2020-2021年高三数学二模考试试题理(含解析)

1、高三数学二模考试试题理（含解析）第I卷（共60分）一、选择题（本大题共 12小题，共60.0分）1 .已知集合 A x R| 1 x 3 , B2, 1,0,1,2,3,4，则 A B （）A. 1,0,1,2,3B. 0,1,2,3C. 1,2,3D. 0,1,2【答案】B【解析】【分析】利用交集定义直接求解即可.【详解】集合 A x R| 1 x 3 , B 2, 1,0,12,3,4，.一 AI B 0,1,2,3 .故选：B.【点睛】本题考查集合交集的运算，考查交集定义，属于基础题.一一 i 一 22.已知复数z ，则z 2在复平面内对应的点位于（）1 i2D.第四象限A.第一象限B.

2、第二象限C.第三象限【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ,求得2 .z 在复平面内对应的点的坐标即可.2i i 1 i【详解】 z1 i 1 i 1 i1 li, . z 匹 1i 2 2222z 在复平面内对应的点的坐标为 2,2112 ,2,位于第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基 础题.3x 2y 6 03.设x, y满足约束条件x y 2 0 ,则z x 2y的最小值是（）x 4y 8 01 . -4B. -2C. 0D. 2【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行

3、求解即可.2y得【详解】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）,由z1y 2x平移直线z2, 1y 2xz ,由图象可知当直线21-x2z 、一 一一，一，过点B时,21 z .直线y x 的截距最大，此时 z取小，由 22x 4y 8 0,解得B 0, 2x y 2 0代入目标函数z x 2y,得z 0224,目标函数z x 2y的最小值是 4.【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键, 利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题.4 .抛物线C:y2 2Px(p 0)的焦点为F,点A6,y0是C上一点，|AF | 2p ,则( )A. 8B

4、. 4C. 2D. 1【解析】【分析】根据抛物线定义得 AF 6 p ,即可解得结果.【详解】因为AF2P 6 p,所以 p 4. 2-11 -故选：B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题5 .已知等比数列an的首项为1,且a6a42a3a ,则aa2a3La7()A. 16B. 64C. 128D. 256【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的通项公式可得q ,再利用通项公式及其等差数列的求和公式即可得出答案.【详解】设等比数列烝的公比为q , 06 a4 2 a3 a1，q5 q3 2 q2 1 ,解得 q3 2 .0+1+2+L +6213、7 77a1a2 比

5、L a7 qq (q )2 128.故选C.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查推理能力与计算能力，解题时注意整体思想的运用，属于中档题.【解析】【分析】根据函数奇偶性排除B , C ;根据函数零点选 A.【详解】因为函数ylnx4 _lnx4.为奇函数，排除B , C ;又函数y 的零点为 1和1,故选:A.【点睛】本题考查函数奇偶性与函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题7.某学生5次考试的成绩（单位：分）分别为85, 67, m, 80, 93,其中m 0,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为 80,则得分的平均数不可能为（）A. 70B. 75C. 80D.

6、 85【答案】D【解析】【分析】根据中位数为80,可知m 80,从而得到平均数小于等于 81,从而确定结果.【详解】已知四次成绩按照由小到大的顺序排序为：67, 80, 85, 93该学生这5次考试成绩的中位数为 80,则m 8085 67 m 80 93所以平均数：81 ,可知不可能为 85本题正确选项：D【点睛】本题考查统计中的中位数、f8.已知某几何体是由一个的体积为（数确定取值范围，从而能够得到平均数的范围.,其三视图如图,则该几何体D.【答案】B【解析】【分析】 根据三视图还原几何体，可知为三棱柱和三棱锥的组合体，分别求解体积，加和得到结果【详解】由题意可知，该几何体的直观图如图所示

7、:即该几何体为一个三棱柱与一个三棱锥的组合体则三棱柱体积V11、2 3 2；三棱锥体积 V21 22 12 3 2所求体积VVi V2 2本题正确选项：B【点睛】本题考查组合体体积的求解，关键是通过三视图准确还原几何体9 .已知函数f x 2sin x 1(02 )部分图像如图所示，则下列判断正确的3是()A.直线x一是函数yf x图像的一条对称轴6B.函数y图像的对称中心是C.D.函数y的最小正周期为【解析】先根据对称轴求得,再根据正弦函数性质求对称轴、对称中心、周期以及函数值，最后作判断.【详解】由图可知,7一是函数y6f x的对称轴，所以2k ,kz解得12k,+,k7x 2sin2si

