2020-2021天津中考数学相似综合题汇编

1、2020-2021天津中考数学相似综合题汇编一、相似1 .在 ABC 中，ZABC=90°.(1)如图1,分别过 A、C两点作经过点 B的直线的垂线，垂足分别为M、N,求证: ABMABCN;(2)如图 2, P 是边 BC上一点，/BAP=/ C, tan Z PAC= 5 ,求 tanC 的值；A AD 2(3)如图 3, D 是边 CA 延长线上一点， AE=AB, / DEB=90 , sinZBAC= , AC 直 接写出tan/CEB的值.【答案】(1)解：. AM ±MN, CN± MN ,/ AMB=Z BNC=90 ,°3 / BAM+

2、Z ABM=90 ；4 / ABC=90 ；5 / ABM+Z CBN=90 ,°/ BAM=Z CBN,6 / AMB=Z NBC,7 .ABMABCN(2)解：如图 2,过点 P# PMXAPX ACT M, PN±AM 于 N.8 / BAP+Z 1 = / CPM+Z 1=90 ； / BAP=/CPM=/ C,9 .MP=MC10 tan/PAC=设 MN=2m,PN= m,根据勾股定理得，PM=；噌 =3逑=就tanC=BC(3)解：在RtA ABC 中，sin / BAC=北=4,过点A作AGBE于G,过点C作CH, BE交EB的延长线于 H,郡11 / DE

3、B=90 ,°12 .CH/ AG/ DE,GH AC 5跖加=归同（1）的方法得， AABGABCHBC AC AB二 二CH BH BC设 BG=4m, CH=3m, AG=4n, BH=3n,13 AB=AE, AG± BE, EG=BG=4m,14 .GH=BG+BH=4m+3n,融于3nZwn=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,Ch在 RtCEH 中，tan/BEC=* =/?【解析】 【分析】(1)根据垂直的定义得出 /AMB=/BNC=90,根据同角的余角相等得 ABMABCN;出/ BAM=Z CBN,利用两个角对应相

4、等的两个三角形相似得出:(2)过点P作PF±AP交AC于F,在RtA AFP中根据正切函数的定义，由PF 刈 2tan/PACF /41,同（1）的方法得，AB= a , PQ=2a, BP= b , FQ=2b （ a> 0 , CQ 虱 ABPPQF,故BP AP ”?网一所一 B ,设b>0),然后判断出AB'CQF,得，打 团从而表示出 CQ,进根据线段的和差表示出BC,再判断出 AB2 4CBA,得出AS 拼记一不再得出BC,从而列出方程，表示出 BC,AR在RtA ABC中，根据正切函数的定义 得出tanC的值；（3）在 RtAABC中，利用正弦函数的

5、定义得出：sin/BAC=，过点 A作 AGXBE于G,过点C作CH, BE交EB的延长线于H,根据平行线分线段成比例定理得出BG AC AB 4 二二一加 二，同（1）的方法得，AB34BCH ,故）SC 3 ,设 BG=4m, CH=3m , AG=4n , BH=3n ,根据等腰三角形的三线合一得出 EG=BG=4m ,故 GH=BG+BH=4m+3n,根据比例式列出方程，求解得出n与m 的关系，进而得出 EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在 RtCEH 中根据正切函数的定义得出 tan / BEC的值。2.如图，正方形 ABCD等腰RtBPQ的顶点P在

6、对角线AC上（点P与A、C不重合）， QP与BC交于E, QP延长线与 AD交于点F,连接CQ.DC(1) 求证：AP=CQ 求证：PA2=AF?AD;(2)若 AP： PC=1: 3,求 tan/CBQ.【答案】(1)证明：二.四边形 ABCD是正方形，AB=CB, /ABC=90 , / ABP+Z PBC=90,° . BPQ是等腰直角三角形，BP=BQ, / PBQ=90 ； . . / PBC+/CBQ=90 ° ，/ABP=/ CBQ,AABPACBQ, . AP=CQ;二.四边形 ABCD是正方形，Z DAC=Z BAC=Z ACB=45°, / P

