2017届南通市三模数学试卷与参考答案word版

1、2首歌曲至少有1首被播放(第4题)南通市2017届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.1 .设复数z a bi ( a, b R , i为虚数单位).若z (4 3i)i ,则ab的值是 【答案】122 .已知集合 U x|x 0, A=x|x 2,则 eu A= .【答案】x|0 x 23 .某人随机播放甲、乙、丙、丁 4首歌曲中的2首，则甲、乙 的概率是 .【答案】5 64 .右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 .【答案】35 .为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本.其中大一年

2、级抽取200人，大二年级抽取100人.若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是.【答案】7500则S10的值是一46 .设等差数列 an的前n项和为若公差d 2, a5 10 ,【答案】1107 .在锐角 AB8, AB 3, AC 4 .若 ABC勺面积为3亚,则BC的长是 .【答案】1328 .在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 y2 1 (a 0 )经过抛物线y2 8x的焦点，则 a该双曲线的离心率是 .9 .已知圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为马的扇形，则这个圆锥的高为3uuir uuu的动点，则 AC EF的取值范围是【答案】2. 210 .若直线y 2x b为曲线y e

3、x x的一条切线，则实数 b的值是 【答案】111 .若正实数x,y满足x y 1,则丫 4的最小值是 .12 .如图，在直角梯形 ABCD中，AB/ DCABC 90 ,AB 3, BC DC 2.若E,F分别是线段 DC和BC上4分(第12题)【答案】4,613 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点A(0, 2),点B(1, 1), P为圆x2 y2 2上一动点,则PA的最大值是.【答案】2x. x a. 一 14 .已知函数f(x) 3若函数g(x) 2f (x) ax恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是.【答案】(:，2)二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.15 .(本小题满

4、分14分)已知函数f(x) Asin x ( A 0,0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为兀,3且经过点(龙，遮).(1)求函数f (x)的解析式；(2)若角 满足f( ) 73f( ；2) 1,(0,力，求角 的值.【解】(1)由条件，周期T 2支，即会2兀，所以 1 ,即f(x)Asin x - 3因为f（x）的图象经过点（目号）,所以Asin2所以 f(x) sin x . 3由 f ( ) V3f(2)1,得 sin J3sin 1 ,33 2即 sin -J3 cos-1 ,33所以 2sin -1 ,即 sin 1 .332因为 o,兀,所以g或56,12分14分16.（本小题满分

5、14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCO矩形，平面M N分别为棱PD PC的中点.求证：（1） MN/平面PAB（2） AML平面 PCD【证】（1）因为M N分别为棱PD PC的中点，所以MIN/ DC2分又因为底面ABCD1矩形，所以AB/ DCPADL平面 ABCD AP=AD4分所以MN AB.又AB 平面PAB MN 平面PAB所以MNZ平面PAB（2）因为AP=AD M为PD的中点,所以AML PD.因为平面PADL平面ABCD又平面 PACT 平面 ABCD AD, CD!AD CD平面ABCD所以CDL平面PAD10分又AM 平面PAD所以CDL AM因为 CD PD

6、平面 PCD CD I PD D ,13分14分所以AML平面PCD17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆1(ab 0)的左焦点为F ( 1,0),且经过点(1，j) -(1)求椭圆的标准方程;(2)已知椭圆的弦 AB过点F,且与x轴不垂直.若D为x轴上的一点,DA DB ,求幽的值.DFyBODA(第17题)【解】(1)方法一：由题意,c1a2 a1,9 4b7 b21,_2c ，24a解得 2b4,3.所以椭圆的标准方程为2 x 42yr1-方法二：由题意，知2a (1 1)22(11)2窗2又 c 1, a2b22所以椭圆的标准方程为江 4(2)方法1 ：设直线A

7、B的方程为y k(x 1). 若 k=0 时，AB=2a=4, FD=FO=1,所以-AB- DF若20 时，A(xi, y1), B(x2, V2),AB的中点为M (x, y)，代入椭圆方程，整理得2222(3 4k )x 8kx 4k 12 0 ,所以 x 4k2 6呼 1, x24k2 6呼 13 4k23 4k2所以x04kL3 4k2所以 V。k(x0 1)3k23 4k2所以AB的垂直平分线方程为3k23 4k21 x 4k2 k 3 4k2因为DA=DB所以点D为AB的垂直平分线与 x轴的交点,所以 D( k 2,0),3 4k22所以 DF 匕 1 3 3k2 .34k3 4

