2019-2020学年福建省三明市高一上学期期末数学试题

1、2019-2020学年福建省三明市高一上学期期末数学试题一、单选题1 .函数f(x) ln(x 1)的定义域为()A. (,)B. (0,)C. 1,)D. (1,)【答案】D根据真数大于零可得定义域.【详解】要使函数f(x) ln(x 1)有意义，则有x 1 0,即x 1 ,所以函数f(x) ln(x 1)的定义域为(1,).故选：D.本题主要考查函数定义域的求解，对数函数一般要求真数大于零，侧重考查数学运算的核心素养.2 .用二分法求解方程 ex 3x 8 0近似解的过程中，设 f(x) ex 3x 8 ,经计算 得部分函数值近似值如下表：x11.251.522.25f(x)2.280.7

2、60.985.398.24据此可以判断方程的根所在区间是()A. (1,1.25)B. (1.25,1.5)C. (1.5,2)D. (2,2.25)【答案】B根据零点存在定理可得，只需要找到函数值异号的区间即可【详解】因为根据零点存在定理可得f(1.25)f(1.5) 0,则1.25,1.5至少存在一个零点，故选：B.本题主要考查函数零点所在区间的确定，根据零点存在定理可得f(a)f(b) 0 ,则a,b至少存在一个零点.rr3.设向量a (2,4)与向量b (x,6)垂直，则实数x的值是()A.12B.3C. 3D. 12【答案】A利用向量垂直的坐标表示可得2x 24 0,从而可求实数x的

3、值.【详解】一、,，一 rr 一.因为向重a (2,4)与向重b (x,6)垂直， r r所以 a b 2x 24 0,即 x 12.故选：A.本题主要考查平面向量数量积的应用，向量垂直则得向量的数量积为0,侧重考查数学运算的核心素养.4.已知哥函数f(x) x2m1的图象经过点(2, 8),则实数m的值是(第13页共17页A.1B, -C. 2D. 32【答案】C利用备函数f(x) x2m1的图象经过点(2, 8),可得实数m的值.【详解】因为哥函数f(x) x2m1的图象经过点(2, 8),所以22m 1 8,解得m 2 .故选：C.本题主要考查募函数解析式的求解，函数图象经过某点，则该点

4、坐标一定适合解析式, 侧重考查数学运算的核心素养 .5.已知函数f(x)log3x, xf(x 2), x2,A. 0B. 1C. 2D. 3先求f (1) f(3),再把x 3代入10g 3x可得.【详解】因为f (x)10g3 x, x 2,f(x 2), x 2,所以 f(1) f(3) log 3 3 1.故选：B.本题主要考查分段函数的求值问题，分段函数的求值要注意"对号入座”，侧重考查数学运算的核心素养.6 .在平面直角坐标系中， 已知e O是以原点。为圆心，半径长为2的圆.设角x(rad)的顶点与原点重合，始边与横轴的非负半轴重合，终边与 e O的交点为B,则点B的纵

5、坐标y关于x的函数解析式为()A. y tanxB. y sin xC. y 2cos xd. y 2sin x【答案】D设出点B的坐标，结合三角函数的定义可求.【详解】设 B(a,y),则 a2 y2 4,sin x , y TaV 2，所以 y 2sin x.故选：D.本题主要考查三角函数的定义，根据角终边上一点的坐标可得定义式，侧重考查数学抽象的核心素养.7 .如图，在VABC中，D,E分别是AB, AC的中点，。是该平面上任意一点，设uuinuuiruur- r uur uuur , A uur uur uur 由三角形中位线性质可得BC 2DE ,结合DE OE OD可得x, y，从

6、而可求因为d,e分别是AB, AC的中点,uuiruuur 口”ur xuuJ y uur所以 BC 2DE，即 DE -OD -OE ;22因为uuurDEuurOEuurOD_y,所以2 x21解得14.故选：A.本题主要考查平面向量的基底表示,选择合适的基底是求解本题的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养8.设函数 f (x) 3x, g (x) ax4x 2,若对任意xi 0，总存在x2R，使得f x1 g x2 ,则实数a的最大值是()D. 16A. 4B. 2C. 4【答案】C 先求f(x)的值域，根据题意f(x)的值域应该是g(x)的值域的子集，又a分类讨论可得.【详解】因为对任意x

