金融时间序列分析复习资料

1、一、单项选择题(每题2分，共20分)P61关于严平稳与(宽)平稳的关系；弱平稳的定义：对于随机时间序列yt，如果其期望值、方差以及自协方差均不随 时间t的变化而变化，则称yt为弱平稳随机变量，即yt必须满足以下条件： 对于所有时间t，有(i) E (yt)=卩为不变的常数；(ii) Var (yt)为不变的常数；(iii) y j=Eyt-wyt-j-M，j=0，±1 ,2，(j为相隔的阶数)(卩=0，cov (yt，yt-j) =0, Var (yt) =c时为白噪音过程，常用的平稳过程。) 从以上定义可以看到，凡是弱平稳变量，都会有一个恒定不变的均值和方差， 并且自协方差只与yt

2、和yt-j之间的之后期数j有关，而与时间t没有任何关系。 严平稳过程的定义：如果对于任何ji,j2,jk,随机变量的集合(yt，yt+ji,， yt+j2，yt+jk)只依赖于不同期之间的间隔距离(ji，j2，jk)，而不 依赖于时间t，那么这样的集合称为严格平稳过程或简称为严平稳过程，对应 的随机变量称为严平稳随机变量。kk “k “P46 Xt的k阶差分是； Xt=A-1Xt- -1Xt-i， 表示差分符号。滞后算子；P54对于 AR： Lpyt=yt-p，对于 MA: L £ t= &-pAR(p)模型即自回归部分的特征根一平稳性；确定好差分方程的阶数，则其特 征方程为

3、：2P- a1 F1 -a ；p-2- a=0,若所有的特征根的丨入<1则平稳 补充：逆特征方程为：1- a 1 z 1- a2 z 2-a z p=0，若所有的逆特征根I z I >1则平稳。注意：特征根和逆特征方程的根互为倒数。如：p57作业3： yt=，为二阶差分，其特征方程为：入入+=0解得入=1，力=，由于入=1,所以不平稳。MA(q)模型Xtt 1.1 t i 0.24 t 2 ,则移动平均部分的特征根-可逆性；p88所谓可逆性，就是指将MA过程转化成对应的AF过程MA可逆的条件是其逆特征方程的根全部落在单位圆外，即 1+9 1 z 1+ E2z 2+ppz p=0,

4、|z | >1此题q为2,逆特征方程为：Z + Z 2=0,解得：Z=关于AR(p)模型与MA (q)的拖尾与截尾-建模观察相关图定阶；如表所示:AR (p)MA (q)ARMA (p, q)ACF拖尾q期后截尾拖尾PACFP期后截尾拖尾拖尾若一序列满足ARIMA(p, d, q)模型(d > 0),则此序列平稳吗答：平稳，因为ARIMA( p, d, q)模型表表示经过d次差分后的序列，其必定是平稳 时间序列。二、填空题(每题2分，共20分)。平稳时间序列的特点：平稳时间序列的特征方程的单位根的绝对值都小于1,逆特征方程的根的绝对值都大于1。(i) E (yt)=卩为不变的常数；

5、(ii) Var (yt)为不变的常数；(iii) Y j=Eyt-Myt-j-M, j=0, ±1 ,2,(j为相隔的阶数)ARMA所对应的AR特征方程为其MA逆特征方程为对于自回归移动平均过程ARMA ( p , q ) : %=c+a yt-1 +a yt-2+a yt-p+ &+ 01 &+ 02 &-2 +(fl&-q，其对应的 AR的特征方程为： 匕 aiF1- aF2-a=0, MA 的逆特征方程为 ：1+ 0 1 Z 1+(2 Z 2+pZ p=0已知 AR ( 1 )模型为：Xt 2 0.7Xt-1t, t WN0, 2)，则 E(X