8、n1361,函数y的最小正周期为2,由,kz得对称轴方程为k,kx 二k ,k3z得对称中心为k,z,故选：C.【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及正弦函数性质，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.2(2n 3)an 4n 16n 15,则 anA. a5【答案】A【解析】【分析】B. a6C. a7D. %利用配凑法将题目所给递推公式转化为_a_二 -an 1 ,即证得 an 为首项为7 ,2n 3 2n 52n 5公差为1的等差数列，由此求得an的表达式，进而求得 an的表达式，并根据二次函数的 2n 5对称轴求得当n 5时an有最小值.详解由已知得 -an=an 1, 2n 3

9、 2n 52 57 ,所以数列 一an 为首项为 7 ,公差2n 5 a为1的等差数列，7 (n 1) n 8 ,则an(2 n 5)(n 8) 其对称轴2n 510.5n 5.25.所以an的最小的一项是第5项.故选A.2【点睛】本小题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.11.在平面直角坐标系 xOy中，双曲线2 c a2 x b21 (a0,b 0)的一条渐近线与_ 22b(x 2) (y 1)1 相切，则一()aA.B.C.16D._91610 .已知数列 & 的首项ai = 21,且满足(2n 5居1的最小的一项是()符合条件的渐近线方程为by

10、ax 0,与圆相切，即d=r,代入公式，即可求解所以圆心【详解】双曲线 C的渐近线方程为by ax 0,与圆相切的只可能是 by ax 0 ,- b 2a到直线的距离d= ,a2 b2b 31 r ,得3a 4b ,所以，故选b。a 4【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查分析推理，计算化简的能力，属基础题。12.设x表示不大于实数x的最大整数，函数 f x且只有5个零点，则实数a的取值范围为（）,2ln x ln x 2,xex ax 1,x 02,，若f x有A. , eB. , e首先令lnx t ,再画出y t及y t2 2在1,2上的图象，即可判定 x0时的交点个数,再把x0时方程

11、整理成e x 1ax ,结合单调性即可求出a的取值范围【详解】当x 0时，令lnxt, tR ,由 f x 0 ,得 t2 2 t ,t及y t2 2在 1,2上的图象.如图，可知有3个交点，其横坐标分别为t12 ,则当x 0时，函数fx有1个零点，令xf x e ax 1,则 f xx_e a , f x 0,结合题意知 a 0 ,解得x ln1 口 一,且 ln ac.1 c0 ,解得a 1 ,函数在区间ln,0上单调递a增，在区间,1 C,1 八,ln 上单调递减，又因为f 0 0,故fln 0,故aa.11 时，f 一a1ea11ea0,由零点存在性定理可得函数在11一-H-八，区间一

12、,1n一上有一个零点，若函数f x有5零点，则a 1,故选D.a a【点睛】本题主要考查了由函数的零点个数求解参数的取值范围，其中解答中正确作出函数 图像，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，结合图象求解是解答关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题第n卷（共90分）二、填空题（本大题共 4小题，共20.0分）-r .r. _ r rr r .13.已知 |a| 2，|b| 3, a , b 的夹角为 120，则 12a b| 【答案】13【解析】【分析】V c先利用平面向量数量积的运算法则求得12v b |2的值，再开平方即可得结果V V v V【详解】因为

13、a 2, b 3, a, b的夹角为120 ,V V2V 2V 2VV所以2a b|4a |b |4 ab cos120八-c1“44 942313,2 eV ,V所以2a b 而.故答案为J3.【点睛】本题主要考查向量的模以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式r rr ra ba b cos；二是向量的平方等于向量模r2的平方a4,15 ,2 , 一一14. (x )(x 2)5的展开式中x2的系数为 x【答案】120【解析】【分析】先拆项:5,再分别根据二项展开式求特定项系数,80x2,最后求和得结果.因为x x 2 5的展开式中含x2

14、的项为xC；x 241_ 512 3 _22x 2的展开式中含x之的项为一Csx 240x ,xx所以x2的系数为80 40=120.故答案为：120【点睛】本题考查二项展开式求特定项系数，考查基本分析判断与求解能力，属基础题15 .某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A, B, C, D, E五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是 B就行；小张说：B, C, D, E都行;小李说：我喜欢 D,但是只要不是 C就行；小刘说：除了 E之外，其他的都可以.据此判断，他们四人可以共同看的影片为 .【答案】D【解析】小赵可以看的