7、i 0, f (x1) 3xi 1,所以根据题意可知g(x) ax2 4x 2的值域包含1,).当a 0时，g(x) R符合题意；,-2，2、2.2 -，当 a 0时，g() 1, a(l)4() 2 1 ,解得 a 4；aa a显然当a 0时，不符合题意；所以实数a的最大值是4.故选：C.本题主要考查函数的值域问题，二次型函数的值域要关注二次项系数的影响，侧重考查数学抽象的核心素养.二、多选题9.下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有()A.f(x)-与 g(x)x7B,f (t)|t 1| 与 g(x) |x 1|x2 1C.f(x)x与 g(x)log2 2D.f (x)与 g(x

8、) x 1x 1【答案】BC 逐项考查每两个函数的定义域和对应法则是否相同即可【详解】 对于选项A, g(x) x与f(x) x对应法则不同，所以两者不是同一函数;对于选项B, f(t) It 1|与g(x) |x 1|定义域和对应法则均相同，所以两者是同一函数；对于选项c, f(x) x与g(x) 10g22x定义域和对应法则均相同，所以两者是同一函x2 1对于选项D, f (x) -一1的定义域为 x x 1，而g(x) x 1的定义域为R,定 x 1义域不同，所以两者不是同一函数；故选：BC.是定义域要相本题主要考查同一函数的判定，两个函数是同一函数要满足两个条件:同；二是对应法则要一致

9、.侧重考查数学抽象的核心素养 .10.已知函数f(x) tan x ，则下列关于f(x)的判断正确的是(3A.在区间一，上单调递增6B.最小正周期是C.图象关于直线x 一成轴对称D.图象关于点 -,0成中心对称66【答案】ABD逐个选项进行验证，结合正切型函数的性质进行判断可得【详解】.4对于选项 A,x ,时，x ,此时f(x) tan x 一为增函数;632 33对于选项B, f (x) tan x 的最小正周期为T 门 ；对于选项C,因为f (0) 亚f(-)J3, f(0)f (-),所以图象不是关于直线33x 一成轴对称； 6k _k对于选项D,令x ,k Z,得x 一，令k 1得x

10、 ,所以图象关32236于点-,0成中心对称 6故选：ABD.本题主要考查正切型函数的性质，熟记性质的求解方法是解决本题的关键.侧重考查逻 辑推理的核心素养r r11 .设a,b是两个非零向量，则下列描述正确的有（）a.若a br iai而，则存在实数使得a brrrb若 ab,则abiab i4 rrrr ir , rrC.若a b | |a | |b|,则a在b万向上的投影为|b|d.若存在实数使得ar ir r r rb,则a biia1【答案】AB4 r r r r r r 一，一r 右|a b|a| |b|,则a,b反向，从而arr rrr rrb ,则a b0 ,从而可得|ab |

11、 |ab |;4 r r r r - r r r , rr右|a b|a| |b|,则a,b同向，a在b万向上的投影为| a |r rr r .若存在实数使得ab,则a,b共线，但是a ba b不一定成立【详解】r r r r -，r r对于选项a,若a ba b，则a,b反向，由共线定理可得存在实数使得r r a b ；r r ir r对于选项B,右a b，则a b 0，rr 2r2r rr2rr 2 r2 r rr2-rr rr| ab |a2a bb ,|ab | a2a bb ,可彳4ab | | ab；r r r r r r r rr对于选项C,右a b | |a | b，则a,b同

12、向，a在b方向上的投影为a；r rrr 一对于选项d,若存在实数使得a b,则a,b共线，但是a ba b不一定 成立.故选：AB.本题主要考查平面向量的性质及运算,明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养x 3x. x 0.12.已知函数f (x),'万程|f(x) 1| 2 m(m R),则下列判断正ex 1, x 0,确的是()3A.函数f (x)的图象关于直线x 一对称2B.函数f(x)在区间(3,)上单调递增C.当m (1,2)时，方程有2个不同的实数根D.当m ( 1,0)时，方程有3个不同的实数根【答案】BC先作出函数y | f(x) 1的图象，然

13、后依据图象可得.【详解】3对于选项A, f (4)4, f ( 1) 1 e,显然函数f(x)的图象不关于直线 x -对称；2对于选项B, f (x) x2 3x的图象是开口向上的抛物线，所以函数f(x)在区间(3,)上单调递增；作出函数y | f(x) 1|的图象，如图，当m (1,2)时，2 m (0,1),结合图形可知方程|f(x) 1| 2 m(m R)有2个不同的实数根；当m ( 1,0)时，2 m (2,3),结合图形可知方程|f(x) 1| 2 m(m R)有4个不同的实数根；故选：BC.本题主要考查分段函数的图象及性质，数形结合是求解这类问题的常用方法.侧重考查直观想象和数学抽