7、QB=45 ； C CEP4 QEB,. / CBQ=Z CPQ由得ABPCBQ, /ABP=/CBQ / CPQ=Z APF,/ APF=Z ABP, . APM ABP,AP AF , ： 一 ；一. ： AP ; AF，AB 二胪 .tan / CPQ=0 由得AP=CQ, AD：AB AP(本题也可以连接 PD,证APFsADP)(2)证明：由 得 4AB国 ACRQ,，/BCQ=/ BAC=45 , / ACB=45,°,. / PCQ=45+45 =90 °CQ AP 1又 AP:PC=1:3,，tan/CPQB 一不 一 三 ,由 得/CBQ=/ CPQIta

8、nZ CBQ=tanZ CPQ= J .【解析】【分析】(1 )利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证 ABPACBQ,可得 AP=CQ;利用正方形的性质可证得/ CBQ=Z CPQ,再由 ABPCBQ可证得/ APF=/ abp,从而证出 APMABP,由相似三角形的性质得证；(2)由 ABP 4CBQ 可得 / BCQ=Z BAC=45 ,可得 Z PCQ=45+45° =90°,再由三角函数可CC11得 tan Z CPQ=八 由 AP:PC=1:3, AP=CQ 可得 tan/CPQ=,再由 / CBQ=/ CPQ 可求出答 案.13.如图，抛物线y= - x2

9、+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)如图1,抛物线的对称轴与 x轴交于点 E,连接BD,点F是抛物线上的动点，当 /FBA=/ BDE时，求点 F的坐标；(3)如图2,若点M是抛物线上的动点，过点 M作MN /x轴与抛物线交于点 N,点P在 x轴上，点Q在坐标平面内，以线段 MN为对角线作正方形 MPNQ,求点Q的坐标. 一【答案】(1 )解：把 B ( 6 , 0 ) , C ( 0 , 6 )代入 y= 二；x2+bx+c ,得c = 6p = £. L解得% -价，抛物线的解析式是y= x2+2x+6,顶点D的坐标

10、是(2, 8)(2)解：如图1,过F作FG，x轴于点G,、几 l /- 7 2、 :一+3+ G '设 F (x,2 x2+2x+6),贝U FG= 2,FG BE / FBA=Z BDE, / FGB=Z BED=90 FB8 BDE. B6 DE,. B (6, 0) , D (2, 8) , ，E (2, 0) , BE=4, DE=8, OB=6, . BG=6-x,/ - r3 +外 +6：243予.8x2 4 3c 4 59t屋x=-1或x=6 （舍去），此时 Fi的坐标4E , ，x=-3或x=6 （舍去），此时 F2的坐当点F在x轴上方时，有 价工 为（-1 ,工），-

11、TC- + A 方 *当点F在x轴下方时，有 。K &标为（-3, 三）， y综上可知F点的坐标为（-1, _ ）或（-3,MN和PQ交于点K,由题意得点 M , N关于 且点 P在x轴上在抛物线的对称轴上，k）,不妨M在对称轴白左侧，N在对称轴的左侧，抛物线的对称轴对称，四边形 MPNQ为正方形, ，点P为抛物线的对称轴与 x轴的交点，点 Q .KP=KM=k,则 Q （2, 2k） , M 坐标为（2-k,点 M 在抛物线 y=二 x2+2x+6 的图象上， ，k= 上(2-k)2+2(2-k)+6解得 ki=1 + 5 或 k2=，-，满足条件的点 Q有两个，Qi (2,)或Q2

