递推数列及答案

1、 递推数列1数列满足且，求数列的通项公式；2数列满足且，求数列的通项公式。3数列满足且，求数列的通项公式； 4数列中，求数列的通项公式。 5.(2005重庆卷)数列满足且记,求数列的通项及数列的前项和 6. 已知数列满足，求数列的通项公式。 7数列中，求数列的通项。 8.已知数列满足，求数列的通项。 9.已知数列满足 ，且 ，求。 10.数列中，,求数列的通项公式。 11(1).在数列中，当， ， 求通项公式.(2).已知数列和中，且，求和。 12.已知数列满足，求数列的通项公式。 13. 已知数列满足，求数列的通项公式。 14. 已知数列满足，求数列的通项公式。 15.已知数列an中，a1=

2、3，求an的通项。16.已知数列an中，a1=2，求an的通项。17.已知数列an的前n项和为，求an的通项。 18.已知数列满足，求数列的通项19.已知数列满足，求数列的通项 20.已知数列满足，求数列的通项21、（05年江西理）已知数列an的各项都是正数，且满足a0=1，an1=an(4an)，nN，求数列an的通项公式an。22已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 23已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？ 24.在数列an中，求通项公式an。 25.设在数列an中，求an的通项公式。 26.在数列中，求通项公式an。 27.设， ，求

3、证：。 28.设数列满足， 求证： 。 29.设r为正整数，定义数列如下： ， 求证：。 30.设数列满足，对一切，有，求所有被11整除的的一切n值。 31.设数列和满足，且 求证：是完全平方数。 答案 递推数列 1 数列满足且，求数列的通项公式； 数列满足且，求数列的通项公式。 【解】：由已知可得从而可得，这个式子两边相加，即得，。 【解】：由已知可得从而可得，这个式子两边相加，即得：2.数列满足且，求数列的通项公式；【解法1】：（归纳法）由，得：，可归纳出：（），然后用数学归纳法证之。略。【解法2】：（化归法）令，展开整理并与原式比较系数得，从而可将原数列转化为等比数列，设，则，从而，则，

4、所以。【解法3】：（化归法）将原式两边同除以，得，从而又将原数列化为易于递推的形式。设，则，则 （或者采用累差迭加法）所以【解法4】：（阶差法）由，反向递推得： 即 ， 两边相加得：（） 【解法5】：（化归法）由可得（2），两式相减得：（2），设，则是首项为，公比为的等比数列，于是：，问题转化为运用“累差迭加法”解题。 3数列中，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。 4.(2005重庆卷)

5、数列满足且记（1）求的值（2）求数列的通项及数列的前项和解析:(1)由于得代入递推关系整理得即 由有所以(2)由 是以为首项以为公比的等比数列故即由得故 = = = 5. 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设将代入式，得，则等式两边消去，得，则得方程组，则，代入式，得由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。6数列中，求数列的通项。 【解】：由得（2），两式相减即得：（2），整理可得，即：（2），于是（2），化简可得（2），结合，求得原数7（2004年全国15题）已知数列满足，则的通项解：因为所以所以式式得则则所以由，取n=2得，则，又知，则，代入得。8.已知数列满足

6、 ，且 ，求。 9.数列中，,求数列的通项公式。【解】：设，则，解得：1、，运用累差迭加法可得10. 数列是首项为1的正项数列且满足：），求数列的通项。解析:由于得由, (n+1)即 11(1).在数列中，当， 求通项公式.解：式可化为：比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化为：则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.利用上题结果有：.11(2)已知数列和中，且，求和。解：an=2n-4·3n, bn=2n-5·3n 12.已知数列满足，求数列的通项公式。 解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，

7、即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 13. 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。14. 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则x=1是函数的不动点。因为，所以，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即

