2018-2019学年云南省昆明市高二下学期期末考试数学(理)试题解析版

1、绝密启用前云南省昆明市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理 )试题评卷人得分、单选题1 .设集合 A=x -1 <x <1,B=-1,0,1,2 ，则 Ap| B=()A. -1,0,1B. -1,0C. 0,1D. 1,2【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义，即可求出结果。【详解】aJb =fo,1),故选 Co【点睛】本题主要考查交集的运算。2.2i1 -iA. 1 +iB. 1+iC. 1i【答案】B【解析】D. 1 -i【分析】利用复数的除法可得计算结果【详解】2i1 -i_ 2i 1 i一 1-i 1 i-1 i故选B.3【点睛】本题考查复数的除法，属于基

2、础题.才 才44 43.已知向量 a = (1,x), b=(2,4), a/(ab )，则 x=()B. -1C. 3D. 1【解析】【分析】先求出a_b的坐标，再根据向量平行的坐标表示，列出方程，求出 x.【详解】a a -b =(3,x-4)由 a/(ab )得，1 (x 4) 3x = 0解得x = -2,故选A。【点睛】本题主要考查向量的加减法运算以及向量平行的坐标表示。224.已知双曲线C : ' -L =1 ,则C的渐近线方程为()164A . *x±y=0B. x ±V6y =0C. x±2y=0D. 2x±y = 0【答案】C【

3、解析】【分析】根据双曲线的性质，即可求出。【详解】22令=0 ,即有x工2 y =0164双曲线C的渐近线方程为x±2y=0,故选C。【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求法。55. (12x)展开式中的x3系数为()A. 40B. -40C. 80D. -80【答案】D【解析】【分析】由二项式定理展开式的通项公式，赋值即可求出。【详解】5rr rr r(1 2x )展开式的通项公式是 Tt=C5(2x) =C5 (-2) x33令r =3,所以x3系数为C5(-2) =-80 ,故选D。【点睛】 本题主要考查如何求二项式定理的展开式中某一项的系数。6 .古印度“汉诺塔问题”：一块

4、黄铜平板上装着 A,B,C三根金铜石细柱，其中细柱A上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面 .若A柱上现有3个金盘（如图），将A柱上的金盘全部移到B柱上，至少需要移动次数为（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】B【解析】【分析】设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为anL则an =2斗+1,利用该递推关系可求至少需要移动次数.【详解】设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为an.要把最下面的第 n个金盘移到另一

5、个柱子上，则必须把上面的n-1个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动 an二次.把第n个金盘移到另一个柱子上后，再把n-1个金盘移到该柱子上， 故又至少移动an次，所以an =2an,+1 ,a=1,故22=3, a3=7,故选 B.【点睛】本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.7 .函数y=e2 ex的图象可能是（）A.、g ；B.C炉 ；D一。一【答案】B【解析】【分析】根据f(0)>0可得正确的选项.【详解】设 f (x)=e2ex, f (0)=e21A0, A, C, D均是错误的，选 B .【点睛】本题考查函数图像的识别，注

6、意从函数的奇偶性、单调性、特殊点函数值的正负等方面刻画函数的图像.8.设m，n为两条不同的直线， a,B为两个不同的平面，则下列结论正确的是()A . ct 1 P, m ±a,n _L P ,则 m _L nB, u_LP,m_L%nuP.Um_LnC,4 ®m 烫 a,nBJUm_LnD . / / 3 m烫 a,n3 ,则 m/n【答案】A【解析】【分析】依据空间中点、线、面的位置逐个判断即可【详解】直线m，n所在的方向向量分别记为 ：,b,则它们分别为 J P的法向量， 因"，0,故：，6,从而有m -L n , A正确.B、C中m, n可能平行，故 日c

7、错，d中m,n平行、异面、相交都有可能，故d错.综上，选A.【点睛】 本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于基础题59.设随机变量 X B(2,p ),若 P(X >1 )=-,则 E(X 产()9A. 2B, -C. 2D. 133【答案】A【解析】【分析】根据对立事件的概率公式，先求出P ,再依二项分布的期望公式求出结果【详解】54, P(X 之 1 ) = 1 -P(X =0)=-,二 P(X =0)二rr2 412 .即(1-p)=，所以 p= , E(X)=2p = ,故选 A。933【点睛】本题主要考查二项分布的期望公式，记准公式是解题的关键。-1110