12、 (2, 7 -入').【解析】【分析】(1)根据点B、C的坐标，利用待定系数法建立关于b、c的方程组，求解就可得出函数解析式，再求出顶点坐标。(2)过F作FGLx轴于点G,设出点F的坐标，表示出 FG的长，再证明 FB84BDE, 利用相似三角形的性质建立关于x的方程，当点F在x轴上方时和当点 F在x轴下方时，求出符合题意的x的值，求出点F的坐标。(3)由点M, N关于抛物线的对称轴对称，可得出点 P为抛物线的对称轴与 x轴的交点， 点Q在抛物线的称轴上 ，设Q (2, 2k) , M坐标为(2-k, k),再由点 M在抛物线上， 列出关于k的方程，求解即可得出点 Q的坐标。4 .如

13、图，已知二次函数y=ax2+ 士 x+c的图象与y轴交于点A (0, 4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8, 0),连接A® AC.(1)请直接写出二次函数y=ax2+2x+c的表达式；(2)判断4ABC的形状，并说明理由；(3)若点N在x轴上运动，当以点 A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写 出此时点N的坐标；(4)若点N在线段BC上运动(不与点 B、C重合)，过点 N作NM / AC,交AB于点M,当4AMN面积最大时，求此时点 N的坐标.【答案】(1)解：. A (0,4),.-.c=4,把点 C坐标(8,0)代入解析式，得：a=-/，.二次函数表达式为(2)解

14、：令y=0,则解得，x1=8, x2="-2" , .点B的坐标为(-2, 0),由已知可得，在 RtA AOB 中,AB2=BO2+AO2=22+42=20 ,在 RtA AOC 中 AC-2=AO2+CC2=42+82=80 ,又 . BC=OB+OC=2+8=10 .在4ABC中 AB-2+ AC-2=20+80=102=BC2 , . 4ABC是直角三角形;（3）解：由勾股定理先求出AC,时，NO=CO=8, .此时 N (-8, 0)AC=J厂+城-点，在x轴负半轴，当 AC=AN ;在x轴负半轴，当 AC=NC时，NC=AC=J曰 ,. CO=8,NO=心-8,

15、 .此时 N（8-入玷，0）;在x轴正半轴，当 AN=CN时，设CN=x,贝U AN=x,ON=8-x,在 RtA AON 中,二,解得：x=5,ON=3, ,此时 N (3, 0);人万+ 8, 0)在x轴正半轴，当 AC=NC时，AC=NC=八。，ON=A弓+8,此时 ;综上所述：满足条件的 N点坐标是（-8, 0）、（ 8-八3，0）、（ 3,0)、 (8+0)；,则BN=n+2,过M点作MDx轴于点D,EM.MD / OA, BMDABAO,倒期，MN / AC, 胡，.拓. OA=4 ,BC=10 , BN=n+2 ,MD= 3(n+2 ),Saamn= Saabn-S>A B

16、MN =-BN L OA -二卧! W = - X (n * 2) X 42X -(n 2) X 山小 刃5+5,一日<0,，n=3时，S有最大值，.当4AMN面积最大时，N点坐标为（3, 0）.【解析】【分析】（2）因为抛物线交1）用待定系数法可求二次函数的解析式；x轴于B> C两点，令 y=0,解关于x的二次方程可得点B的坐标，然后计算 AB、BC AC的长，用勾股定理的逆定理即可判断；（3）由（2）可知AC的长，由题意可知有 4种情况：在x轴负半轴，当 AC=AN叱 在x轴负半轴，当 AC=NC时； 在x轴正半轴，当 AN=CN时； 在x轴正半轴， 当AC=NC时；结合已知条

17、件易求解；（4）设点N的坐标为（n, 0）,则BN=n+2,过M点作MDx轴于点D,由平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得期 B1 BMDsBAO,于是有比例式,根据平行线分线段成比例定理可得灰：，所以创自，将已知线段代入比例式可将 MD用含n的代数式表示出来，根据三角形的构成可得S»A AMN= S>A ABN- SABMN = -? BN?OA-BN?MD,将BN、MD代入可得关于n的二次函数，配成顶点式根据二次函数的性质即可求解。5 .如图1,以DABCD勺较短边 CD为一边作菱形 CDEF®点F落在边AD上，连接 BE,交AF于点G