14、象的核心素养.、填空题13.已知 f(x 1) x2 2x 3,贝U f (1) 【答案】3结合解析式的特点，令 x 0可得f(1).因为f(x 1) x2 2x 3,所以令x 0可得f(1) 3.故答案为：3.本题主要考查函数值的求解，题目较为简单，直接代入求解即可，侧重考查数学运算的 核心素养.414 .计算490.52(lg5)2 lg5 lg2 lg5入2【答案】2 3利用对数的运算性质可求4、2 , - ,2 、(lg5) lg5 lg2 lg5 lg5(lg593lg2) lg522lg5 lg 10 lg5 .332故答案为：2.3本题主要考查对数的运算， 熟记对数的运算规则是求

15、解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.15.已知函数 f(x) 3sin 2x,则f(x)图象的一条对称轴方程是 6x 0,一时，f(x)的值域为2【答案】x -3,332f (x) 3sin 2x 一 的对称轴可由2x 一 k 一求得，由x 0,一 可得 66222x 6的范围，结合图象可求值域 .【详解】令2xk，令k 0可得f (x)图象的一条对称轴万23程是x此处答案不是惟一的;3因为x0,-，所以 2x 26.5 .,结合图象可得sin 2x 6 661-2,1,所3以f(x)的值域为一,32故答案为：(1). x (2).3,332本题主要考查正弦型函数的对称性和值域，对称性的求解

16、一般是利用整体代换意识， 值域的求解一般是利用换元法，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养2_x16.使不等式log 2 x x 2成立的x的取值氾围是 .【答案】(0, 2) U (4,)在同一个坐标系中分别作出三个函数的图象，结合图象可得 【详解】2 一x.2如图，分力1J作出 y log2 x, y x ,y 2的图象，结合图象可知 log2 x x恒成立，当x (0,2)时，x2 2x；当x (2,4)时，x2 2x;当 x (4,)时，x2 2x；所以不等式10g2 x x2 2x成立的x的取值范围是(0, 2) U(4,).故答案为：(0,2)U(4,).本题主要考查函数图象的应用

17、，利用图象求解不等式的关键是数形结合，侧重考查直观想象的核心素养.四、解答题17.已知集合 A x|a 1 x 2a 3, B x|1 log2x 2 .(1)当 a 0时，求 AI B;(2)若AI B B ,求实数a的取值范围.1【答案】(1) A B x|2 x 3 (2) 1 a 32(1)当a 0时，求出集合A,然后求解AI B;(2)由AI B B可得B A,结合集合B的范围可得实数a的取值范围.【详解】(1)当 a 0时，A x| 1 x 3,不等式 1 log2 x 2 可化为 log22 log 2 x log2 4 ,则 2 x 4,即 B x|2 x 4,所以 A B x

18、|2 x 3.(2)因为AI B B ,所以B A,由(1)知 B x|2 x 4,又 A x | a 1 x 2a 3,所以a 1 2,2a 3 4,-1解得一a 3.2 1则实数a的取值范围是1a 3.2本题主要考查集合的运算,把集合化简为最简形式是求解的前提，根据子集关系求解参 数范围时，常常借助数轴来进行，侧重考查数学运算的核心素养18.已知函数 f(x) log2(ax 2).(1)若实数a满足32a 3a 6 ,求f (2)的值;(2)若f(x)在(，1)上单调递减，求实数 a的取值范围【答案】(1) f(2) 2 (2)2 a 0(1)先根据32a 3a 6求出a ,然后可求f

19、(2)；(2)利用换元法，结合复合函数的单调性可得实数a的取值范围.【详解】(1)因为 32a 3a 6 ,所以 3a 3 3a 20 ,因为3a 0 ,所以3a 2 0 ,则3a 3 0,解得a 1,所以 f (x) 10g 2 (x 2),因此“2) 2.(2)令 t ax 2 ,则 f (x) g(t) 10g 21,而g(t) 10g2t是(0,)上的增函数，要使f (x)在(，1)上单调递减，则问题等价于t ax 2在区间(，1)上单调递减，0在区间(，1)上恒成立，所以a 0,a 2 0,2 a 0.本题主要考查对数型函数的求值及单调性问题，复合函数的单调性一般是拆分内层函数和外层