8、 .设a =ee,b = ln拒JlnS'Cnn，,则下列正确的是()3A. a >c>b【答案】B【解析】【分析】B. c>a >bC. ob >aD . a >b >c471n9依据y = In x的单调性即可得出 a,b, c的大小关系。1 I c In2 In3 3ln2-2ln3 ,b = ln 2 In3 =3236-而a=eeA0c = n3A0）所以b最小。11p111111又 Ina =lnee =-<一 , lnc = lnn2 =-Inn >一， e 222所以In c>ln a ,即有c >a ,

9、因此c>a >b ,故选B。本题主要考查利用函数的单调性比较大小。 .1 11 .在平行四边形 ABCD中，/BAD=，点E在AB边上，AD=AE= AB=1,32将ADE沿直线DE折起成L ADE , F为AC的中点，则下列结论正确的是()1A.直线AE与直线BF共面B. BF =2C. |_AEC可以是直角三角形D. AC 1 DE【答案】C【解析】【分析】(1)通过证明A； E, B, F是否共面，来判断直线 AE与直线BF是否共面；1,. _(2)取特殊位置，证明 BF =3是否成立；(3)寻找L A'EC可以是直角三角形的条件是否能够满足；(4)用反证法思想，说明

10、 A'C _L DE能否成立。【详解】C如图，因为B,C,E,A'四点不共面，所以E迎面ABC,故直线A'E与直线BF不共面；1Lade沿直线de折起成La de，位置不定，当面a de，面bcde ，此时bf丰一；2取 DE 中点，连接 AG,CG ,则 AG _L DE ,若有 A'C _L DE ,则 DE，面 A'CG即有DE _LCG,在RtADGC中，CD =2, DG =1,/CDE =60。明显不可能，故不2符合；在 A'EC 中，A'E=1,CE=V3,而 AC=J7 A 2,所以当 AC = 2时，AEC 可以 是直角

11、三角形;【点睛】本题通过平面图形折叠，考查学生平面几何知识与立体几何知识衔接过渡能力，涉及反- 7 对称，且f (x )在|0,证法、演绎法思想的应用，意在考查学生的直观想象和逻辑推理能力。12.已知函数f (x )=sin®x(0 >0)的图象关于直线上为单调函数，下述四个结论:满足条件的0取值有2个i：,。为函数f (x )的一个对称中心f (x )在!i-,0 上单调递增_ 8f (x )在(0,n )上有一个极大值点和一个极小值点其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依照题意找出 切的限制条件，确定仍，得到函数f(X)的解析式，再根据函数

12、图像逐一 判断以下结论是否正确。【详解】因为函数f (x ) = sin&x(® >0)的图象关于直线x = 对称，所以 a = +ti4424 10 = (+k) A0,k WZ ,又f x )在.0,-上为单倜函数，元12，即6 E2,3 2. 4-42-2所以8=或切=2,即 f (x )=sin x或 f (x) = sin2x33所以总有f(31)=0,故正确；2由f (x )=sin x或f (x )=sin 2x图像知，f (x )在|一一 ,0上单倜递增，故正确; 3一 82 当x = (0,n)时，f x = sin x只有一个极大值点，不符合题意，故

13、不正确；3综上，所有正确结论的编号是。【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，意在考查学生综合分析解决问题的能力。第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明 评卷人、填空题13.在等差数列 匕中，4=7, a?+% =18,则公差d =【答案】2利用等差数列的性质可得 a5,从而d =a5 -a4 .【详解】因为 a2+a8=18,故 a5=9,所以 d=a5a4=9 7 = 2,填2,【点睛】一般地，如果an为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质：(1)若 m,n, p,q w N*, m+n = p +q ,则 am + an = ap + aq ； & =n(ak ；an

14、*=i,2，, n 且 &n,= (2n-1)an ；Sc(3) Sn = An2+Bn且为等差数列；(4) Sn, &与如-S2n,川为等差数列.14.函数f (x ) = lnx2x的图象在点P(1, f (1)处的切线方程为 【答案】x y 1 = 0【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式方程写出切线方程。【详解】7 f (x) =- -2 ,，k = f '(1) = T ,又 f (1) = -2所以切线方程为 y (2)=(1)(x1),即 x + y+1=0。【点睛】9本题主要考查函数图像在某点处的切线方程求法。15.已知C是以AB