18、.(2)延长DE,BA交于点H,其他条件不变，如图2,若/ADC=60°,求班的值；四如图3,若/ADC=a (00 <a <9 0,直接写出/也的值.(用含a的三角函数表示) 【答案】(1)解：必朋,理由如下： .四边形4比Z是平行四边形，幽/ |圆，曲 G . .四边形山凡是菱形， 值/园，用.松/创,，出力.又.上AGB -一五0 ,|J/酰& AFE6 |(儿均 .(2)解：方法1:过点6作成/加，交朋于点.L ,上3.上右砌=ZBEh ,.3B祗.GH GE".-.BII BE 由（1）结论知./EG =-E.aGM GE 1.而一近二. 四边

19、形8用为菱形，.ADC ZEDf = 60°. 四边形出6是平行四边形, 9/扇.ZCDF = /HAD = 60°. .-俏/年,HAD =60.2GM=1800 -工闷）-上皈创1,/泗 -上瓶田-上凰5 - 60 -L幽是等边三角形。 DC 一舱DG 如.-.BH BH方法2：延长瓦，交于点心,四边形山用为菱形， “净一/霓4：加T .四边形4&Z为平形四边形，Uabc /吹=而1 也 / a.1/丽.=,疗=号*I .= !80 -= 1SOQ - 603 =60即 . | J用明为等边三角形.甫一钓."II航,，. I /砍 S ”班，苗 四 五

20、一直.由（1）结论知/EG;那 .DG GE 1.-.题 BE 二 .一 ",DG DG 1.-.BH 如二 四边形CFED是菱形， .EC，AD, FD=2F0,设 FG=a, AB=b,贝U FG=a, EF=ED=CD=bHRtA EFO 中，cos a = J.'. OF=bcos , a.1. DG=a+2bcos , a过H作HMAD于M, / ADC=Z HAD=Z ADH= %，AH=HD, . AM=: AD= 一(2a+2bcos )(=a+bcos , a 4%Rt：A AHM 中，cos a =, a + bees R .AH= cos a , &am

21、p; + /jcos 日 M m 十 Zjcos 0 +.B=1 =CO = =cos a【解析】【分析】(1)利用菱形和平行四边形的性质可得出AB/CD/ EF, AB=CD=EF再利用平行线的性质可证得 /ABG=/ FEG然后利用 AAS可证得AB8 4FEG由全等三角 形的性质可证得结论。(2)过点G作GM / BH ,交DH于点M ,易证GMEsBHE 得出对应边成比例， 求出MG与BH的比值，再利用菱形的性质及平行四边形的性质证明DG=MG,即可解答；连接EC交DF于O,利用菱形的性质可得出EC!AD, FD=2FQ设FG=a, AB=b,可表示出FG, EF=ED=CD=b Rt

22、A EFO中，利用锐角三角函数的定义可得出OF、DG,过 H作HMLAD于 M,易证 AH=HD, AM=a+bcos %再在 RtAAHM中，利用锐角三角函数的定义 求出AH的长，继而可得出 DG与BH的比值，可解答。6.如图，矩形 ABCD中，AB=m, BC=n,将此矩形绕点 B顺时针方向旋转 0 (0°< 0< 90°) 得到矩形AiBCiDi ,点Ai在边CD上.出wB(1)若m=2, n=1,求在旋转过程中，点 D到点Di所经过路径的长度；(2)将矩形AiBCiDi继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形 A2BC2D2 ,点D2在BC的延长线上，设边A2B

23、与CD交于点E,若值八% T,求小的值.【答案】(1)解：作AiHXAB于H,连接BD, BDi ,则四边形ADAiH是矩形. . AD=HAi=n=1,在 RtAAiHB 中，BAi=BA=m=2, BAi=2HAi , / ABAi=30 °, 旋转角为30 °, BD=4户+于=非,jO r x y5 .D到点Di所经过路径的长度= /第 f(2)解：BC&4BA2D2CE.4 赳4. CBA -2'BHiZT .AiC= 3？堪,.BH=AiC= /：/一J ? ?n .m2-n2=6?,- m4-m2n2=6n4 ,irI-=6?前Izj庙 3（负