6、t)=20/3,偏自相关系数n=。设xt为一时间序列，B为延迟算子，则Byt y-2。如果观察序列的时序图平稳，并且该序列的自相关图拖尾，偏相关图1阶截尾，则选用什么ARMA模型来拟合该序列ARMA模型包括：AR () ,MA () .ARMA () 0由此表可知AR (p)MA (q)ARMA (p，q)ACF拖尾q期后截尾拖尾PACFP期后截尾拖尾拖尾应选用AR (1)模型来拟合该序列，条件异方差模型记号：ARCH(p),GARCH(p q),GARCH-in-Mean,TGARCH,EGARCH,PGARCH,CGARCH,三、计算题(共4小题，每小题5分，共20分)P57运用滞后算子得

7、出其逆特征方程1- a 1 Z 1- 2 Z 2-apZ p=0o 或用特征方程：卩-a r1- at1 - a=0例 p57 (1) .yt = ,为二阶差分，其特征方程为：入入+=0解得t=1，t=，由于t=1，所以不平稳。为一阶单整对下列ARIMA模型，求E( Yt)和Var( YJ。Y 3 Yti et 0.75© i(殳为零均值、方差为 ；的白噪声序列)E( Y)巳3 et 0.7® J 3Var( Y) Var(3 et 0.75e 1) (1 0.752) <? 25 f1 16关于上面答案的分析：var表示方差，因为白噪音为均值为零、相关系数cov(y

8、t，yt-j) =0也为零，又方差为2，所以得到以上运算结果；注意方差的运算及性质：1 .设C为常数，则D(C) = 0 (常数无波动)；2 . D(CX)=C D(X)(常数平方提取)；3当X与Y相互独立时， D(X ± Y)=D(X)+D(Y)4当 X 与 Y不独立时，D(X ± Y)=D(X)+D(Y)+coVX,Y)对于ARMA过程写出其自回归部分ar()及移动平均部分ma()的特征方程，并求 出其各自的特征根，进而判断所给定的过程是否稳定是否可逆对于自回归移动平均过程 ARMA (p，q):yt=c+ai yt-1 + a yt-2+ ayt-p+ & +

9、 &+ $ &-2+£&-q， 其 对应的AR的特征方程为：t-at-1-a t-2-a=0，MA的逆特 征方程为：1+0 1 z 1+Q?z 2+ $z P=0。因为ARMA模型中MA 定平稳，所以若 AR平稳则ARMA平稳， 即AR的特征方程的根全都小于零。假定某公司的年销售额(单位：百万美元)符合AR(2)模型:Yt6Yt10. 4Yt2et ,其中e21。2005年、2006年和2007年的销售额分别是 800万美元，1000万美元和 1200万 美元，预测 2008年和 2009 年的销售额。Y2oo8=6+=8O6 (万美元);Y2oo9=6+=3

10、32 (万美元)四、证明题( 16 分)P111考虑 MA( 2)模型yt= &- Oi ©1-62 &-2( a) 求出 yt 的均值与方差。答：E (yt) =E (&- 6 ©1- 62 ©2)=0,var (yt) = y o=E(yt-Q 2= (1+6 i2+62) 2五、实验题(共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分)1、 序列 Yt 3 Yt 1 0. 6Yt 2 et ,( et 为零均值、方差为 e2=2 的白噪声序列) 是平稳的，在 Eviews 中可以生成此过程的数据来从图像上直观观察其平稳性， 请写出该数据生成

11、过程的Eviews代码：smpl first first+1series y=0smpl first+2 lastseries y=3+y(-1) *y(-2)+sqrt(2)*nrndsmpl first last2、给出ARMA模型的建模流程。(a) 识别(b) 估计(c) 诊断(d) 预测3. 已知某序列的时序图如下：试问此序列平稳吗4. 单位根检验可用来判断序列是否是平稳的，下面是某序列的单位根检验结果， 试问此序列平稳吗5. 已知某平稳序列的样本自相关和样本偏相关函数的图像如下：试问应判定此序列是何种序列 即对ARMA(p, q)模型进行定阶，确定具体是何种 模型6. 已判定某序列y满足下列 模型：试问对模型中参数作估计时,在执行操作Quick'Estimate Equation后出现的Equatio n Estimation窗口中应输入什么命令应输入：c ar() ar()如果是在Commmand命令窗口直接操作，又应输入什么命令应输入 LS c ar()