15、为直径的半圆弧上的动点,。为圆心，P为OC中点，若AB = 4,【答案】-2【解析】【分析】I先用中点公式的向量式求出pA+晶，再用数量积的定义求出(pA+pBpC的值。【详解】yPA PB -2PO， PA PB PC = 2pO pC=2 11cos180 =-2【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义。2216.已知椭圆C:x2+七=1(a、b>0), 0(0,0), P(3,1)，斜率为1的直线与C相a b交于A,B两点，若直线 OP平分线段AB ,则C的离心率等于【答案】JL3利用点差法求出b2b2的值后可得离心率的值. a2222"dye，则/+春噜

16、i222祥+口=0即a bX X2X1X2小-、2 Vly2b26V1 - V2231因为 P 为 AB 的中点，故 -2" +2 = 0即 2 2 = 0 ,aX1 -X2b a b所以 a2 =3（a2 -c2 ）ip -c- 2,故 e =更，填.a2333【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于a,b,c的一个等式关系.而11离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于a, b,c的不等式或不等式组.另外，与弦的中点有关的问题，可用点差法求解.评卷人得分三、解答题17.桅子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒 .叶，

17、四季常绿；花，芳香素雅.绿叶白花，格外清丽.某地区引种了一批桅子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批桅子中随机抽取 100棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图(单位：m ),其中不大于1.50 (单位：m)的植株高度茎叶图如图所示.喧样鼐度藉率分曲直方蓄13 1 2 5 6 81,4 13 34557899不大于LR的地株高度茎叶图(1)求植株高度频率分布直方图中a,b,c的值；(2)在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批桅子植株高度的平均值.【答案】(1) a =0.5,

18、b =1,c = 1.5 ； (2) 1.60.【解析】【分析】(1)根据茎叶图可得频率，从而可计算a,b, c.(2)利用组中值可计算植株高度的平均值.【详解】510(1)由茎叶图知， 砺.有1a = 0.5,b = = 10.10.1由频率分布直方图知0.595+1.45父1+1.55M3+1.65父 4 +cm 0.1+3父 0.1 +4父 0.1 = 1, 所以c =1.5.(2)这批桅子植株高度的平均值的估计值1.35 0.5 1.45 1 1.55 3 1.65 4 1.75 1.5 0.1 = 1.60.本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题A18. ABC的内角A

19、, B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA = 1sin. 2求A; n-(2)若B=,且b=23, D是BC上的点，AD平分NBAC ,求L ACD的面积.，一 A 兀L【答案】(1) A = (2) V33【解析】【分析】(1)先利用二倍角公式将题目等式化成关于sin公的方程，求出sin上即可求出角 A22(2)根据角平分线定义先求出 /BAD ,再依锐角三角函数的定义求出AD ,最后依据三角形面积公式求出。【详解】2 AA2 A A(1)斛：因为 1 2sin =1 -sin 一 ,所以 2sin - -sin - 二 0 ,2222AA即 sin- 1 -2sin - 1=022.

20、因为A石(0,江)，所以sin 0解得sin =1. 222A 二八A 5二 人， 所以一=一或一=(舍去)2 626ji因此，A =一.3 又因为AD为的角/BAC平分线，所以/BAD=E,(2)因为 A , 3jijiB =一,所以 C =一26,因为 b = 2J3,所以 AB = J3,6AB在RtAABD中，所以cosZ BAD =，所以AD = 2,AD一,11 一 1-所以 S ADC =-AD AC sin . DAC =- 2 2、3 =、3 .222【点睛】本题主要考查了二倍角公式的应用，以及三角形面积的求法。19.已知等比数列4的前n项和Sn=2n*+九，其中九为常数.(

21、1)求九；(2)设bn = 10g2 an ,求数列an + bn 的前n项和Tn .【答案】(1)九=2(2) T = n(n +1)+2n. 22【解析】【分析】(1)利用an =Sn Sn求出当n之2时4 的通项，根据an为等比数列得到 4的值 后可得 = -2 .(2)利用分组求和法可求 an十bn的前n项和Tn.【详解】(1)因为 Sn =2n+ +九，当n=1时，A =§ =4 +九，当n至2时，Sn=2n+九，所以 an =Sn Snl=2n4-2n = 2n ,因为数列an 是等比数列，所以an =2n对n =1也成立，所以4+九=2,即九= 2.(2)由(1)可得