8、方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。 15.已知数列an中，a1=3，求an的通项。解：因为an的特征函数为：,由设即,数列是公比为的等比数列.a1=3,.16.已知数列an中，a1=2，求an的通项。解：因为an的特征函数为：,由设即,数列是公比为的等比数列.a1=2,.16.已知数列an的前n项和为，求an的通项。解： -得：因为an的特征函数为：,由x=1.设，将代入得：，。 17.已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 18.已知数列满足，求数列的通项 18.已解：其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得

9、，数列是以为首项，以为公比的等比数列，19.已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，即，解得，令 由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，例在数列求数列的通项公式练习6、（05年江西理）已知数列an的各项都是正数，且满足a0=1，an1=an(4an)，nN，求数列an的通项公式an。例3已知数列满足性质：对于且求的通项公式.将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.定理2.如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当

10、特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换则 是特征方程的根，将该式代入式得 将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是 当，即=时，由式得故当即时，由、两式可得此时可对式作如下变化： 由是方程的两个相同的根可以求得 将此式代入式得令则故数列是以为公差的等差数列.其中当时，当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：特征方程有两个相异的根、，其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得 由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故故所以由式可得： 特征方程有两个相异根、方程有两个

11、相异根、，而方程与方程又是同解方程.将上两式代入式得当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有当即时，上式也成立.由且可知 例4已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.（1）对于都有（2） 令，得.故数列从第5项开始都不存在，当4，时，.（3）令则对于（4）显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且2.当（其中且N2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且2上取值时，无穷数列都不存在. 例1.在数列

12、an中，求通项公式an。解：对原递推式两边同除以可得：令则即为，则数列bn为首项是，公差是的等差数列，因而，代入式中得。故所求的通项公式是 例2.设在数列an中，求an的通项公式。解：将原递推式变形为/得：，即设式可化为，则数列bn是以b1为首项，公比为2的等比数列，于是，代入式得：，解得为所求。 例6.在数列中，求通项公式an。分析：首先考虑所给递推式与公式的联系。解：设，则同理，。即，猜想。下面用数学归纳法加以证明（证明略）。由于即，解得，于是为所求。例1、数列中，。求。（1981年第22届IMO预选题）分析 本题的难点是已知递推关系式中的较难处理，可构建新数列，令，这样就巧妙地去掉了根式

13、，便于化简变形。解：构建新数列，使则 ， ，即化简得 ，即 数列 是以2为首项，为公比的等比数列。 即 2 证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。27.设， ，求证：。（1990年匈牙利数学奥林匹克试题）分析 利用待证的不等式中含有及递推关系式中含有这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列，使，化简递推关系式。证明：易知，构建新数列，使，则 ，又 ， ，从而 因此，新数列是以为首项，为公比的等比数列。考虑到当时，有 。所以，注：对型如 ，都可采用三角代换。3 证明是整数这类题把递

14、推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数论知识解决。28.设数列满足， 求证： 。（中学数学教学参考2001年第8期第53页，高中数学竞赛模拟试题）分析 直接令，转化为证明 证明：构建新数列，令则 ，代入 整理得 从而 于是 由已知，由上式可知，依次类推， ，即。29.设r为正整数，定义数列如下： ， 求证：。（1992年中国台北数学奥林匹克试题）分析 把条件变形为比较与 前的系数及与 的足码，考虑到另一项为，等式两边同乘以，容易想到构新数列，使。证明：由已知得构建新数列，则， 又 | | ，从而 。， 4 解决整除问题一般通过构建新数列求出通项，再结合数论知识解决，也可用数学归纳法直接证明。30.设数列满足，对一切，有，求所有被11整除的的一切n值。（1990年巴尔干地区数学奥林匹克试题）分析 变形递推关系式为，就容易想到怎样构建新数列了。解：由已知构建新数列 则， 从而，当时，由于被11整除，因而也被11整除。所以，所求n值为，8，及的一切自然数。5 证明是完全平方数这类题初看似乎难以入手，但如能通过构建新数列求出通项，问题也就迎刃而解了。31.设数列和满足，且 求证：是完全平方数。（2