24、根已经舍弃）【解析】【分析】（i）作AiHAB于H,连接BD, BDi ,则四边形ADAiH是矩形.根据矩形的对边相等得出AD=HA=n=i,在 RtAiHB中，根据三角形边之间的关系判断出/ABAi=30。，即旋转角为30。，根据勾股定理算出 BD的长，D到点Di所经过路径的长度， 其实质就是以点 B为圆心，BD为半径，圆心角为 30。的弧长，根据弧长公式，计算即可；CE A现 i(2)首先判断出BCa4BA26 ,根据相似三角形对应边成比例得出仃一 A期一祗,zr AiEAjC厂司,_rn-二、节 - 1, AiC = 6_故CE刊，根据用，故此进而得出加，由BH=AiC列出方 程，求解得

25、出小的值。7 .在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动，4ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以 BE为边向BE的右侧作等边三角形 BEF,连接CF.AB AB图1S2(i)如图i,当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D,小亮发现有两个三角形全等， 请你找出来，并证明；(2)当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形 ABFC的面积为一,求AE 的长；(3)如图2,当点E在AC的延长线上运动时， CR BE相交于点D,请你探求ECD的面积Si与4DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由；(4)如图2,当4ECD的面积S=方时，求AE的长.【答案】(i)解：现点E

26、沿边AC从点A向点C运动过程中，始终有 ABE?CBF. 由图 i 知，4ABC与AEBF都是等边三角形，AB=CB BE=BF /ABC=/ EBF=60 ,/ CBF=/ ABE=60-Z CBE ABE?A CBF.(2)解：由(i)知点E在运动过程中始终有 ABE?CBF,因四边形BECF的面积等于三角形 BCF的面积与三角形 BCE的面积之和,四边形 BECF的面积等于4ABC的面积，因4ABC 的边长为 2 ,则四边形BECF的面积为小,又四边形 ABFC的面积是Saaee 1.J ,在三角形 ABE中，因/A=60 ； .,边AB上的高为 AEsin60 ,1j 币1A/3|JS

27、aaee = -AB - lAiii 劭'=-X 2 X -AE -.j231 ,则 AE=_ .(3)解：52 S -.由图 2 知，4ABC与AEBF都是等边三角形，AB=CB BE=BF /ABC=/ EBF=60 ,又/CBF=Z ABE=60 + /CBE, .ABE?ACBF54般 =5d届,晚 =S隹卫5欣，则54厘耳 5,iot - 5"同7 -",则|s? 5=(4)解：由(3)知5? 5/=镉,即5,印B2一 十 ,SaEt2-3 A3卜由G 得6 , AABE?ACBF,AE=CF / BAE=Z BCF=60 ,°又/BAE=Z A

28、BC=60 ,得 / ABC=/ BCF, . CF/ AB,贝U 4BDF 的边 CF 上的高与 ABC 的高 相等，即为0口 W贝U DF= 3,设 CE=x 贝U 2+x=CD+DF=CD+ , . CD=x-，ICD Ch X 3 x在 ABE中，由CD/ AB得，d8注,即 *,一，化简得工-» =6，.1.x=1或x=- J （舍），即 CE=1,AE=3.【解析】【分析】（1）不难发现ABE?CBF,由等边三角形的性质得到相应的条件，根据“SA洌定三角形全等；（2）由（1）可得ABE?CBF,则S般二储血，则四边形ABFC=;/般 7须*F二5d施， $3时小5=S总槌

