：关于地方日报的最优订阅价格

1、数学建模第二次大作业A：关于地方日报的最优订阅价格  姓名：姚枭20137692，王虎20137708王凯20137713年级、专业：机械工程系机制一班关于地方日报的最优订阅价格一、摘要 本题目是讨论关于地方日报的最优订阅价格，这里我们用了灵敏性来分析了日报的价格与日报的订阅人数的关系。问题一运用了Mathematica建立了相应的模型，求出了订阅人数与价格之间的关系。问题二和问题三中，从灵敏性方面进行分析，得到日报的最优价格。运用表格与图像使结果更加鲜明。关键词：灵敏性、最优、关系   二、问题重述一家有80000订户的地方日报计划提高其订阅价格。现在

2、的价格为每周1.5美元。据估计如果每周提高订价10美分，就会损失5000订户。问题：（1）求使利润最大的订阅价格？ （2）对（1）中所得结论讨论损失5000订户这一参数的灵敏性。分别假设这个参数值为：3000、4000、5000、6000及7000，计算最优订阅价格。 （3）设n=5000为提高定价10美分而损失的订户数。求最优订阅价格p作为n的函数关系。并用这个公式来求灵敏性S(p,n)。 （4）这家报纸是否应该改变其订阅价格？用通俗易懂的语言说明你的结论。3、 1、直到达到最优价格或损失所有订户之前，每周日报的价格均提高0.1美元，损失5000订户。2、订户在订阅日报之后没有退订情况发生。

3、3、日报订阅价格每周七天均保持不变。4、订户每户只能订一份日报。5、生产的日报能满足所有用户的需求。四、符号说明p 利润最大时日报的订阅价格（单价） 单位：美元/份 T 提高到最优价格所用的周数 r 每周提高的订价 单位：美元/份 每周价格提高之后损失的订户数 单位：户 第周的订户数 单位：户 第T周日报的净利润 单位：美元F 起始的日报总订户数 F=80000（户）五、模型的建立与求解(含问题分析)5.1.1问题一的分析提高到最优价格所用的周数T(P)=(P-1.5)/r=(P-1.5)/0.1第T周的定户数K(P)=F-n*T(P)=80000-(P-1.5)/0.1*5000则T周日报的

4、净利润Q(p)=K(P)*P=80000-(P-1.5)/0.1*5000*P5.1.2问题一的建立Max Q(P)= 80000-(P-1.5)/0.1*5000*P (P1.5)5.1.3问题一的求解由Q(P)函数是一个连续可微的函数。可以利用微积分知识求解，用mathematica求解：（1） 求得驻点D(80000 - (P - 1.5)/0.1)*5000)*P , P80000 - 50000. (-1.5 + P) - 50000. PSolve80000 - 50000. (-1.5 + P) - 50000. P = 0, P驻点为：P -> 1.55（2） 根据模型可

5、画出函数Q(p)的图像为有图像可知Q（p）在（1.4,1.55处单调递增，在1.55,+¥) 处单调递减，则p=1.55是Q(P)函数的极大值。依题意可知日报价格提高了0.05美元，不符合每周提高0.1美元的要求。不提高价格：Q=120000提高0.1美元的要求：Q=120000由题意知提高价格会减少用户的数量，则会减少报社的日工作量，则选择p=1.65.2.1问题二的分析由于模型建设中的参数（日报价格提高的幅度对应的订户数减少的数量）是估计与测量的，所应应该研究它变化时对模型结果的影响。5.2.2问题二的建立考虑r=0.1不变,n发生变化时,日报最优订阅价格关于价格每周提高r美元减

6、少的用户数量的灵敏性Max P=(80000+1.5*n/0.1)*(0.1/n)(n>o)5.2.3问题二的求解n30004000500060007000p2.081.751.551.411.32由图可知，函数在单调递减，随着n增加，价格p在减少。5.3.1问题三的分析由于模型假设中的参数是估计和预测的，所以应该研究它们所变化时对模型的结果的影响，用灵敏性来解释。5.3.2 问题三的建立设每周的日报上涨价格0.1美元不变,研究n的变化的影响,代入0.1后:P=(80000+1.5*n/0.1)*(0.1/n)可以用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。P对n的敏感记作S(p,n),定义为

7、：S(p,n)=(p/p)/(n/n)=(p/n)*(n/p)=-8000/(1.5*n+8000)，此即为问题三的模型。4.3.3 问题三模型的求解根据上面的模型画出图形n4200440046004800500052005400p1.702381.659091.619571.583331.551.519231.49074又当n =5000时可以算出S(p,n)=(p/p)/(n/n)=(p/n)*(n/p)=-8000/(1.5*n+8000)=-0.516就是报子价格每周增加1%出售日报就减少0.516%份。五、模型评价 本模型直观易懂，对实际问题的描述是合理的。相比于其他模型，此模型变量较少，属于单变量问题，求解过程比较简单，所以它能求得最优解。在计算中，我们采用了合理的算法及相关软件，并做出了图表和图象，使得求解难度大大降低。 对问题四的解答，即应该改变其订阅价格，要根据实际情况来说明，因为在相同的利润条件下，就要考虑报社员