8、k因为椭圆的左准线的方程为x 4,离心率为2，10分由小4 得 AF 12(X1 4), X1422同理 BF 1(x2 4). 2所以 AB AF BF 1(X1 X2) 4 Xo 4 12 12k 12 分23 4k2所以器4 .综上，得DB的值为4.14分方法 2：设 A(x1，y1)，B(x2, y2) , AB的中点为 M(h, y0), 若直线AB与x轴重合，-AB- 4；DF 若直线AB不与x轴重合,设 A(x1,y1)，B(x2, V2), AB的中点为 M(xo, yo),2x1由42x22y142241,1,所以凶X2)4xo(y y)322o,3yoo,所以直线AB的斜率

9、为当x1 x2所以AB的垂直平分线方程为4yo /、yo W(x xo).3xo因为DA=DB所以点D为AB的垂直平分线与 x轴的交点,所以D（齐,0），所以FD勺1.4410分12分综上，得AB的值为4.DF14分同方法一，有AB方法3:若直线AB与x轴重合，DB 4B(X2, y2)， 若直线AB不与x轴重合，设A（x1, y1）,则AB的中点为M （三x2 yiy2所以AB的垂直平分线方程为yy22-均 x2(xyV2xi令y=0,得xD22yy22(x1x2)22yV2x1222为x2x22(xi x2)3(1 42) 3(1 3力2 x12x22(xi x2)1 .21 .2xx24

10、 14 2 2(xi x2)Xx2810分所以DF 曳产8同方法一，有AB2(均 x2) 4 ,12分所以普综上，得旦的值为4.DF14分18.（本小题满分16分）如图，半圆AO提某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA勺长为1百米.为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C,修建参观线路 GDE-F,且CD5,038 1，1 t 2.t 3(2)求修建该参观线路的最低费用.【解】设DE与半圆相切于点 Q,则由四边形 CDEF0),所以EF1 tDE EF均与半圆相切，四边形 CDE层等腰梯形.设 DE t百米，记修建每1百米参观线路的费用为f(t)万元，经测算f(t)(1)用t表示

11、线段EF的长；是等腰梯形知OQ l , DQ= QE以OF所在 直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图 所示的平面直角坐标系 xOy.(1)方法一：由题意得，L点E的坐标为(i,1),设直线EF的方程为y 1 k(x少(k即 kx y 1 -tk 0.】2因为直线EF与半圆相切，|1 1tk|所以圆心O到直线EF的距离为 j 21 ,解得k =4L .3分k2 1/ 4代入y 1 k(x少可得，点F的坐标为(；，0).2)2即 EF =；(0 t 2).方法二：设EF切圆O于G ,连结OG ,GOF HEF ,DE所以 RtAEHfFRtAOGF因为 EH OG , OFG过点E作EH AB

12、 ,垂足为所以HFFG EF2t由EF1 2_ 21 HF 1一 12(EF 2t),所以EFt 2).(2)设修建该参观线路的费用为y万元.5(1t 令,y在0,1上单调递减.3所以当ty取最小值为32.5;11分2时,16t所以12216 4 4(t 1)(3t 3t 1)13分因为- -2t 2 ,所以 3t 3t 10,且当(1，1)时，y 0;当 t 3(12)时,y所以y在(1，1)上单调递减；在3(1, 2)上单调递增.所以当t 1时，y取最小值为24.5.15分由知，y取最小值为24.5.答：(1) EF的长为(:”米;(2)修建该参观线路的最低费用为24.5万元.16分19.

13、(本小题满分16分)已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列，q 1,正整数组E (m, p, r) (m p r).(1)若 ai b2 a2 b3 a3 bi,求 q 的值；(2)若数组E中的三个数构成公差大于 1的等差数列，且am bp ap br ar bm, 求q的最大值；(3)若bn( 1)n1,ambmapbparb 0 ,试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式 an.(注：本小问不必写出解答过程)22、【解】(1)由条件，知a1 M a； d b1q 即dq)a1 d bqa1 2d b1,d b1(q 1).所以2q2 q 1 0 .2分因为q 1,所以q