29、"一皎，由四边形 ABFC的I r由 ” 。面积为1 和等边三角形 ABC的边长为2,可求得4ABE的面积，由底 ABX AEsin60；构造 方程可解出 AE. （ 3）当E在 AC的延长线上时，ABE?CBF依然成立，则 “碎 如谢，即5械？'"为'5的-5皿 * "限 由等量关系即可得答案.（4 ） 由 （3 ） 可求出4FBD 的面积，由 ABE74CBF, 则 AE=CF ,/BAE=/ BCF=60=Z ABC,则CF/AB,则对于 BDF的边CF上的高等于 ABC的高，则可求 CD CB出DF的长度；由AE=CF可设CE=x且CD/A

30、B可得渺 .狂，代入相关值解出 x即可.8 .如图，抛物线¥ =£ ' b3t ,经过"3, a B他“两点，与y轴交于点G 连接 AB, AC, BC.(1)求抛物线的表达式；(2)求证：AB平分|4A0；(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得 乙是以AB为直角边的直角三角形，若 存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.- J)-4=0【答案】(1)解：将Af8”代入得:少施#处 1- a - - b -解得： 白，心，二？ 5 : I抛物线的解析式为 “一下 ?解：|口 ： AO J, 0C =" : AC j取D优力，则AD =虱-

31、3 ,由两点间的距离公式可知:y俭-0, b伍-也. ： BC 5, BD BC,在 / ABC 和 二 ABU 中，AD =鼠，AB 汕，BD - BC,| ,二入 ABC 0.ABH ：4 AB =二把平分-CAO(3)解：如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F.又【解析】【分析】(1)利用待定系数法，将点A、B两点坐标分别代入抛物线的解析式,w -a e 抛物线的对称轴为上，则,5:& 3,刃，力 : tanZEAB士，M'AB -第1 ?. : UY'AE ，：Y'E*E-"，5二 M* (- 11)同理：tduw 4,二 BF上，

32、求出a、b的值，即可解答。(2)利用勾股定理，在 RtAAOC中，求出AC的长，再根据两点间的距离公式求出BD的长，由点B、C的坐标，求出 BC的长，可证得 BD=BC然后证明 ABC叁 ABD ,利用 全等三角形的性质，可证得结论。(3)抛物线的对称轴交 x轴与点E,交BC与点F.求出抛物线的对称轴，就可求出AE的长，再利用点 A、B的坐标，求出tan/EAB的值，再由 / M'AB = 90 °,求出tan/M'AE的值，求出 M'E的长，就可得出点 M'的坐标，再用同样的方法求出点M的坐标，即可解答。9.如图，已知 4ABC的顶点坐标分别为 A

33、(3, 0) , B (0, 4) , C (-3, 0)。动点 M, N 同时从A点出发，M沿 ZC,N沿折线 ZB-C ,均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点 C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为亡。M月3C 0 H %冒用图(1)求直线BC的解析式；(2)移动过程中，将 4AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在 及点D的坐标；(3)当点M,N移动时，记4ABC在直线MN右侧部分的面积为 关系式。t秒。连接MN。BC边上点D处，求此时t值S,求S关于时间t的函数【答案】(1)解：设直线BC解析式为:- B (0, 4) , C (-3, 0),/ b = 44*二一解得：

34、b - Ji 直线BC解析式为：y= 3 x+4.(2)解：依题可得： AM=AN=t, AMN沿直线MN翻折，点A与点点 四边形AMDN为菱形，作NFx轴，连接AD交MN于O', 4/联C 0%且勺 . A (3, 0) , B (0, 4), .OA=3,OB=4, .AB=5,.M (3-t, 0),y=kx+b,D重合，又 ANFsMBO,.AF= $ t, NF= 1t, g 乜.N （3-t,3t）,设 D （x,y）,卜、W4. + q g二'=3-t, 二'=5 t, 84 -x=3- $ t,y=3t,84.D （3-t,t）,又 D在直线BC上,48