15、电影的集合为A,C,D,E，小张可以看的电影的集合为B,C,D,E，小李可以看的电影的集合为 A,B,D,E ,小刘可以看的电影的集合为A,B,C,D，这四个集合的交集中只有元素 D,故填D.16 .如图，在长方体 ABCD AB1C1D1中，AB 1, BC J3 ,点M在CG上，当MDi MA取得最小值时， MDi MA,则棱CCi的长为【解析】【分析】把长方形DCCiDi展开到长方形ACCiA所在平面，利用三点共线时MDi MA取得最小值,利用勾股定理列方程组，解方程组求得CCi的值.【详解】把长方形 DCC iDi展开到长方形 ACCi A所在平面，如图,条直线上时， MDi MA取得

16、最小值，此时曲旦2令MDiCiDii，A, M , Di 在同一MA 2x, MDi x,(2x)2 x2 h2 3CCi h ,则 12 / ，得(3x)2 h2 32【点睛】本小题主要考查空间中的最短距离问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查空 间想象能力，属于中档题.三、解答题（本大题共 7小题，共82.0分）22a c(1)求B;b2c2a c17 .在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若？一2 a b-ii -b 1,求 ABC面积的最大值.cosB 的（1）利用余弦定理、两角和的正弦公式、三角形的内角和定理化简已知条件，求得ac的最大值，由三角形面积值，

17、进而求得 B的大小.（2）利用余弦定理和基本不等式，求得 公式，求得面积的最大值【详解】解：（1）由余弦定理可得,22. 2acb-27-22abc2accosB2abcosCsinBcosBcosC72sinA sinC sin B C sinA,因为即无sinAcosB cosBsinC sinBcosC，所以 V2sinAc0sBsinA 0,则cosB迎，所以 2（2）由余弦定理可知，b2c2 2accosB，即 1 a2 c2 T2ac，所以 1 a2 c2 V2ac 2ac &ac，ntt 122贝U ac2 ,22S ABC.2 11.一 acsinB 2所以 ABC面积的最大值

18、为2 1 .4【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查两角和的正弦公式的应用，考查三角形内角和定理的应用，属于中档题.18 .某种类型的题目有 A, B, C, D, E 5个选项，其中有3个正确选项，满分 5分.赋分 标准为“选对1个得2分，选对2个得4分，选又3个得5分，每选错1个扣3分，最低得分为0分”在某校的一次考试中出现了一道这种类型的题目，已知此题的正确答案为 ACD，假定考生作答的答案中的选项个数不超过3个.(1)若甲同学无法判断所有选项，他决定在这5个选项中任选3个作为答案，求甲同学获得0分的概率；(2)若乙同学只能判断选项 AD

19、是正确的，现在他有两种选择：一种是将AD作为答案，另一种是在B,C, E这3个选项中任选一个与 AD组成一个含有3个选项的答案，则乙同学的最佳选择是哪一种，请说明理由.3【答案】(1) ; (2)见解析10(2)分别计算(1)先确定甲同学获得 0分时对应答题情况，再根据古典概型概率公式求解,两种情况下得分的数学期望值，再比较大小，即可判断选择0分，只有一种情况，那就是【详解】(1)甲同学在这 5个选项中任选3个作为答案得分为理由如下:其中选择ABD,选了 1个正确答案(2)乙同学的最彳设乙同学此题得分;若乙同学仅选择若乙同学选择4 , X的数学期望EX 4cIc： 上所求概率pCC2C5331

20、0可能的答案为 ABD, ACD,ADE ,共3种.， 八2为1分，其概率为一；3一 一 一,一 ,1 217选才i ACD ,得分为5分，其概率为1.所以数学期望EX 2 1 1 5 7.33337由于4所以乙同学的最佳选择是选择AD .【点睛】本题考查古典概型概率以及数学期望，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.19 .如图，在四B隹P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，ACD 45 , CD 2, PAC为边长为J2的等边三角形，PA CD.（1）证明：平面 PCD 平面ABCD;（2）求二面角 A PB D的余弦值.【答案】（1）见解析；（2） 90o【解析】【分析】（1）先根据

21、余弦定理计算得 AD,再根据勾股定理得 AC AD,即得 ACD为等腰直角三 角形，取CD的中点O ,可得AO CD,结合条件根据线面垂直判定定理得 CD 平面POA , 即得CD PO,根据勾股定理得PO AO ,根据线面垂直判定定理得 PO 平面ABCD , 最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关 系得结果.【详解】（1）在 ACD中，ACD 450 , CD 2 , AC J2 ,由余弦定理可得，AD J2 故AC2 AD2 CD2,所以 CAD 90O ,且 AC