20、函数，结合内外层函数的单调性，遵循同增异减的规则19.在平面直角坐标系 xOy中，已知角的顶点与原点重合，始边与 x轴的非负半轴重合，终边在直线 y 2x上.(1)求tan 的值；(2)求 sin( )cos (sin cos )的值.213【答案】(1)2 (2)5(1)在角的终边上任取一点，结合正切函数的定义可求；2(2)先化间sin( )cos (sin cos ),结合正切值可求2tan21第15页共17页解法一：(1)在直线y2x上任取一点 P(m, 2m)(m 0),由已知角的终边在直线y 2x上,所以 tan二m2.m(2) sin( )cos-(sin、2. 2cos ) si

21、n 2sin cos 1 ,sin由(1)知 tan = - 2 ,所以2 ,即 sin 2coscos所以 sin24cos2,又 sin2cos21 ,212从而求得 cos- , sin所以sin(2. 2,2)cos (sin cos ) sin 4cos135解法二：(1)同解法(2) sin( )cos一 (sin 2、2.2cos ) sin 2sin cos 1 ,2 2乂 sin cos 1,所以 sin( )cos - (sin2 sin 2sin coscos )22 1sin cos,2 tan2 tan所以sin()cos一 (sin cos )228 1 13本题主

22、要考查三角函数的定义和同角的基本关系，诱导公式化简代数式时注意符号问题，侧重考查数学运算的核心素养且ODuur r设OA a，20 .在VOBC中，点A是BC的中点，点D在线段OB上,uuu rr b)-3【答案】(1) 1 373 (2)4(arb)；(1)根据向量的模长和夹角可以得到(2 ab) (ar(2)先利用基底向重a ,r .b表不出uuruuu uurOC， OA kDC,结合共线定理可得实数k的值.(1)因为r|a|一 r2, |b|,r ，一 ，与b的夹角为一，6r所以a|a|b|cos 一w r则(2ab)(a b)6r2 2ar2 b1 3 3.(2)由已知uuuOCuu

23、uOBuurBCuuuOBuuu2BAuuu uuu2OA OB，uuiTDCuuurDOuuurOCuuu2OBuuu2OAuuuOBuuu2OA5 uuu 5OB , 3第22页共17页fiuuu ruuu r因为 OA a，OB b，uuu uuur则 OA kDCr r 5 ra k 2a -b 3r(2k 1)a又因为uuur 与 uiinkDC共线，所以存在实数uuruuu uuir使彳导 OC(OA kDC),r r即2a br 5 r LL(2k 1)a -kb ，所以(2 2 kr 5r)a1 -kb,3r r因为a与b不共线，所以2 2k 0,51 k 0,3解得k4534

24、所以实数k的值为-.4本题主要考查平面向量的数量积运算及共线定理，用合适的基底表示向量是求解的关 键，侧重考查数学运算的核心素养21 .已知函数f(x) 2x 2 x(1)当x 3,3时，求f(x)的值域;(2)若对于任意t R,不等式f t2 2t2f 2t k0恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)638638(2)(1)先利用定义法判定f(x) 2x 2 x的单调性，然后结合单调性可得值域;(2)结合函数的奇偶性和单调性把不等式转化为二次不等式，然后结合恒成立问题可得.【详解】设Xi X2，则111f Xif X221 2x2 21 2 1 2x12x22X11因为 X X2,所以

25、2X1 2x2，即 2X1 2 0,又 10,2 1 2所以f X1f X2 ,所以f (X)在(，)上是增函数.(1)由上可知f (X)在区间3,3上是增函数,所以f(X)在区间3,3上最小值为f( 3)63 一 ，.63,取大值为 f (3) ,88因此f(X)的值域是63 638 , 8(2)因为f ( X) f(X),所以f(X)在R是上奇函数，所以不等式f t2 2t f 2t2 k0对于彳E意t R恒成立,22等价于不等式f t 2t f k 2t对于彳E意t R恒成立，因为f (x)在(,)上是增函数， 所以问题等价于不等式t2 2t k 2t2对于彳i意t R恒成立,即3t2 2t k对于任意t R恒成立，211设g(t) 3t2 2t,则g(t)的最小值为一，所以k33-，E1所以k的取值范围是，3 .本题主要考查函数的值域求解和性质的综合应用，奇偶性和单调性的结合，可以使复杂的不等式问题转化为熟悉的不等式问题，侧重考查逻辑推理和数学抽象的核心素养.22.已