14、2 ,4分(2)由ambpapbr,即apambpbr,所以(p m)d bm(qp m qr m) , 同理可得，(r p)d bm(qm 1). 6 分因为m, p, r成等差数列，所以 p m r p 1(r m).记 qp m t ,则有 2t2 t 1 0 ,因为q 1,所以t 1,故t 1,即qpm ；8分2 2所以1 q 0.记p m ，则为奇数，又公差大于1,所以 3,10分所以 |q | (2) (1)3,即 q w -e)3 ,1当 3时，q取最大值为-夕.12分 满足题意的数组 E (m , m 2 , m 3),此时通项公式为an ( 1)m 1(3n 3m 1), m

15、 N* .n 288例如：E (1,3, 4) ,， 3n ：.16 分8820.(本小题满分16分)已知函数f(x) ax2 cosx (a R ),记f(x)的导函数为g(x).(1)证明：当a 2时，g(x)在R上单调递增；(2)若f(x)在x 0处取得极小值，求a的取值范围；(3)设函数h(x)的定义域为D,区间(m,+ ) D ,若h(x)在(m,+ )上是单调函数, 则称h(x)在D上广义单调.试证明函数y f(x) xlnx在(0 ,)上广义单调.【解】(1)当 a / 时，f (x) gx2 cosx,所以 f (x) x sin x ,即 g(x) x sinx , 2 分所

16、以 g (x) 1 cosx 0 ,所以g(x)在R上单调递增.4分(2)因为 g(x) f (x) 2ax sin x,所以 g (x) 2a cosx.当a 1时，g(x)m cosx 0,所以函数f (x)在R上单调递增.若 x 0 ,则 f (x) f (0) 0 ;若 x 0 ,则 f (x) f (0) 0 ,所以f(x)的单调增区间是(0,)，单调减区间是(，0),所以f(x)在x 0处取得极小值，符合题意.6分当aw - 2时，g (x) 1 cosxw 0 ,所以函数f (x)在R上单调递减.若 x 0 ,则 f (x) f (0) 0 ;若 x 0 ,则 f (x) f (

17、0) 0 ,所以f(x)的单调减区间是(0,)，单调增区间是(，0),所以f(x)在x 0处取得极大值，不符合题意.8分当 2 a 2时，Xo (0,),使得 cosx) 2a ,即 g (%) 0 ,但当 x (0 , Xo)时，cosx 2a,即 g (x) 0 ,所以函数f (x)在(0 , Xo)上单调递减，所以 f (X) f (0) 0 ,即函数f (x)在(0, Xo)单调递减，不符合题意.综上所述，a的取值范围是.10分记h(x)2，ax cosx xln x ( x 0),i i_若 a 0 ,注意到 In x x ,则 ln x2x2,即 In x2jx .12分4a 12

18、a2时,h(x) 2ax sinx 1 In x 2ax 2 x 2所以2( x rp)(.x rp) 2m141 ,函数 h(x)在(m ,）上单调递增.若 a1 时，h(x) 2ax sinx 1In x sin x 1 In所以 m 1,函数h（x）在（m,+ ）上单调递减，综上所述，函数 y f （x） xln x在区间（0,）上广义单调., 14分 x a【证】因为a, b, c, d是正实数，且 abcd 1,所以 a5bcd 44/a5bcd4a .同理b5cda 4b ,5cd a b 4c,_5da b c 4d ,6分10分b c d .4分将式相加并整理，即得5. 55,

19、5 、a b c d a b cd.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域10分内作答，解答时应ABCD是直角梯形,所以n1 ( 1,2,1)是平面SBC的一个法向量.2分写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图，在四棱锥 S ABCD中，SD 平面ABCD四边形ADC DAB 90 , SD AD AB 2 , DC 1 .(1)求二面角S BC A的余弦值；(2)设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为汉26,求线段13CP的长.【解】(1)以D为坐标原点，建立如图所示空间因为SD 平面 ABC取平面 ABCW一个法向量 n2 (0,0,1).设二面角S BC A的大小为，所以|cosn_n2I】IM1 娓666由图可知二面角S BC A为锐二面角,所以二面角S BC A的余弦值为蛇.6uuuuuur由(1)知 E(1,0, 1),则 CB (2,1,0) , CE (1, 1,1).uuu 设CPuuuCB ( 0uuu1),则 CP (2 ,1,0) (2 , 0),uuu 所以PEumr uuuCE CP(12,1,1)