35、4X（3- 1 t） +4= $t,鸵.-.t= F, lb 巴.D （-”,，）.(3)当0<tW5时(如图2),图3 ABC在直线 MN右侧部分为 AAMN,1/ R笆. S= 5金蠲=: am DF=- X tJ t= 3 t 工， 当5<tw时，4ABC在直线MN右侧部分为四边形 ABNM,如图3. AM=AN=t, AB=BC=5 .BN=t-5, CN=-5- (t-5) =10-t,又 丁 CNRCBO,=,10 - t NF=,F.NF= J (10-t),.S= 5般-51 的=三 ACOB- C CM NF,0Hj=- X6X-4-X(6-t) XI (10-t

36、),g图=-t +t-12.y=kx+b,将B、C两点坐标代入即可得出二元【解析】【分析】(1)设直线BC解析式为:次方程组，解之即可得出直线BC解析式.(2)依题可得：AM=AN=t,根据翻折性质得四边形AMDN为菱形，作 NF± x轴，连接AD交MN于O',结合已知条件得 M (3-t, 0), .Ab Nb又ANFsABO,根据相似三角形性质得 如=.乱=而| ,343 dR代入数值即可得AF= ' t, NF=$ t,从而得N(3-t,5 t),根据中点坐标公式得O'(3t,%:t),i H设D (x,y),再由中点坐标公式得 D (3" t

37、, B t),又由D在直线BC上，代入即可得 D点 坐标.(3)当0<tW5时(如图2) , AABC在直线 MN右侧部分为AAMN,根据三角形 面积公式即可得出 S表达式. 当5<tw对，AABC在直线 MN右侧部分为四边形 ABNM,由CNFCBO,根据相似 0通41三角形性质得 品=加，代入数值得 NF= 1 (10-t),最后由 S=53展-5"湖=上ACOB- /上CM-NF,代入数值即可得表达式.10.已知：如图，在 RtABC中，Z C= 90°,点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的 圆与AC, AB分别交于点 D, E,且/ CBD= / A

38、.(1)判断直线BD与。O的位置关系，并证明你的结论;(2)若 AD: AO=8: 5, BC= 2,求 BD 的长.【答案】(1)解：BD是。的切线；理由如下： OA=OD,/ ODA=Z A . /CBD=/A,Z ODA=Z CBD, / C=90 ,°/ CBD+Z CDB=90 ； / ODA+Z CDB=90 ,°/ ODB=90 ；即 BD± OD,.BD是。O的切线(2)解：设 AD=8k,贝U AO=5k, AE=2OA=10k,. AE是。的直径，/ ADE=90 ,°/ ADE=Z C,又/CBD叱 A, . MDEs BCD,00

39、解得：BD= / .所以BD的长是/【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知得出/ODA=/ CBD,由直角三角形的性质得出 Z CBD+Z CDB=90 ,因此 Z ODA+Z CDB=90 ,得出 / ODB=90 ,即可得出结论；（2）设 AD=8k,贝U AO=5k, AE=2OA=10k,由圆周角定理得出 ZADE=90 , AADEABCD, AE BL得出对应边成比例;揖 s（,即可求出BD的长.11.如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20, 0）和（0, 15）,动点P从点A出发在线段 AO上以每秒2cm的速度向原点 O运动，动直线 EF从x轴开始以每秒

40、1cm的速度向上平行移动（即 EF/ x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F,连接EP、 FP,设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为 t秒.(1)求t=9时，4PEF的面积；若存(2)直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得4PEF的面积等于40cm2?在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；(3)当t为何值时， AEOP与4BOA相似.【答案】(1)解：. EF/ OA,/ BEF=Z BOA又 : / B=Z B, .BED BOA,EF BEOA = BO ,当 t=9 时，OE=9, OA=20, OB=15,.EF=8,o L J .Sape尸心EF?OE= X8X9=3Cm2)(2)解：.BEFBOA,BE ' OA U5 - l) 2G g.EF= BO = IS = ' (15-t),- X1 (15-t) X t=40整理，得 t2-15t+60=0, =152-4 X 1 X<60,.方程没有实数根.，不存在使得 4PEF的面积等于40cm2的t值(3)解：当 /EPO=Z BAO 时，EO/BOA,OP 0E 因二到 ItOA =而