去交交叉叉项项即即把把化化为为平平方方和和(2),. 再再作作平平移移变变换换 即即可可得得标标准准形形3 3123(),(,),.ijAaBb b bC这这里里是是数数:具具体体做做法法123( ,)TQ x x xX AXBXC方法2: 大块配方法.1:Q(x ,).nxXPY定定理理每每个个二二次次型型恒恒可可通通过过可可逆逆线线性性代代换换化化为为平平方方和和:.proof对对变变量量的的个个数数作作归归纳纳法法0i122221111Q(x ,)nXPYrrrrr sr sxyyyy.这这称称为为二二次次型型的的标标

7、准准形形2111 11,().nQ xa x时时已已是是平平方方和和n-1,假假设设对对个个变变数数的的二二次次型型定定理理成成立立n.现现在在来来讨讨论论个个变变数数的的二二次次型型11(1).0a 若若12111211112,.nniiaayxxxaayxin令令211112 211,2112211112 21121111,22( )()11()()nn nijiji jnn njjjnijiji jQaxa xa x xa xxaa xa xa xa xaaa xx 12111211112,.nniiaaxyyyaaxyin即即121111111 P1naaaa记记11222112111

8、00000.0nTnnnnaaaP APaaaA则则111(2).0 , a0 , 1,()1,10.-,.iiiaiP若若但但可可经经行行 和和列列 对对换换，使使位位不不等等于于这这可可通通过过前前 后后乘乘来来实实现现ii112(3).a0 (1,2, )a0,0.jina若若，但但有有某某一一不不妨妨设设1122121111113, .1iixyyxyyPxyin令令11212122212 11222111( ,)2()()22( ,) y0,(1).nX PYnQ xxayyyya ya yQ yy则则且且的的系系数数归归为为:1.2.P注注意意大大块块配配方方变变换换矩矩阵阵要要可可逆逆111,2(4).a0 (1, ),0 (1, ),0 (1, ). Q(x ,)1.iiji