-琴生不等式,幂平均不等式

1、高二数学竞赛班二试讲义第一讲琴生不等式、幕平均不等式一、知识要点：1 .琴生不等式凸函数的定义：设连续函数f (X)的定义域为 a,b，对于区间 a,b内任意两点x1,x2，都若 £/X1 X2、f(X1) f(X2)有 f ()反之，若有 f( _ )2 2琴生(Jensen)不等式(1905年提出)：若f(X1) f(X2)X2f(，则称f(x)为a,b上的下凸(凸)函数;2f (X1) f (X2)则称f(x)为a,b上的上凸(凹)函数。X1 X2Xn )nn(想象n边形的重心在图象的上方，n个点重合时琴生Jensen)不等式证明：1) n 2时，由下凸(凸)函数性质知结论成立

2、；k2)假设n k时命题成立，即X1那么当n k 1时，设Ak 1XlX2fC) f(gA4込)2k1f(Ak) f(Xk1 (kk1)Ak1)2k所以 2kf(Ak 1) f (X1) f(X2)所以(k 1)f(Ak1)f(X1) f(X2)2 .加权平均琴生 Jensen)不等式：若f (X)为a,b上的下凸(凸)3 .曲线凸性的充分条件：设函数(1) 如果对任意(2) 如果对任意x I, f (x) x I, f (x)4 .幕平均不等式:f (X)为a,b上的下凸(凸)函数，则f(Xn)“ n边形”的重心在图象上)Xk 1k 1X1X2 _kf(k,f(Xi)丄2kf(xi) f(X

3、2)f(Xk)XkXk 1 (k DAk 1 k f(Xk1)(k 1)f(Ak1)f(Xk) f(Xk 1) (k 1)f (Ak 1)f (Xk) f (Xk 1)，得证n疽数，且i 1f(x)在开区间I内具有二阶导数， 贝y曲线y=f(x)在I内是下凸的； 则y=f(x)在I内是上凸的。nX0,0 , X 0，则(-n，且i 1, i 0 ,则 f(iiXi)i f(Xi)1丄)-X/a3 b3 c3由幕平均不等式得 32.2 2a b c3二、例题精析例1 .设x 0 (i1,2,n),求证：X1X2J1 X2XnJ1 Xn已知 a,b,c 0, a b1，求证:应用琴生(Jensen

4、)不等式证明幕平均不等式：nX，且 0,0 , Xi0，则(亠n1)-nXi1n应用琴生ai,bi(1 i贝y a1 da? b?(Jensen)不等式证明赫尔德(Holdern)是2n个正实数，0,an bn(a1 a2an)不等式:1 ,(b1 b2bn)二、精选习题1在圆内接n边形中，试证明正n边形的面积最大。2 设m 2是实数，则在 ABC中，有 tanA tan-mmCtan3tan m3m752g(5.已知X, y,z 0，且 X1 11，求证：r x）（二y1y)(-zz)6 .若X0，且 X1X2Xn100，求证：10Txn i0Zn7 .已知X, y,z 0,且 X2。求证：

5、名7?近4y 1 4z 1376103 .设 a 0,b0，且 a b 1,求证：J1 a2 J1 b24 .已知函数g（x） xin X , 0 a b，证明： g（a） g（b）8 .已知（1 ）当 0（2）当 tt 1时，有不等式x1时，有不等式x (X（X 1）t1）' （X（X 2）t（X 3）t ； （X 3）t 。2）t9 .设P是ABC内一点，求证:PAB,P BC,PCA中至少有一个小于或等于 30°。10 .设 0Xi（i1,2,n），且 xXiX2n土，证明：i 1sin XXsin x四、拓展提咼:11 .已知 a,b,c 0 ,且 ab bc ca

6、1，求证：扌16b 审6C高二数学竞赛班二试讲义例1 .【分析】nXi1【解答】设函数f(x) g第一讲琴生不等式、幕平均不等式1,适合应用琴生不等式f(x)，则 f (X)3X)2 (2 X) 3(1 X)1,2(14(1 X)3所以f (X)在(0,1)上下凸，2(13X)2 3(1 X)4(1 X)31(亠nX2J1 X2XnJ1 XnX1X2XnnX1XnXnX2y/1 X2Xn7rxJx!又由算术平均不小于平方平均得"雪'n贰为X2xnV n所以jn氏jXTXn1 Xn所以【思考】构造函数，用二阶导数判断函数的凸性, 例2 .【分析】两边取自然对数，把积化为和1-(

7、1 a)ln a2= ¥ X-iy/1 X2求导运算是关键。【解答】In Ja1 'b1 be1因为f(x)In X 在(0,)上是上凸函数,1(1b)l nb-(12 211-(1 a) -(1 22c)ln c1b) 2(1 c)由加权平均1-(1 a)ln21 1 2ln2 2(a b所以 Ja1 t1 G c琴生不等式a 2(1b)lnc2)13【思考】“两边取自然对数,nXi 1 ( n例3 .【分析】构造f(x)x解题【解答】证明:1一(1 c)ln c 21 2In ( a23把积化为和”nXi丄 ) n0 时，f(x)b211ln (1 a)a -(1222

8、(a b c)2c 3是处理乘积问题的常用手段nXi 1nnXi_)nx为下凸函数,b)bc)c1-)3(Xi )i 1nnXi _dnX1 X2Xn )-n用X代替X ,得证。nXi 1【思考】(一)nX1X2Xnn0 和01(X1 X2Xn)-，n时，有同样的结论。1)两边同形，把Xi看成Xi是关键。(丄nfa"b3 c3 fa2 b2 c2由幕平均不等式得3- J-Oi b a2b2例4 .【分析】变形:(a1 a2(冃a2blb2(b对第i项取自然对数，InX1X2-1)nan)a1 a2(bian bn b2(aanbn)1，)a2anbnbl b2再变形(bInbn是加权