22、D为等腰直角三角形.取CD的中点O ,连接AO ,由AC AD ,得AO CD，连接PO , 因为PA CD ,所以CD 平面POA ,所以CD PO.又 AO 1, PO 1, PA 72,所以 AO2 PO2 PA2,即 PO AO.又CD OA O,所以PO 平面ABCD,又PO 平面PCD .所以平面PCD 平面ABCD .(2)解：以O为原点，OD, OA, OP所在的直线分别为x, y, z建立如图所示的空间直角B 2,1,0 , D 1,0,0 .v设平面PAB的法向量nx,y,z ,uuvPAuuv 0,1, 1 , BA2,0,0 ,vuuvVPA 0v BA 0令y 1,1

23、,所以v0,1,1 ,设平面PDB的法向量a, b,c ,uuvPB2,1, 1 ,ULuvBD 3, 1,0 ,uuvv PB 0v uuivv BD 02a3a则 b 3,c1,3,1 ,故 cos：nf?m，/vuvn m同m2 2211PBA PB D的余弦值为2 2211因为二面角AD为锐角，所以二面角P本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题2220.设椭圆C:xy冬1(a ba b0)的左、右焦点分别为Fi, F2,下顶点为A, O为坐标原点，点O到直线AF2的距离为,AF1F2为等腰直角三角形. 2坐标系 O xy

24、z,则 P 0,0,1 , A 0,1,0(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l与椭圆C交于M , N两点，若直线 AM与直线AN的斜率之和为2 ,证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标 .2【答案】（1）土 y 1；见解析2【解析】【分析】（1）利用a,b,c表示出点O到直线AF2的距离；再利用b c和a,b,c的关系得到方程，求解得到标准方程；（2）当直线l斜率存在时，假设直线方程，利用斜率之和为2得到t与k的关当斜率不存在时，发现直线也过该定系，将直线方程化为 y k x 11,从而得到定点;点，从而求得结果.【详解】（1）解：由题意可知：直线AF2的方程为yb1 ,即 bx cy b

25、c 0-27 -bc 2因为 AF1F2为等腰直角三角形，所以又 a2b2 c2可解得a J2，b 1，c 12所以椭圆C的标准方程为2（2）证明：由（1）知A 0,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为kx1 2k24ktx2t2所以16k2t2 4 1_ 2_ 22k2 2t22k2设 M x1，y1，N X2, y2，则 xX24 kt2k22t2 21 2k2因为直线AM与直线AN的斜率之和为所以kAMkANv 1y2 1kx1kx2x1x2x1x22kt 1 x1 x22kt 1 4ktx1x22t22整理得t 1 k所以直线l的方程为y kx t kx 1 k k x 1显然直线y

26、 k x 11经过定点1,1当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x m因为直线 AM与直线的斜率之和为 2,设M m,n，则N m, nn 1n 12所以kAM kAN 2,解得m 1mm m此时直线l的方程为x 1显然直线x 1也经过该定点1,1综上，直线l恒过点1,1【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的定点问题，解决定点问题的关键是能够通过 已知中的等量关系构造关于参数的等式，减少参数数量，从而变成只与一个参数有关的函数 关系式，进而求得定点.21.已知函数f(x) xlnx kx2 x, a,b是函数f(x)的两个极值点(a b).(1)求k的取值范围.(2)证明：a* e2.

27、1【答案】(1) (0,)；(2)见解析2e【解析】【分析】(1)先求导数，再分离变量，转化为研究对应函数图象，利用导数研究新函数单调性，结合lnx函数值域确定k的取值范围，(2)先由(1)得1 a e b,再根据导函数g x 单调x2性以及a,b是函数f x的两个极值点转化不等式为g b g 且，化简转化证不等式blnb2b2b20,利用导数研究 h b lnbb22b =be,e单调性，即可根据单调性证结论.(1)因为 f x lnx 1 2kxlnx2kx.(x 0).所以lnx2kx 0由两个不等的实数解,lnx 人lnx ,贝U 2k ，令g x ，贝U g xxxlnxxx e时，

28、g x 0；当 xe时,g x0.函数0,e上单调递增，在e,上单调递减又当1时,所以02k1一，解得0 k ek的取值范围为(2)证明：由得lna2ka lnb 2kb 0,即lnbbb.e2 ，只需又函数g x在0,e上单调递增,即证g2 e b所以只需证g b g lnbbb 2 lnb.22.2b2b e lnb 2b2 e222b elnb2b2b2,b ee,h b4b b2 e2,22 2b e4b3b2e2 2所以函数h b在e, 上单调递增,0,即 g b本题考查利用导数研究函数零点以及证明不等式,属难题.b b20.0.考查综合分析论证与求解能力,22.在直角坐标系xOy中，直线l方程为J3x y a 0,曲线C的参数方