22、an =2n,因为 bn = log2 an,所以 bn = log 22n = n ,所以 Tn =(2 +22 +23 + IH +2n )+(1 +2 +3+n ) =+n-1)，1 -22即Tn =2n 1-2.S，n=1 一、(1)数列的通项an与前n项和Sn的关系是an =!，我们常利用这Sn -S,n-2个关系式实现an与Sn之间的相互转化.(2)数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分 组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆 成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并 项求和法

23、.20.如图，在四棱锥 PABCD中，PA_L平面ABCD,底面ABCD是菱形, /BAD=三，AB=2, PC=2J7, E,F 分别是棱 PC, AB 的中点.3(1)证明：EF/平面PAD；17(2)求二面角 P-BD -A的余弦值.【答案】(1)见解析(2)19【解析】【分析】(1)依据线面平行的判定定理， 在面PAD中寻找一条直线与 EF平行，即可由线面平 行的判定定理证出；(2)建系，分别求出平面 PBD ,平面ABD的法向量，根据二面角的计算公式即可求出二 面角P-BD A的余弦值。【详解】(1)证明：如图，取 PD中点为G ,连结EG,AG ,11则 EG /CD, EG =

24、CD, AF / /CD, AF = CD , 22所以EG与AF平行与且相等，所以四边形 AGEF是平行四边形，所以EF/AG, AG u平面PAD , EF0平面PAD,所以EF/平面PAD.(2)令AC|BD=O,因为E是PC中点，所以OE，平面ABCD,以。为原点，OAOB,OE所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,在菱形 ABCD 中，AB=2,/BAD=60 :所以，BD =2, AC =2褥，在 RtAPAC 中,PA = jPC2-AC2 =4,则 A(&,0)，P/0,4), B(0,1,0 ), D(0, -1,0), DB=(0,2,0), DP=(J3

25、,1,4)设平面PBD的法向量为n=(x, y,z),所以2y =0卜.3x y 4z = 0,所以可取 n =(4,0, 73又因平面ABD的法向量m =(0,0,1),所以 cosm,n = -min =-v5719由图可知二面角为锐二面角，所以二面角P-BD-A的余弦值为 噜.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理应用以及二面角的求法，常见求二面角的方法有定义法，三垂线法，坐标法。一 2 一一21.已知抛物线C :x =2py( p >0)的焦点为F ,准线为l ,点A= C , A在l上的射影为B ,且 MBF是边长为4的正三角形(1)求 P ;(2)过点F作两条相互垂直的直线l

26、1,l2,l1与C交于P,Q两点，l2与C交于M,N两点,设APOQ的面积为0, AMON的面积为S2 (O为坐标原点)，求S； + &2的最小值.【答案】(1) 2; (2) 16.【分析】(1)设准线与轴的交点为点 H ,利用解直角三角形可得 HF = p = 2 .(2)直线li : y = kx +1 (k # 0 ),联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理可用关于k的关系式表示S2,同理可用关于k的关系式表示S；,最后用基本不等式可求 S12+S22 的最小值.【详解】(1)解：设准线与轴的交点为点H ,连结AF ,AB,BF ,因为 MBF是正三角形，且 BA = AF =

27、BF=4,在坐HF 中，/BHF =90：/FBH =30：BF =4, 所以 HF = p =2.2(2)设 P(xnyi )Q(X2,y2 ),直线 li： y = kx+1(k*0),由(1)知 C :x =4y ,x2 = 4y-联立方程：x y ，消y得x24kx 4=0.y 二 kx 1因为 A=16k2 +16>0,所以 x +x2 =4k,x1x2 = Y,所以 | PQ : J1+k2 JfxT+ x2 ) -4x1x2 =4(1 + k2),.1又原点O到直线l1的距离为d = ，2 ,1k2所以 Si2 =4(1 +k2 ),同理 S22所以 S2 +S22 =4(1+k2 )+4 I1+2 = 8+4 I k2 +2>16 ,当且仅当 k = ±1 时取等 ,k. k号.故S2+S22的最小