9、平均琴生Jensen)【解答】ln7不等式的形式。证明：令A a1 a2In ln(Ba_Aan,B鸟)，所以Bb1 b2 (|)累加得ig)推广:aj0，对 ki0,iaiki1,nbi 1Bn(aJajj 1a：bn，f(X)OkA1,得证。Inx上凸,)(a1j)k1(j 1a2j)k21n(anj 广j 1a1ikjn a1jj 1【思考】好方法是在有目的的变形之后想到的。1 设圆半径为r，内接正n边形的面积为S -r2(sin 1 sin 2函数f(x) sinx在区间所以 sin 1 sin 2证明:k2 Ina2jna2jj 1sin n)-r2(sin22 .当m 2时,ln(

10、kiaijanj1na1jj 1knanj)n)anj1各边所对圆心角分别为1, 2,0,sin上是上凸函数,sin 2個为f(X)sin Xn,12.2sin n) 一 r n sin 2n2时，正n边形的面积最大，最大值为 nXf (x) tan 在区间0,上是下凸函数，m1 2-r n sin 一2n個为f（X）.X sin mX cos m1 1-,f (X)cos mAA所以tanm3. f(x)彳 X所以 f(a) f(b)2ta n-Bm2tan-Cm3ta n的图象是等轴双曲线4. g(X) In X所以 g(a) g(b)2sin?0)3 Xcos mCm2m32X 1的上支

11、,3tan 3m在区间R上是下凸函数,a bf(-)211,g (X)-X1y)(-z2g(-11(飞 x)(飞Xy1In( X)，贝y f (X) XX6 10x3 2(x4 X)21所以f(x) In(冷X5.令g设 f（X）f（X）r 3 X，所以J1 a2Jl b2 750 ,所以g（x） xln X在（0,）上是下凸函数z)，则 In gX324，X X(5 727)1 1 1In(r X) In (p y) In(p z)XyX3(5 727) 0 z 420(X X)X）在（0,1）上是下凸函数，于是，由琴生不等式得1In g ln(p X,283g(28)X）1lnry1y)

12、In( z)z3I n(321 28 33)仃6 .由y JX为上凸函数，有/x1 X2xnV n10Tn所以JX JXT(丘 7X2X1 X2Xn所以JX? JXT 丘 a/x?JX 4x故107 .令f(x)其中,故可知f（X）7X7TX?)210010需X1X210丘 1/n1(X)Xn4xyXiX3JXn iXn)7x(4 X 1)2 嗜1, b,2f(X)2/3312f（X）是%上是上凸函数24(x a)(x b)VX(4x 1)3由琴生不等式二一JL JL 3 f(1)也4y 1 4z 1610f (X) txt 1, f (X) t(t 1)xt 2f (X) t(t 1)xt

13、20, f(x)X X 2)21) f(xf(x 2)4x 1tX，则t 1时，f(x 2)2所以 f (X) f (X 1)递推得f (X 1) f (X 从而有 f (x) f (x 1) f (x 2) f (x 3)，故t 2(2 )当 t 1 时，f (X) t(t 1)X类似(1)可证8 .设 f (X)(1 )当 0所以竺f(f(x2)9 .如图,引进所以sinsinf(x 1)(因为sin(x 1)tsin0,(X 2)t (XPBsinsin sin2)f(x 3),tXtf(x)3)tPA在(0,)上是上凸函数,(Xxt 在(0,1)t2，所以等号不能取)(x 2)t (x

14、 3)t)上是下凸函数，sin sinPC PB PA PCsin sin sineosx-一,f (X) sin X所以f(x)在(0,)时上是上凸函数，In (sin设 f (x)In sin x ,则 f(X)12Sin XIn sin所以sinsin sin )2In sinsin sinIn (sin sin sin sin sinsin )In sin6ln sin,中必有一个其正弦值不大于当30°时，命题成立，当1 、八.,设 sin2150°时，必有12，30°,10 .由 0 Xi (i 1,2,n)，得 xX1X2Xn、八 r / . sin

15、X设 f (x) In, X (0,X所以f (X)在(0,)，则 f(x)In sin x In x，nf(x)时上是上凸函数,nXif亠nf (Xi)nf(x)nsin xif(Xi)d 1nf (X)sin Xn所以eei 1 xX厂,1e abbe ea11 .因为一6b6b 7b eaa1c abbe eaea 16e6b 7eabbb einbea6a11ab命题也成立。(0,)，所以f (x)be easin xsin xX2X2 . 22Sin x6a 7a111bccaab(6b)(-6c)(6a)8(ab c)()abcabcc/ bcca ab、 cz. 2 2(b c2

16、 2 c a2 a b2a2bc6(a bc)3( )3ab cabc3 (abbcca)23abcabc2ab2c 2abc2)设f(t)讹，则它是上凸函数，由琴生不等式得f(X1) g f(X3)f(厂)Xi X2 X3又 ab bc ca 所以£ 6b6c 丰 6a1 3vaw3n 113 ( 6b)(- 6c)(一 6a)3茜be，所以 33a2b2c21abc3巨V abc赠品3Vabc1abc2隐函数求导对于任意tffi圆兰+疋=1 都有导函埶2； +磚=n 整a徉*=-出 ftS中的点差法的灵感就是川这里来的2勺已如捅同+ +于=1直Sx42y+13=0试在椭圆上求一点P使得P